高考招生全国统一考试理科数学卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一．选择题：
(1)复数
的值是
（A）0 (B)1 (C)-1 (D)1
(2)函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是
(3)
（A）0
(B)1
(C)
(D)
(4)如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
（A）BD∥平面CB1D1 （B）AC1⊥BD
（C）AC1⊥平面CB1D1 （D）异面直线AD与CB1角为60°
（5）如果双曲线
上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是
，且
三面角B-OA-C的大小为
，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）设A｛a,1｝，B｛2，b｝，C｛4,5｝，为坐标平面上三点，O为坐标原点，若
上的投影相同，则a与b满足的关系式为
(A)
(B)
(C)
(D)
（8）已知抛物线
上存在关于直线
对称的相异两点A、B，则AB等于
（A）3 （B）4 （C）
（D）
（9）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元
（10）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
（11）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，
l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，
则△ABC的边长是
（A） （B） （C）
（D）
（12）已知一组抛物线
，其中a为2,4,6,8中任取的一个数，b为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x=1交点处的切线相互平行的概率是
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上.
（13）若函数f(x)=e-(m-u)2 (c是自然对数的底数)的最大值是m,且f(x)是偶函数，则m+u= .
(14)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为
，底面三角形的边长为1，
则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 .
(15)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0, ⊙O’的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和
⊙O’所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是 .
(16)下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是
.
②终边在y轴上的角的集合是{aa=
.
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点.
④把函数
⑤函数
其中真命题的序号是 （写出所言 ）
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）已知
<
<
<
,
(Ⅰ)求
的值.
（Ⅱ）求.
（18）（本小题满分12分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验.求至少有1件是合格品的概率;
（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数
的分布列及期望
，并求该商家拒收这批产品的概率.
（19）（本小题满分12分）如图，
是直角梯形，∠
＝90°，
∥
，＝1，＝2，又
＝1，∠
＝120°，
⊥
，直线
与直线所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面
⊥平面
;
（Ⅱ）求二面角
的大小;
（Ⅲ）求三棱锥
的体积.
（20）（本小题满分12分）设
、
分别是椭圆
的左、右焦点.
（Ⅰ）若
是该椭圆上的一个动点，求
·
的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点
的直线
与椭圆交于不同的两点
、
，且∠
为锐角（其中
为坐标原点），求直线的斜率
的取值范围.
已知函数
,设曲线
在点()处的切线与x轴线发点()()其中xn为实数
（21）（本小题满分12分）
(22)(本小题满分14分)
设函数
.
(Ⅰ)当x=6时,求
的展开式中二项式系数最大的项;
(Ⅱ)对任意的实数x,证明
＞
(Ⅲ)是否存在
,使得an＜
＜
恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.
理科数学参考答案
一．选择题：本题考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分
（1） A （2） C （3） D （4） D （5） A （6） C
（7） A （8） C （9） B （10） B （11） D （12） B
二．填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分
（13）
（14）
（15）
（16）① ④
三．解答题：
（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。
解：（Ⅰ）由
，得
∴
，于是
（Ⅱ）由
，得
又∵
，∴
由
得：
所以
（18）本题考察相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力。
解：（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A
用对立事件A来算，有
（Ⅱ）可能的取值为
，
，
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为
（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。
解法一：
（Ⅰ）∵
∴
，
又∵
∴
（Ⅱ）取
的中点
，则
，连结
，
∵
，∴
，从而
作
，交
的延长线于
，连结
，则由三垂线定理知，
，
从而
为二面角
的平面角
直线
与直线所成的角为
∴
在
中，由余弦定理得
在
中，
在
中，
在
中，
故二面角的平面角大小为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
为正方形
∴
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面
内，过
作
，建立空间直角坐标系
（如图）
由题意有
，设
，
则
由直线与直线所成的解为，得
，即
，解得
∴
，设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，得
平面的法向量取为
设
与
所成的角为
，则
显然，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角大小为
