上海市浦东新区2007年高考预测数学试卷（文史类）2007.4
(完卷时间：120分钟 满分：150分)
| 题 号 | 1-12 | 13-16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 总 分 |
| 得 分 |
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设集合
，则A∩B =___________________．
2．等差数列
中，
4，
，则公差
．
3．
=___________．
4．向量
，若
，则实数
=_______．
5．若圆
关于直线
对称，则实数
的值为_______．
6．
中，
分别为角A,B,C的对边，若
，
，
，则边
．
7．某工程的工序流程如下表所示（工时数单位：天），则工程总时数为 天．
| 工序 | a | b | c | d | e | f |
| 紧前工序 | —— | a | a,b | c | c | d,e |
| 工时数（天） | 2 | 3 | 2 | 5 | 4 | 1 |
8．任取
且
,则点
落在方程
表示的曲线所围成的区域内的概率是____________．
9．设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值
．
10．据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域
与时间
（年）可近似看作指
数函数关系，已知近2年污染区域由
降至
，则污染区域降至
还
需要 年．
11．如图，小正三角形沿着大正三角形的边，按逆时针方向无滑动地滚
动．小正三角形的边长是大正三角形边长的一半，如果小正三角形
沿着大正三角形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中
向量
围绕着点
旋转了
角，其中为小正三角形的中心，则
．
12．对于函数
，以下列四个命题中的两个为条件，余下
的两个为结论，写出你认为正确的一个命题 ．
①函数f (x)图像关于直线
对称； ②函数f (x)在区间
上是增函数；
③函数f (x)图像关于点
对称； ④函数f (x)周期为
.
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的括号内，选对
得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在括号内），一律得零分.
13．
，“
”是“
”的…………………………………………………（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既充分也必要条件 D．既不必要也不充分条件
14．函数
的大致图象是………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
15．函数
的值域为………………………………………………（ ）
A．
B．
C．
D．
16．如图，已知点P在焦点为
的椭圆上运动，则
的边
相切，且与边
的延长线相切的圆的圆心M
一定在…………………………………………………（ ）
A．一条直线上 B．一个圆上
C．一个椭圆上 D．一条抛物线上
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（本题满分12分）已知复数
，若
，且
，求角
的值．
[解]
18．（本题满分12分，第（1）题4分，第（2）题8分）
等差数列
中，前
项和为
，首项
，
．
（1）若
，求；
（2）设
，求使不等式b1
+ b2 + … + bn
> 30的最小正整数的值．
[解]
19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
据预测，某旅游景区游客人数在
至
人之间，游客人数
（人）与游客的消费总额
（元）之间近似地满足关系：
．
（1）若该景区游客消费总额不低于
元时，求景区游客人数的范围．
（2）当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额．
[解]
20．（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）
两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为
的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．
（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求此正子体的体积；
（2）在（1）的条件下，求异面直线
与
所成的角．
[解]
21．（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题7分，第（3）题5分）
记函数
，
,它们定义域的交集为
,若对任意的
,
，则称
是集合
的元素.
（1）判断函数
是否是的元素；
（2）设函数
，求的反函数
，并判断是否是的元素；
（3）
（
），求使
成立的的范围．
[解]
22．（本题满分18分．第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分）
已知直线l：y =
+b与抛物线y2 = 4x相交于A、B两点，︱AB︱= 8．
（1）求直线l的方程；
（2）求抛物线上横坐标为1的点D与点A、B构成的∆DAB的面积；
（3）设P(x, y)是抛物线上的动点，试用x或y来讨论∆PAB面积
的取值范围.
[解]
上海市浦东新区2007年高考预测
数学试卷（文史类）参考答案与评分标准（文科） 2007/4
一、填空题
1．
2．1 3．
4．
5．2 6．5 7．13
8．
9．3 10．2 11．
12．③④
①②或①④②③
二、选择题
13．B 14．A 15．D 16．A
三、解答题
17．解：由得：
，所以
，
--------------4分
，
------------------------------------------5分
---------------------------------------------7分
，
----------------8分
------------------10分 
或
------------------------12分
18．解：（1）
，得：
，
-------------------------3分
由
，
，得到
---------------------------------------------6分
（2）
，
，------9分
，得
，所以正整数的最小值为
。---------------12分
19．解：（1）
，得
-------------------------------------4分
又
，所以景区游客人数的范围是1000至1300人-------------6分
（2）设游客的人均消费额为
，则
---------------------12分
当且仅当
时等号成立。---------------------------------------------------------14分
答：当景区游客的人数为
时，游客的人均消费最高，最高消费额为
元。
20．解：（1）因为正子体的各个顶点是正方体
各面的中心，所以
-------------------------------------2分
正四棱锥
的底面积
，高
---------------------------------5分
正子体体积
---------------------------------------------7分
（2）方法一：建立空间直角坐标系，评分标准见理科答案。
方法二：记正方体为
，
记棱
中点为
，
中点为
----------------------------------------------------------8分
则
，所以
-------------------------------------------------10分
异面直线
与
所成的角即为
------------------------------------------------11分
又因为
，故=
------------------------------------14分
异面直线与所成的角为。
21．解：（1）∵对任意，
，∴
--2分
∵
不恒等于，∴
--------------------------4分
（2）设
由
解得：
----------------------------------------------------6分
由 
，反函数为 
，
-------8分
∵
∴
--------------------------------------------------------------------11分
（3）∵，∴
对一切定义域中恒成立。
，解得：
恒成立，故
----------13分
由，得到
，
，由，
--14分
-------------15分，故的范围为：
或 
-------------16分
22．解：（1）把
代入
得
。
令
，得
。
---------------------------------------------------------------------------2分
设
，则
-------------------------------4分
∴
， ∴直线的方程为y= -x+1。 ------------------------------------6分
（2）设D (1 , y0),代入y 2= 4x，得
因此得到D点坐标:D (1,2 ) 或D′（1,-2）
点D(D′)到直线y=-x+1的距离
. ----------------------------------------8分
∴∆DAB的面积为
。------------------------------------------------------------------------10分
（3）设与直线y=-x+1平行且与y2 = 4 x相切的直线为y=-x+t, 代入y 2 =4 x，
得
，令∆＝0，得
，此时切点为
。
另解：设与直线
平行且距离为
的直线为y=-x+t, 得
或3------12分
与 y 2 =
4 x的交点仅有一个为 ，
y = - x +3与y 2 = 4 x的交点为 
，
。
y=-x+1与y2=4x的交点为
∴当
时，
---------------------------------------------------------14分
当
时，
--------------------------------------------------------------------------------------16分
当
时，
。-------------------------------------18分