北京市朝阳区2006～2007学年度高三年级第二次统一考试
数学试卷(文科) 2007.5
(考试时间120分钟, 满分150分)
第Ⅰ卷 (选择题共40分)
| 得分 | 评卷人 |
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的
4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)不等式
>0的解集是
（ ）
A. ｛x x >5或 x<2｝ B. ｛x 2< x<5｝
C. ｛x x >5或 x<-2｝ D. ｛x -2< x<5｝
(2)与函数y=2x的图象关于y轴对称的函数图象是 （ ）
(3)已知直线a 、b和平面
、
，∩=l，a
，b，则a 、b的位置关系可能是
（ ）
A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面
(4)把函数
的图象向右平移
个单位，所得的图象对应的函数是 （ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
(5)二项式(x-
)9的展开式中含x5的项的系数是
( )
A．72 B．-72 C．36 D．-36
(6) 某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 ( )
A．120种 B．48种 C．36种 D．18种
(7) 设f(x)=x2+bx+c且f(0)= f(2)，则 （ ）
A．f(-2)< c< f(
) B．f()< c< f(-2)
C．f()<f(-2) <c D． c< f()<f(-2)
(8) 已知圆F的方程是
，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引倾斜角为
的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点(在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D)，若
，
，
成等差数列，则的值为 （ ）
A．±arctan
B．
C．arctan
D．arctan或π- arctan
朝阳区高三第二次统一考试数学试卷(文科)
第II卷（非选择题 共110分）
| 二 题 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 二题 总分 | |||||||||||||||
| 三 题 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||||||||||||||||
| Ⅰ | Ⅱ | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅰ | Ⅱ | Ⅰ | Ⅱ | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | ||||||||
| 三题 总分 | 二卷 总分 | |||||||||||||||||||||
| 得分 | 评卷人 |
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中
横线上.
(9) 已知向量a= (4，3)，b = (x，-4)，且a⊥b，则x = .
(10)由正数组成的等比数列{an}中，a1=
，a2·a4=9，则a5= ，
= .
(11) 若x，y满足约束条件
则z=x+y的最大值为 .
(12) 已知曲线C的参数方程是
(θ为参数)，则曲线C的普通方
程是
；曲线C被直线
x-
y=0所截得的弦长是 .
(13) 高三某班50名学生参加某次数学模
拟考试 所得的成绩(成绩均为整数)整理后
画出的频率分布直方图如右图，则该班得
120分以上的同学共有 人.
(14) 在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，若
=m，
=n，
则
= mn.拓展到空间：在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点，若
= m，
=
= n，则
=
.
 |
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
| 得分 | 评卷人 |
(15) （本小题满分13分）
△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且
.
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求
的值.
| 得分 | 评卷人 |
(16)（本小题满分13分）
一个袋子里装有大小相同且标有数字1~5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个.
(Ⅰ) 从中任意取出1个小球, 求取出的小球标有数字3的概率；
(Ⅱ) 从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；
(Ⅲ) 从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率.
| 得分 | 评卷人 |
(17) （本小题满分13分）
已知：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1.
(Ⅰ) 求证：BC∥平面PAD；
(Ⅱ) 若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥BC；
(Ⅲ) 求二面角C-PA-D的余弦值.
| 得分 | 评卷人 |
(18)（本小题满分13分）
已知函数
．
(Ⅰ)若
，求
的单调区间；
(Ⅱ) 若函数
的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a,b所满足的关系式.
| 得分 | 评卷人 |
(19)（本小题满分14分）
已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A满足
，N为AF的中点，点M在线段AE上，
．
（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
（Ⅱ）点
在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且
，若
，求实数
的范围．
| 得分 | 评卷人 |
(20)（本小题满分14分）
在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于
，每列上的数从上到下都成等差数列．
表示位于第
行第
列的数，其中
，
，
．
|
|
|
|
|
| … |
| … |
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|
| … |
| … |
|
|
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| … |
| … |
|
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|
| … |
| … |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
|
|
|
|
|
| … |
| … |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
（Ⅰ） 求的值；
（Ⅱ） 求的计算公式；
（Ⅲ）设数列｛bn｝满足bn=ann，｛bn｝的前
项和为
，求.
