上海市浦东新区2007年高考预测数学试卷（理工类）2007.4
（完卷时间120分钟 满分150分）
| 题 号 | 1-12 | 13-16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 总 分 |
| 得 分 |
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．设集合
，则A∩B =___________________．
2．
=_________________．
3．已知向量
平行，则实数
=_________________．
4．在二项式
的展开式中，含
项的系数为
．
5．已知圆
关于直线
对称，则实数
的值为________．
6．
中，
分别为角A,B,C的对边，若
，
，
，则边
．
7．在极坐标系中，点
，则
中点的极坐标为
．
8．任取
且
,则点
落在方程
表示的曲
线所围成的区域内的概率是____________．
9．据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域
与时间
（年）可近似看作指
数函数关系，已知近2年污染区域由
降至
，则污染区域降至
还
需要 年．
10．如图，小正三角形沿着大正三角形的边，按逆时针方向无滑动地滚
动．小正三角形的边长是大正三角形边长的一半，如果小正三角形沿
着大正三角形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量
围绕着点
旋转了
角，其中为小正三角形的中心，则
．
11．对于函数
，以下列四个命题中的两个为条件，余下
的两个为结论，写出你认为正确的一个命题 ．
①函数f (x)图像关于直线
对称； ②函数f (x)在区间
上是增函数；
③函数f (x)图像关于点
对称； ④函数f (x)周期为
.
|
和，求证：它的对角线互相垂直．下面利用向量方法进行证明：
|
|
则
|
∴
反思上面的证明过程，对该命题进行推广，写出你的结论：
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结
论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的括号内，选对
得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在括号内），一律得零分.
13．
，“
”是“
”的 …………………………………………………（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既充分也必要条件 D．既不必要也不充分条件
14．函数
的大致图象是 ………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
15．设
是非空集合，且
，定义在
上的函数
的值域为…（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
16．如图，已知点P在焦点为
的椭圆上运动，则与
的边
相切，且与边
的延长线相切的圆的圆心M
一定在 …………………………………………………（ ）
A．一条直线上 B．一个圆上
C．一个椭圆上 D．一条抛物线上
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17．（本题满分12分）
已知复数
，若
，且
，求角
的值．
[解]
18．（本题满分12分，第（1）题5分，第（2）题7分）
据预测，某旅游景区游客人数在
至
人之间，游客人数
（人）与游客的消费总额
（元）之间近似地满足关系式：
．
（1）若该景区游客消费总额不低于
元时，求景区游客人数的范围．
（2）当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额．
[解]
19．（本题满分14分，第（1）题6分，第（2）题8分）
等差数列
中，前
项和为
，首项
，
．
（1）若
，求；
（2）设
，求使不等式b1 + b2 + … + bn >
2007的最小正整数的值．
[解]
20．（本题满分14分，第（1）题7分，第（2）题7分）
两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为
的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．
（1）若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求异面直线
与
所成的角；
（2）问此正子体的体积V是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出体积大小的取值范围．
[解]
21．（本题满分16分，第（1）题4分，第（2）题7分，第（3）题5分）
记函数
，
,它们定义域的交集为
,若对任意的
,
，则称
是集合
的元素.
（1）判断函数
是否是的元素；
（2）设函数
，求的反函数
，并判断是否是的元素；
（3）若
，写出
的条件，并写出两个不同于（1）、（2）中的函数．（将根据写出的函数类型酌情给分）
[解]
22．（本题满分18分．第（1）题4分，第（2）题14分，分别为4、4、6分）
已知抛物线
上横坐标为
的点到焦点的距离为
．
（1）求抛物线
的方程．
（2）设直线
与抛物线交于两点
，且
，是弦
的中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点
，得到
；再分别过弦
、
的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点
，得到
和
；按此方法继续下去．
解决下列问题：
1 求证：
；
2 计算的面积
；
3 根据的面积的计算结果，写出
的面积；请设计一种求抛物线与线段所围成封闭图
形面积的方法，并求出此封闭图形的面积．
[解]
上海市浦东新区2007年高考预测
数学试卷（文史类）参考答案与评分标准（理科） 2007/4
一、填空题
1．
2．
3．
4．80 5．4 6．5 7．
8．
9．2
10．
11．③④
①②或①④②③
12．已知空间四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则空间四边形余下的一组对边（对角线）互相垂直．
二、选择题
13．B 14．A 15．D 16．A
三、解答题
17．解：由得：
，所以
，
---------------4分
，
-------------------------------------------5分
----------------------------------------------7分
，
--------------8分
------------------10分 
或
--------------------12分
18．解：（1）由已知：
，即
，解得
---------------------------------4分
又
，所以景区游客人数的范围是1000至1300人 -------------5分
（2）设游客的人均消费额为
，则
----------------------9分
当且仅当
时等号成立．
----------------------------------------------------12分
答：当景区游客的人数为
时，游客的人均消费最高，最高消费额为
元．
19．解：（1）
，得：
，
-----------------------------2分
由
，
，得到
-------------------------------------------------6分
（2）
，
若
，则
，不合题意-----------------9分
故
，
-------------------------------11分
，所以
，使不等式成立的最小正整数
的值为15．-----------14分
20．解：（1）方法一：如图，分别以CA、DB为、
轴建立空间直角坐标系．
因为
，所以
，
，
，
---------------4分 
-----------------6分
因为异面直线所成角为锐角，故异面直线与所成的角为
----------------7分
方法二：见文科答案与评分标准．
（2）正子体体积不是定值．-------------8分
设
与正方体的截面四边形为
， 设
则
----------------------------9分
故
----------------------------------------------------------------------12分
-----------------------------14分
21．解：（1）∵对任意，
，∴
--2分
∵
不恒等于，∴
--------------------------4分
（2）设
①
时，由
解得：
由 解得其反函数为 ，
-----------------6分
②
时，由 解得：
解得函数的反函数为，
--------------------8分
∵
∴
--------------------------------------------------------------------11分
（3），的条件是：
存在反函数，且
-----------------------------------------------13分
函数可以是：
；
；
；
；
或
，
；
或
，
．
以“；”划分为不同类型的函数，评分标准如下：
给出函数是以上函数中两个不同类型的函数得3分．
属于以上同一类型的两个函数得1分；
写出的是与（1）、（2）中函数同类型的不得分；
函数定义域或条件错误扣1分．
22．解：（1）由抛物线定义，抛物线上点
到焦点的距离等于它到准线
的距离，得
，
所以抛物线的方程为
． ----------------------------------------------------------4分
（只要得到抛物线方程，都得4分）
（2）由
，得
，（或
）
当
，即
且
时，
（或
）
①由
，即
，得
，
所以．----------------------------------------------------------------------8分
②由①知，中点的坐标为
，点
，
．-------------------------------------12分
③由问题②知，的面积值仅与有关，由于
，所以与
的面积
，设
-------14分
由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线与线段所围成的封闭图形的面积
看成无穷多个三角形的面积的和，即数列的无穷项和，------------------------16分
所以
即
，
因此，所求封闭图形的面积为
．--------------------------------------------------------18分