高考数学不等式部分错题精选

2006年高考数学复习易做易错题选

不等式部分

一、选择题：

1．（如中）设若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是

A　(a-1)(c-1)>0　B  ac>1　 C　ac=1　　 D　ac>1

错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数的图象,由图可得出选D.

2．（如中）设成立的充分不必要条件是

A　　　　B　 　　　　C　　　　D　 x<-1

错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D。

3．（如中）不等式的解集是

A　  B 　C 　D

错解：选B，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。正确答案为D。

4．（如中）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x,则

A　 　 B　 　　C　　 D　

错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。正确答案为B。

5．（如中）已知，则2a+3b的取值范围是

A　 　B 　 C　 　 D　

错解：对条件“”不是等价转化，解出a,b的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。正解：用待定系数法，解出2a+3b=(a+b)(a-b),求出结果为D。

6．（石庄中学）若不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（　）

A　 a≤-或a≥　 B　 a＜　　 C　　 -≤a≤　　　　 D　a≥  

正确答案：D　 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

7．（石庄中学）已知函数y=㏒(3x在[-1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围（　　）

A　 a≤-6　 B　 -＜a＜-6　　C　 -8＜a≤-6　　 D　－8≤a≤-6

正确答案：C　 错因：学生忘记考虑定义域真数大于0这一隐含条件。

8．（石庄中学）已知实数x、y、z满足x+y+z=0,xyz＞0记T=＋＋,则（　　）　　　　　

A　 T＞0　 B　　 T=0　　 C　　T＜0　　  D　　 以上都非  

正确答案： C　 错因：学生对已知条件不能综合考虑，判断T的符号改为判定 xyz(＋＋)的符号。

9．（石庄中学）下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（　　 ）

A． 甲　a＞b，乙   ＜　　　 B　　甲  ab＜0，乙  ∣a+b∣＜∣a－b∣　　　　　 C  甲　a=b ，乙　a＋b=2　  D　 甲　　，乙　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

正确答案： D　错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。

10．（石庄中学）f(x)=︱2—1｜，当a＜b＜c时有f(a)＞f(c)＞f(b)则（　 ）　　　　　　　　　　　　 A  a＜0,b＜0,c＜0　　 B　a＜0,b＞0,c＞0　　 C　2＜2　 D　 2＜2　

　　　 正确答案：D　 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。

11．(磨中)a,b∈R，且a>b，则下列不等式中恒成立的是（　）

A.a²>b²　　　　　　　　 B.( ) ^a <()^b　　　　　　C.lg(a－b)>0　　　　 D.>1

正确答案：B。

错误原因：容易忽视不等式成立的条件。

12．(磨中)x为实数，不等式x－3－x－1>m恒成立，则m的取值范围是（　 ）

A.m>2　　　　　 　　　　　　　B.m<2　　　　　　　　　 　　　 C.m>－2　　　　　　　 　　　 D.m<－2

正确答案：D。

错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错。

13．(磨中)已知实数x、y满足x²+y²=1，则(1－xy)(1+xy)(　)