朝阳区高三第二次统一考试
数学试卷答案(文科) 2007.5
一.选择题
（1）B （2）A （3）D （4）B （5）C （6） C （7） B （8）D
二.填空题
（9）3 （10）27 ，
（11）5
（12）( x-2)2+ y2=2，2
（13）15 （14）mn2
三.解答题
(15) 解：（Ⅰ）∵，
∴
. ……………………………………………………3分
∴
.
…………………………………………………………5分
(Ⅱ)∵
=2cos2A+
cosA-， ………………………………………………9分
由（Ⅰ）知，代入上式得
=2(
)2+×-= -. …………………………………13分
(16) 解: 袋子里共装有1+2+3+4+5=15个小球.
(Ⅰ) ∵ 标有数字3的小球共有3个，
∴ 取出标有数字3的小球的概率为 
. ……………………4分
(Ⅱ) 标有偶数数字的小球共有2+4=6个，
取出的3个小球全标有偶数数字的概率为
………………………………6分
∴任意取出3个小球中至少有1个标有奇数数字的概率为
…………………………………8分
(Ⅲ) 2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即（1，5），(2，4），（3，3）. …10分
所求概率 
………………………13分
(17) 方法1：
(Ⅰ)解：因为ABCD是正方形，
所以BC∥AD.
因为AD平面PAD，BC
平面PAD，
所以BC∥平面PAD. ………………4分
(Ⅱ)证明：因为PD⊥底面ABCD，
且ABCD是正方形，
所以PC⊥BC.
设BC的中点为G，
连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC.
所以BC⊥EG，BC⊥FG. …………………6分
因为 EG∩FG=G，
所以BC⊥面EFG.
因为EF面EFG，
所以EF⊥BC. …………………………8分
(Ⅲ)设PA的中点为N，连结DN，NC，
因为PD=AD，N为中点，
所以DN⊥PA.
又△PAC中容易计算出PC=AC，
N为中点，所以NC⊥PA.
所以∠CND是所求二面角的平面角. ………10分
依条件，有CD⊥PD，CD⊥AD，
PD∩AD=D，
所以CD⊥面PAD.
因为DN面PAD，
所以CD⊥DN.
在Rt△CND中，容易计算出DN=，NC=
.
于是cos∠CND=
=
，即所求二面角的余弦值是. ………13分
方法2：
如图，以点D为原点O，
有向直线OA、OC、OP分别为x、y、z轴
建立空间直角坐标系.
(Ⅰ)证明：因为
=(1，0，0)，
平面PAD的一个法向量为
rPAD=(0，1，0)，
由· rPAD=0，可得⊥rPAD.
于是BC∥平面PAD. ……………………………………………4分
(Ⅱ)证明：
=(0，-
，-)，=(1，0，0)，
因为·=0，
所以EF⊥BC. …………………………………………………8分
(Ⅲ)解：容易求出平面PAD的一个法向量为rPAD=(0，1，0)，
及平面PAC的一个法向量为rPAC=(1，1， 1)，
因为rPAD· rPAC=1，rPAD=1，rPAC=
，
所以cos<rPAD， rPAC>=
=，
即所求二面角的余弦值是. …………………………………13分
(18)解：(Ⅰ) 若，
则 
=
. …………2分
令
，即
.则
或
.
∴的单调增区间是
,
. ……………………………6分
令
，即
.则
.
∴的单调减区间是
. ……………………………………………8分
(Ⅱ), 设切点为
,
则曲线
在点P处的切线的斜率
. …10分
由题意，知
有解，
∴ 
即
.
…………………………………………13分
(19) 解：（Ⅰ）∵ N为AF的中点，且，
∴ MN垂直平分AF． …………………………………………1分
又点M在线段AE上，
∴ 
．
．
∵
， …………………………………………4分
∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴
，
半焦距
． ………………………………………………………………5分
∴ 
．
∴ 点M的轨迹W的方程为
. …………………………………7分
（Ⅱ）设
，
∵ 
，，
∴ 
∴ 
…………………9分
由点P、Q均在椭圆W上，
∴ 
………………………………11分
消去
并整理，得
，
∵, ∴
.
解得
．
…………………………………………………14分
(20)解：（Ⅰ）设第4列公差为
，则
． ………2分
故
，于是
．
由于
，所以
，故
． …………………………………4分
（Ⅱ）在第4列中，
． ………6分
由于第行成等比数列，且公比，
所以， 
． ……………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得
．即bn=
．
所以
.
即
， ………10分
故
． ……11分
两式相减，得
……………12分
，………13分
所以
． …………………………………………………14分
注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分.
（2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.