（Ⅲ）取平面
的法向量取为
，则点A到平面的距离
∵
，∴
（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以
，设
，则
因为
，故当
，即点为椭圆短轴端点时，
有最小值
当
，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线
，
联立
，消去
，整理得：
∴
由
得：
或
又
∴
又
∵
，即
∴
故由①、②得
或
（21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。
解：（Ⅰ）由题可得
所以过曲线上点
的切线方程为
，
即
令
，得
，即
显然
∴
（Ⅱ）证明：（必要性）
若对一切正整数
，则
，即
，而
，∴
，即有
（充分性）若
，由
用数学归纳法易得
，从而
，即
又 ∴
于是
，
即
对一切正整数
成立
（Ⅲ）由，知
，同理，
故
从而
，即
所以，数列
成等比数列，故
，
即
，从而
所以
（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因
证法二：因
而
故只需对
和
进行比较。
令
，有
由
，得
因为当
时，
，
单调递减；当
时，
，单调递增，所以在处有极小值
故当
时，
，
从而有
，亦即
故有
恒成立。
所以
，原不等式成立。
（Ⅲ）对
，且
有
又因
，故
∵，从而有
成立，
即存在
，使得恒成立。
含详细解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1、复数
的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）
（D）
解析：选A．
．本题考查复数的代数运算．
2、函数
与
在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
解析：选C．注意 
的图象是由
的图象右移1而得．本题考查函数图象的平移法则．
3、（ ）
（A）0 （B）1 （C）
（D）
解析：选D．本题考查
型的极限．原式
或原式
．
4、如图，
为正方体，下面结论错误的是（ ）
（A）
平面
（B）
（C）
平面
（D）异面直线
与
所成的角为
解析：选D．显然异面直线与所成的角为
．
5、如果双曲线
上一点到双曲线右焦点的距离是2，那么点到轴的距离是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：选A．由点到双曲线右焦点
的距离是2知在双曲线右支上．又由双曲线的第二定义知点到双曲线右准线的距离是，双曲线的右准线方程是
，故点到轴的距离是．
6、设球的半径是1，、、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是
，且二面角
的大小是
，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：选C．
．本题考查球面距离．
7、设
，
，
为坐标平面上三点，为坐标原点，若
与
在
方向上的投影相同，则
与
满足的关系式为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：选A．由与在方向上的投影相同，可得：
即 
，．
8、已知抛物线
上存在关于直线
对称的相异两点、，则
等于（ ）
（A）3
（B）4
（C）
（D）
解析：选C．设直线的方程为
，由
，进而可求出的中点
，又由在直线上可求出
，∴
，由弦长公式可求出
．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
9、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）
（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元
解析：选B．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍）尽可能多地安排资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的倍时可获最大利润．这是最优解法．也可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．
10、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）
（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个
解析：选B．对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有
个；②个位不是0并且比20000大的五位偶数有
个；故共有
个．本题考查两个基本原理，是典型的源于教材的题目．
11、如图，
、
、
是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则⊿的边长是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：选D．过点Ｃ作的垂线
，以、为
轴、轴建立平面直角坐标系．设、
、
，由
知
，检验A：
，无解；检验B：
，无解；检验D：
，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．
12、已知一组抛物线
，其中为2、4、6、8中任取的一个数，为1、3、5、7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：选B．这一组抛物线共
条，从中任意抽取两条，共有
种不同的方法．它们在与直线交点处的切线的斜率
．若
，有两种情形，从中取出两条，有
种取法；若
，有三种情形，从中取出两条，有
种取法；若
，有四种情形，从中取出两条，有
种取法；若
，有三种情形，从中取出两条，有种取法；若
，有两种情形，从中取出两条，有种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有
种，故所求概率为．本题是把关题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．
13、若函数
（
是自然对数的底数）的最大值是
，且
是偶函数，则
________．
解析：
，
，∴
．
14、在正三棱柱
中，侧棱长为
，底面三角形的边长为1，则
与侧面
所成的角是____________
解析：
，点到平面的距离为
，∴
，
．
15、已知
的方程是
，
的方程是
，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是__________________
解析：：圆心
，半径
；：圆心
，半径
．设
，由切线长相等得
，．
16、下面有5个命题：
①函数
的最小正周期是
．
②终边在轴上的角的集合是
．
③在同一坐标系中，函数
的图象和函数
的图象有3个公共点．
④把函数
的图象向右平移得到
的图象．
⑤函数
在
上是减函数．
其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）
解析：①
，正确；②错误；③，
和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．