A.有最小值，也有最大值1　　　　　　　　　　　　 B.有最小值，也有最大值1

C.有最小值，但无最大值　　　　　　　　　　　　　　D.有最大值1，但无最小值

正确答案：B 。

错误原因：容易忽视x、y本身的范围。

14．(磨中)若a>b>0，且>，则m的取值范围是（　）

A. mR　　B. m>0　　C. m<0　　D. –b<m<0

正确答案：D 。

错误原因：错用分数的性质。

15．（城西中学）已知，则是的（　　　）条件

A、充分不必要　　B、必要不充分　　C、既不充分也不必要　　D、充要

正确答案：D

错因：不严格证明随便判断。

16．（城西中学）如果那么的取值范围是（　 ）

A、　　B、　 　C、　　 D、

正确答案：B

错因：利用真数大于零得x不等于60度，从而正弦值就不等于，于是就选了D.其实x等于120度时可取得该值。故选B。

17．（一中）设则以下不等式中不恒成立的是　　　　　　　　　 （　　　 ）

　A．　　　　　  　　　　　 B．

 C．　　　　　　　　　  D．

正确答案：B

18．（一中）如果不等式（a>0）的解集为{xm≤x≤n}，且m-n=2a，则a的值等于（　　）

A．1　　　　　 B．2　　　　C．3　　　 D．4

正确答案：B

19．（蒲中）若实数m，n，x，y满足m²+n²=a，x²+y²=b（a≠b），则mx+ny的最大值为（　 ）

　  A、　　　　  B、　　　　 C、　　　　 D、

　  答案：B

　  点评：易误选A，忽略运用基本不等式“=”成立的条件。

20．（蒲中）数列{a_n}的通项式，则数列{a_n}中的最大项是（　　）

　  A、第9项　　　　　　　　　　　　　  B、第8项和第9项

C、第10项　　　　　　　　　　　　　 D、第9项和第10项

答案：D

点评：易误选A，运用基本不等式，求，忽略定义域N*。

21．（丁中）.若不等式＞在上有解,则的取值范围是　　  （　 ）

　　A． 　　　 B. 　　　　C．　 　　　　D．

错解：D

错因：选D恒成立。

正解：C

22．（薛中）已知是方程的两个实根，则的最大值为（　　 ）

　　A、18　　　B、19　　　 C、　　　　  D、不存在

　　答案：A

　　错选：B

　　错因：化简后是关于k的二次函数，它的最值依赖于所得的k的范围。

23．（薛中）实数m,n,x,y满足m²+n²=a , x²+y²=a , 则mx+ny的最大值是　　　　　。

　　A、　　　　 B、　　　 C、　　　　D、

答案：B

　　错解：A

错因：忽视基本不等式使用的条件，而用得出错解。

24．（案中）如果方程（x-1）(x ²-2x＋m)=0的三个根可以作为一个三角形的三条边长，那么实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　 ）

A、0≤m≤1　　　　　 B、＜m≤1　　　 C、≤m≤1　　 D、m≥

正确答案：（B）

错误原因：不能充分挖掘题中隐含条件。

二填空题：

1．（如中）设，则的最大值为　　　　　　 

错解：有消元意识，但没注意到元的范围。正解：由得：，且，原式=，求出最大值为1。

2．（如中）若恒成立，则a的最小值是　　　　　  　　　

　 错解：不能灵活运用平均数的关系，正解：由，即，故a的最小值是。

3．（如中）已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=的最小值为　　　　 。

错解一、因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。

错解二、，所以z的最小值是。

错解分析：解一等号成立的条件是相矛盾。解二等号成立的条件是，与相矛盾。

正解：z===，令t=xy, 则，由在上单调递减,故当t=时 有最小值,所以当时z有最小值。

4．(磨中)若对于任意x∈R，都有(m－2)x²－2(m－2)x－4<0恒成立，则实数m的取值范围是　　　　　 。

正确答案：(－2,2) 。

错误原因：容易忽视m＝2。

5．（城西中学）不等式ax+ bx + c＞0 ，解集区间（- ，2），对于系数a、b、c，则有如下结论：

①　　 a ＞0　②b＞0　③ c＞0 ④a + b + c＞0　⑤a – b + c＞0，其中正确的结论的序号是________________________________.

正确答案 2 、3、 4

错因：一元二次函数的理解

6．（一中）不等式(x－2)≥0的解集是　　　　　　  ．

正确答案：

7．（一中）不等式的解集为（-∞，0），则实数a的取值范围是_____________________。

正确答案：{-1，1}

8．（一中）若α，β，γ为奇函数f(x)的自变量，又f(x)是在（-∞，0）上的减函数，且有α+β>0，α+γ>0，β+γ>0，则f(α)+f(β)与f(-γ)的大小关系是：f(α)+f(β) ______________f(-γ)。正确答案：<

9．（蒲中）不等式x+1(2x－1)≥0的解集为____________

答案：

点评：误填而忽略x=－1。

10．（蒲中）设x>1，则y=x+的最小值为___________

答案：

点评：误填：4，错因：≥，当且仅当即x=2时等号成

立，忽略了运用基本不等式求最值时的“一正、二定、三相等”的条件。

11．（丁中）设实数a,b,x,y满足a²+b²=1,x²+y²=3, 则ax+by的取值范围为_______________.

