综合模拟测试(一)
一、选择题
1.集合
,已知
只有一个子集,那么实数
的取值范围是
(
)
A.
B.
C.
D.
2.曲线
的长度是 (
)
A.
B.
C.
D.
3.不等式
的解集是 (
)
A.
B.
C.
D.
4.把函数
的图象沿向量
的方向平移后,所得的图象关于
轴对称,则
的最小值是
( )
A.
B.
C.
D.
5.等差数列
的公差为
,前
项的和为
,当首项
变化时, 
是一个定值,则下列各数中也为定值的是
( )
A.
B.
C.
D.
6.一椭圆以正三角形
的顶点
为焦点,且过
的中点,则其离心率是( )
A.
B.
C.
D.
7.半径为4的球面上有
四点,且
,则
的最大值为(
表示三角形面积) (
)
A.
B.
C.
D.
8.某校有6间不同的电脑室,每天晚上至少开放2间,欲求不同的安排方案的种数,现有四位同学分别给出下列四个结果:①
;②
;③
;④
.其中正确的结论是
(
)
A.仅有① B.②和④ C.②和③ D.仅有③
9.已知函数
上任一点
处的切线斜率
,则该函数的单调减区间为
(
)
A.
B.
C.
D.
10.对任意
,奇函数
和偶函数
在区间
上的图象关于
轴对称,且为增函数,则下列各选项中能使不等式: 
成立的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11.已知条件
,条件
.若
是
的必要不充分条件,则实数
的取值范围是________.
12.
,若的图象向左至少平移
个长度单位后所得的图象恰为奇函数的图象,而向右至少平移
个长度单位后所得的图象恰为偶函数的图象,则的最小正周期是________.
13.设满足
的点
的集合为
,满足
的点的集合为
,则
所表示的图形的面积是________.
14.已知
,且
都是正数,则
的最小值是________.
15.一项
“过关游戏”规则规定:在第关要抛掷一颗骰子次,如果这次抛掷所出现的点数之和大于
,则算过关,那么连过前二关的概率是________.
16.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点,如果函数的图象恰好通过
个格点,则称函数为阶格点函数.下列函数:①
;②
;③
;④
,其中是一阶格点函数的有_______.
三、解答题
17.已知
三点的坐标分别是
,其中
.
(1)若
,求角
的值;
(2)若
,求
的值.
18.如图,四棱锥
的底面为菱形,且
,
,
的中点.
(1)求直线
与平面
所成角的大小;
(2)求二面角
的平面角的正切值;
(3)在线段
上是否存在一点
,使
成立?如果存在,求出
的长;如果不存在,请说明理由.
19.设平面向量
(其中
),且
.
(1)求函数
的表达式;
(2)若函数对任意
都有
,求此时在
上的最小值;
(3)若点在不等式
所表示的区域内,且
为方程
的一个解,当
时,请判断是否为方程
的根,并说明理由.
20.设椭圆
的两个焦点是
,且椭圆上存在点,使
.
(1)求实数的取值范围;
(2)若直线
与椭圆存在一个公共点
,使得
取得最小值,求此最小值及此时椭圆的方程;
(3)在条件(2)下的椭圆方程,是否存在斜率为
的直线
,与椭圆交于不同的两点
,满足
,且使得过点
两点的直线
满足
?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
21.已知函数
,其中
.
(1)设在
处取得极值,其中
,求证: 
;
(2)设
,求证:线段的中点
在曲线上;
(3)若
,求证:过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.
答案
一、选择题
1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.D 7.C 8.C 9.B 10.A
二、填空题
11.
12. 13.
14.
15.
16.①②④
三、解答题
17.解:(1) 
.
∵,∴
,即
,
化简得
,∴
.
∵,∴
.
(2) 
,
,
∴
.
18.解:(1)如图,连
,则由,得平面
.
又由底面
为菱形,可得
,所以
.
连
,则为在平面上的射影,所以
即为与平面所成的角.
由
中点可得
.
又由菱形性质可得,在
中, 
,所以
.
所以在
中,
,所以
.
(2)由
,,可得
.
过
作
,连
,则由三垂线定理可得
,所以
即为二面角
的平面角.
由(1)可知
,又在
中, 
,
所以
,所以
.
(3)设
,过作
,则由可得平面.
又
,所以
.
所以
,而
,可得
,故线段上存在一点,使成立, 
.
19.解:(1)∵
,∴
.
∵,∴
.
∴
.
∴
.
(2)已知对任意的都有,
∴当
时有
,∴
,即
,
∴
上是增函数, ∴
,
∴上的最小值为
.
(3)设
,由
知
,
∴
由①-②得
.
∵
,∴
,
∴
,即
,
∴是方程的根.
20.解:(1)由椭圆定义可得
,
由可得
,
而
,∴
,解得
.
(2)由
,得
,
,
解得
(舍去),∴
.
此时
.
当且仅当
时, 
取得最小值
,此时椭圆方程为
.
(3)由知点
是的中点.
设两点的坐标分别为
,中点的坐标为
,
则
,两式相减得
.
∴
,∴中点的轨迹为直线
①且在椭圆内的部分.
又由可知
,所以直线的斜率为
,方程为
②
①、②联立可求得点的坐标为
,∵点必在椭圆内,∴
,
解得
,又∵
,∴
.
21.解:(1)
,∴
的两根为
,
令
,∵
,∴
,
故有.
(2)设中点
,则
,
故有
,∴
,
.
∴
.
代入验算可知在曲线上.
(3)过曲线上的点
的切线的斜率是
,
当
时,切线的斜率
;
当
时, 
,∴
,
∴切线斜率
.
∵
,∴
,∴
∴
∴
,故过原点且与曲线相切的两条直线不可能垂直.