综合模拟测试（三）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后括号内．
1. 某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，
现用分层抽样的方法从该校所有高中生中抽取一个容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 （ ）
A． 15，5，25 B．15，15，15
C．10，5，30 D．15，10，20
2．设
、
是不同的直线，
、
、
是不同的平面，有以下四个命题：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
．
其中，假命题是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）
3．（ 06年天津卷）将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．36种 D．52种
4．若直线
按向量
平移后与圆
相切，则
的值为（ ）
A．14或-6 B．12或-8 C．8或-12 D．6或-14
5．竖在地面上的两根旗杆的高分别为10米和15米，相距20米．则地面上到两旗杆顶点的仰角相等的点P的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
6．设
是函数
的反函数，若
，则
的值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．
7．已知函数
，则
的值为 （ ）
A.
B.
C.
D.
8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是（ ）
|
A．①、② B．③、④ C．①、③ D．①、④
9．在△ABC中，
、
、分别是角
所对的边，
60º，
，△
的面积
=
，则
的值等于（ ）
A．
B． 
C．
D．
10. 等差数列
的前项和为
，且
，
，则过点
和
的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A． (
，) B． 
C． 
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
11． 在
的展开式中，
的系数是
；各项系数的和是
．（用数字作答）
12．已知
满足约束条件
,则
的最小值为
．
13．直三棱柱
中，
，
，
，
，
上有一动点
，则△
周长的最小值是
.
14．10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是 ．
15．已知
为坐标原点，点
在单位圆
上，点
满足
，则
．
16．对于在区间
上有意义的两个函数
与
，如果对于任意
，均有
，则称与在上是接近的. 若函数
与函数
在区间上是接近的，给出如下区间①[1，4]；②[1，3]；③[1，2]∪[3，4]；④
．则区间可以是
.（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知箱子中有10个球，其中8个是正品，2个是次品，若每次取出1个球，取出后不放回，求：
（I）取两次就能取到2个正品的概率；
（II）取三次才能取到2个正品的的概率；
（Ⅲ）取四次才能取到2个正品的的概率．
18．（本小题满分14分）如图，平面
⊥平面
，是正方形，是矩形，
是线段
的中点，且
点在平面
内的射影在
上．
（1）求证：
⊥平面
；
（2）求二面角
的大小．
19．（本小题满分14分）
某厂有一台价值为1万元的生产设备，现要通过技术改造来提高该生产设备的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入金额x万元之间满足：①y与
和
的乘积成正比；②当
时，
. 并且技术改造投入的金额满足；
，其中t为常数.
（1）求
的解析式及定义域；
（2）当
时，求产品的增加值的最大值及相应的技术改造投入的金额．
20．（本小题满分14分）
双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为
，相应于焦点
的准线l与x轴交于点A，且
．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．
（Ⅰ）求双曲线的方程及离心率；
（Ⅱ）若
，求直线PQ的方程．
21．（本小题满分16分）
已知定义在R上的单调函数，存在实数
，使得对于任意实数
总有
恒成立.
（1）求的值；
（2）若
，且对任意正整数n，有
，记
，比较
与Tn的大小关系，并给出证明．
高三数学模拟试卷（三）参考答案
1. D提示：按比例抽取
2．D 提示：发挥空间想象
3．A提示：分类讨论的思想
4．A提示：圆心到平移后的直线的距离等于半径
5．A提示：即点P到两个定点的距离之比为常数，易知点P的轨迹是圆
6．B提示：
，
7．B 提示：就是的展开式中
前面的系数
8．B提示：导函数的零点就是三次函数的极值点，且当三次函数的单调增区间所对应的导函数的函数值为正
9．C提示：先求出边的长，再求边的长
10. B 提示：由及求出公差
，再求出直线
的斜率，从而得到它的方向向量
11．40；243提示：的系数是
，在中令
就可得到各项系数的和
12．
提示：画出图形
13．
提示：在△中
是个定值，要使△周长的最小值，即把
翻折到平面中，且使得
、、
在一直线上
14．
提示：
15．
提示：先算出
，再用余弦定理算出
与
的夹角，最后用数量积公式
16．③、④提示：由题意得
，然后算它在各给定区间上的最大值，只要最大值小于或等于1就满足条件
17. （I）取两次就能取到2个正品的概率为：
=
.
（II）取三次才能取到2个正品的概率为：
=
.
（Ⅲ）取四次才能取到2个正品的概率为：
＝
．
18．（1）设点在平面内的射影为
，则在CG上，由
⊥平面，知⊥，∵为正方形，∴
，又平面⊥平面，∴
平面，又
平面，∴
，又、
平面，∴⊥平面；
（2）过作
于
，过作
于
，连
，∵平面⊥平面，，∴
⊥平面，又
⊥
，
∴⊥，∴
就是二面角的平面角，在平面内，由是矩形，是的中点，，可得是
的中点，又∵⊥平面，∴
，∴
，设
，则
，又
， ∴
，∴
，∴二面角B－AC－G的大小为
．
19．（1）由已知，设
∵当
则
∵
∴的定义域为
（2）∵
令
.
∵
当
上单调递增；
当
上单调递减.
∴当
时，取得极大值.
∵
∴当
∴当
综上，当
万元，最大增加值是
万元.当0<t<1时，投入
万元，最大增加值是
万元.
20．（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为
= 1（
）,
由已知
解得
，
.
所以双曲线的方程这
= 1离心率
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
， 当直线与轴垂直时，方程为
.此时, ,应舍去.
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为
.
由方程组
,得
.
由一过点
的直线与双曲线交于
两点，
则
，即
，
由于
,即
R.
∴R且（*） .
设（
，
），
（
，
），则
,
由直线的方程得
，
,
于是
（3）
∵，
∴
即
（4）,
由（1）、（2）、（3）、（4）得
,
整理得
=
.
∴
满足（*）.
∴直线的方程为
或
.
21．（1）令
，得
①
令
，得
②
由①，②得 
为单调函数，
（2）由（1）得
．
又
又
，
,
.
，