错解：

错因：，当且仅当时等号成立，而此时与已知条件矛盾。

正解：[－]　

12．（丁中）.－4＜k＜o是函数y=kx²－kx－1恒为负值的___________条件

错解：充要条件

错因：忽视时符合题意。

正解：充分非必要条件　

13．（丁中）函数y=的最小值为_______________

错解：2

错因：可化得，而些时等号不能成立。

正解：

14．（丁中）已知a,b，且满足a+3b=1，则ab的最大值为___________________.

错解：

错因：由得，，

等号成立的条件是与已知矛盾。

正解：

15．（薛中）设函数的定义域为R，则k的取值范围是　　　　 。

　　 A、　　 B、　　  C、　　  D、

　　 答案：B

　　 错解：C

　　 错因：对二次函数图象与判别式的关系认识不清，误用。

16．（薛中）不等式(x-2)² (3-x) (x-4)³ (x-1) 的解集为　　　　  。

　  答案：

　　错解：

　　错因：忽视x=2时不等式成立。

17．（薛中）已知实数x,y满足，则x的取值范围是　　　　　　　。

　　 答案：

　　 错解：

　　 错因：将方程作变形使用判别式，忽视隐含条件“”。

18．（薛中）若，且2x+8y-xy=0则x+y的范围是　　　　  。

答案：由原方程可得

　　 错解：设代入原方程使用判别式。

　　 错因：忽视隐含条件，原方程可得y (x-8)=2x，则x>8则x+y>8

19．（案中）已知实数　　　　　　　　　　 。

正确答案：

错误原因：找不到解题思路，另外变形为时易忽视这一条件。

20．（案中）已知两个正变量恒成立的实数m的取值范围是　　　　　　　　　　　　 。

正确答案：

错误原因：条件x+y＝4不知如何使用。

21．（案中）已知函数①②③④，其中以4为最小值的函数个数是　　　　　　 。

正确答案：0

错误原因：对使用算术平均数和几何平均数的条件意识性不强。

22．（案中）已知是定义在的等调递增函数，且，则不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　　 。

正确答案：

错误原因：不能正确转化为不等式组。

23．（案中）已知a²+b²+c²=1, x²+y²+z²=9, 则ax+by+cz的最大值为　　　　　

正确答案：3

错误原因：忽视使用基本不等式时等号成立的条件，易填成5。应使用如下做法：9a²+x²≥6ax, 9b²+y² ≥6by，9c²+z²≥6cz，6(ax+by+cz)≤9（a²+b²+c²）+9(x²+y²+z²) = 18, ax+by+cz≤3

三、解答题：

1．（如中）是否存在常数 c，使得不等式对任意正数 x,y恒成立？

错解：证明不等式恒成立，故说明c存在。

正解：令x=y得，故猜想c=,下证不等式恒成立。

要证不等式，因为x,y是正数，即证3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2（2 x+y）(x+2y),也即证,即2xy≤，而此不等式恒成立，同理不等式也成立，故存在c=使原不等式恒成立。

2．（如中）已知适合不等式的x的最大值为3，求p的值。

错解：对此不等式无法进行等价转化，不理解“x的最大值为3”的含义。

正解：因为x的最大值为3，故x-3<0,原不等式等价于，

即，则，

设（1）（2）的根分别为，则

若，则9-15+p-2=0，p=8

若，则9-9+p+2=0,p=-2

当a=-2时，原方程组无解，则p=8

 3．（搬中） 设，且，求的取值范围。

　　解：令

　　则

　　

　　比较系数有

　　

　　即

　　说明：此题极易由已知二不等式求出的范围，然后再求即的范围，这种解法错在已知二不等式中的等号成立的条件不一定相同，它们表示的区域也不一定相同，用待定系数法则容易避免上述错误。

 4．（搬中） 若，解关于的不等式：。

　　解：令

　　则

　　

　　的判别式

　　恒成立

　　

　　原不等式的解为

　　说明：此题容易由得出的错误结论。解有关不等式的问题，一定要注意含参数的表达式的符号，否则易出错误。

5．（搬中） 求函数的极大值或极小值。

　　解：当时，

　　

　　当且仅当

　　即时，

　　当时，

　　

　　当且仅当

　　即时，

　　说明：此题容易漏掉对的讨论。不等式成立的前提是。

6．（搬中）求函数的最大值。

　  解：

　　　　　

　　当且仅当

　　即时，

　　
　　说明：此题容易这样做：

。但此时等号应满足条件，这样的是不存在的，错误的原因是没有考虑到等号成立的条件。这一点在运用重要不等式时一定要引起我们高度的重视。

7．（搬中）解不等式：。

　　解：当时，原不等式为

　　

　　当时，原不等式为

　　

　　又

　　

　　原不等式的解为

　　说明：此题易在时处出错，忽略了的前提。这提醒我们分段求解的结果要考虑分段的前提。

7．（搬中） 若且，解不等式：

　　

　　解：若，两边取以为底的对数

　　

　　若，同样有，

　　

　　又

　　当时不等式的解为

　　当时不等式的解为

　　说明：此题易在时的解中出错，容易忽略这个条件。解决对数问题要注意真数大于0的条件。

8．（搬中）方程的两根都大于2，求实数的取值范围。

　　解：设方程的两根为，则必有

　　

　　说明：此题易犯这样的错误：

　　

　　且

　　和判别式联立即得的范围

　　原因是只是的充分条件

　　即不能保证同时成立

9．(磨中)设函数f(x)=log_b(b>0且b≠1)，

（1）求f(x)的定义域；

（2）当b>1时，求使f(x)>0的所有x的值。

解　（1）∵x²－2x+2恒正，

∴f(x)的定义域是1+2ax>0，

即当a=0时，f(x)定义域是全体实数。

当a>0时，f(x)的定义域是（－，+∞）

当a<0时，f(x)的定义域是（－∞，－）

（2）当b>1时，在f(x)的定义域内，f(x)>0>1x²－2x+2>1+2ax

x²－2(1+a)x+1>0

其判别式Δ=4(1+a)²－4=4a(a+2)

(i)当Δ<0时，即－2<a<0时

∵x²－2(1+a)x+1>0

∴f(x)>0x<－

(ii)当Δ=0时，即a=－2或0时

若a=0,f(x)＞0(x－1)²>0

x∈R且x≠1

若a=－2,f(x)＞0(x+1)²＞0

x＜且x≠－1

(iii)当△＞0时，即a＞0或a＜－2时

方程x²－2(1+a)x+1=0的两根为

x₁=1+a－,x₂=1+a+

若a＞0，则x₂＞x₁＞0＞－

∴或

若a<－2，则

∴f(x)＞0x＜1+a－或1+a+＜x＜－

综上所述：当－2＜a＜0时，x的取值集合为xx＜－

当a=0时，x∈R且x≠1，x∈R，当a=－2时：xx＜－1或－1＜x＜

当a＞0时，x∈xx＞1+a+或－＜x＜1+a－

当a＜－2时，x∈xx＜1+a－或1+a+＜x＜－

错误原因：解题时易忽视函数的定义域，不会合理分类。

10．（城西中学）设集合M＝[－1，1]，N=[－，]，f(x)=2x²+mx－1，若x∈N,m∈M,求证f(x)≤

证明：f(x)=2x²+mx－1= (2x²－1)+mx≤(2x²－1)+mx= (2x²－1)+mx≤(2x ²－1)+ x

=－2（ x－）²＋≤

错因：不知何时使用绝对值不等式。

11．（城西中学）在边长为a的正三角形中，点P、Q、R分别在BC、CA、AB上，且BP+CQ+AR=a,设BP=x,CQ=y,AR=z,三角形PQR的面积为s,求s的最大值及相应的x、y、z的值。

解 设ΔBPR、ΔPCR、ΔARQ的面积为s_1、、s₂、s₃，则

S=S_ΔABC－S₁－S₂－S₃=a²－[a²－（xy+xz+yz）]＝（xy+xz+yz）

由x+y+z=a,得xy+yz+zx≤,∴S_mav=a²，此时，x=y=z=

错因：不知如何使用基本不等式。

12．（蒲中）设a、b∈R，求证：≤

证明：当a+b=0时，不等式已成立

　　　当a+b≠0时，∵ a+b≤a+b

　　　∴ =≤=

　　　　 =+≤

点评：错证：∵a+b≤a+b

　　　∴ ≤≤ ①

　　　错因：①的推理无根据。

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