北京市朝阳区2006～2007学年度高三年级第二次统一考试
数学试卷(理科) 2007.5
(考试时间120分钟, 满分150分)
第Ⅰ卷 (选择题共40分)
| 得分 | 评卷人 |
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的
4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 已知复数z1=2+mi (m∈R)，z2=4-3i，若z1·z2为实数，则m的值为 （ ）
A. 
B. - C. -
D.
(2) 不等式
>-1的解集是
（ ）
A. ｛x x >5或 x<2｝ B. ｛x 2< x<5｝
C. ｛x x >5或 x<-2｝ D.｛x -2< x<5｝
(3) 与函数y=2x-1的图象关于y轴对称的函数图象是 （ ）
 |
(4) 已知直线a和平面
、
，∩=l，a
，a，a在、内的射影分别为直线b和c，则b、c的位置关系是
（ ）
A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交，平行或异面
(5) 把函数
的图象向右平移
个单位，所得的图象对应的函数（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D. 是非奇非偶函数
(6) 某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 ( )
A．120种 B．48种 C．36种 D．18种
(7) 对函数f(x)=ax2+bx+c (a≠0，b、c∈R)作x=h(t)的代换，使得代换前后函数的值域总不改变的代换是 （ ）
A. h(t)=10t B. h(t)=t2 C. h(t)=sint D. h(t)=log2t
(8) 已知圆F的方程是
，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引倾斜角为
的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点(在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D)，若
，
，
成等差数列，则的值为
（
）
A．±arctan
B．
C．arctan
D．arctan或π- arctan
朝阳区高三第二次统一考试数学试卷(理科)
第II卷（非选择题 共110分）
| 二 题 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 二题 总分 | |||||||||||||||
| 三 题 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||||||||||||||||
| Ⅰ | Ⅱ | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅰ | Ⅱ | Ⅰ | Ⅱ | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | ||||||||
| 三题 总分 | 二卷 总分 | |||||||||||||||||||||
| 得分 | 评卷人 |
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中
横线上.
(9) 已知向量a= (4，3)，b = (x，-4)，且a⊥b，则x = .
(10) 若x，y满足约束条件
则z=x+y的最大值为 .
(11) 高三某班50名学生参加某次数学
模拟考试，所得的成绩(成绩均为整
数)整理后画出的频率分布直方图如
右图，则该班得120分以上的同学共
有 人.
(12) 已知曲线C的参数方程是：
(θ为参数)，则曲线C的普通方程是
；曲线C被直线x-
y=0所截得的弦长是
.
(13) 设常数
，
展开式中
的系数为-
，则a= ，
___ __.
(14) 在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，若
=m，
=n，则
= mn. 拓展到空间：在三棱锥S-ABC中，D、E、F分别是侧棱SA、SB、SC上的点，若
= m，
=n，
= p，则
=
.
 |
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
| 得分 | 评卷人 |
(15) （本小题满分13分）
△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.
（Ⅰ）若
，求cosA的值；
（Ⅱ）若A∈[
，
]，求
的取值范围.
| 得分 | 评卷人 |
(16)（本小题满分13分）
一个袋子里装有大小相同，且标有数字1~5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个.
(Ⅰ) 从中任意取出3个小球,求取出的小球都标有偶数数字的概率；
（Ⅱ）从中任意取出2个小球,求小球上所标数字之和为6的概率；
(Ⅲ) 设任意取出的1个小球上所标数字为ξ，求Eξ.
| 得分 | 评卷人 |
(17) （本小题满分13分）
已知：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1.
(Ⅰ) 求证：BC∥平面PAD；
(Ⅱ)若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥平面PBC；
(Ⅲ)求二面角B-PA-C的余弦值.
| 得分 | 评卷人 |
(18)（本小题满分13分）
已知函数
．
(Ⅰ) 若函数
的图象上存在点P，使P点处的切线与x轴平行，求实数a,b的关系式；
(Ⅱ) 若函数
在
和
时取得极值，且其图象与
轴有且只有3个交点，求实数
的取值范围．
| 得分 | 评卷人 |
(19)（本小题满分14分）
已知O为坐标原点，点E、F的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A、M、N满足
（
），
，
，
．
（Ⅰ）求点M的轨迹W的方程；
（Ⅱ）点
在轨迹W上，直线PF交轨迹W于点Q，且
，若
，求实数
的范围．
| 得分 | 评卷人 |
(20)（本小题满分14分）
在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q，每列上的数从上到下都成等差数列．
表示位于第
行第
列的数，其中
，
，
．
|
|
|
|
|
| … |
| … |
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|
| … |
| … |
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| … |
| … |
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|
| … |
| … |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
|
|
|
|
|
| … |
| … |
| … | … | … | … | … | … | … | … |
（Ⅰ） 求
的值；
（Ⅱ） 求的计算公式；
（Ⅲ）设数列｛bn｝满足bn=ann，｛bn｝的前
项和为
，试比较与Tn=
( n∈N*) 的大小，并说明理由.
朝阳区高三第二次统一考试
数学试卷答案(理科) 2007.5
一.选择题
（1）A （2）B （3）A （4）D （5）B （6） C （7） D （8）D
二.填空题
（9）3 （10）5 （11）15 （12）( x-2)2+ y2=2，2
（13）
，
（14）
三.解答题
(15) 解：解：（Ⅰ）∵，
∴
. ∴
. …………………………………5分
（Ⅱ）
=
=2cos2A+cosA-
=2(cosA+
)2-
， …………………………………………………9分
∵A∈[，]，
∴cosA∈[-，0].
∴2(cosA+)2-∈[-，-
].
即的取值范围是[-，-].…………………………13分
(16) 解: 袋子里共装有1+2+3+4+5=15个小球.
(Ⅰ) 标有偶数数字的小球共有2+4=6个，
取出的3个小球全标有偶数数字的概率为
.…………………4分
(Ⅱ) 2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即（1，5），（2，4），（3，3）.
所求概率 
…………………………8分
(Ⅲ) 取出的小球上所标数字的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P |
|
|
|
|
|
∴Eξ=
……………13分
(17) 方法1：
(Ⅰ)解：因为ABCD是正方形，
所以BC∥AD.
因为AD
平面PAD，BC平面PAD，
所以BC∥平面PAD. …………………………………………………………4分
(Ⅱ)
证明：因为PD⊥底面ABCD，
且ABCD是正方形，
所以PC⊥BC.
设BC的中点为G，
连结EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC.
所以BC⊥EG，BC⊥FG.
因为 EG∩FG=G，
所以BC⊥面EFG.
因为EF面EFG，
所以BC⊥EF. ① …………………………………6分
又设PC的中点为H，且E为PB中点，
连结DH，
所以EH
BC.
又BCAD，且EHAD.
所以四边形EHDF是平行四边形.
所以EF∥DH.
因为等腰直角△PDC中，H为底边PC的中点，
所以DH⊥PC，即EF⊥PC. ②
因为PC∩BC=C， ③
由①②③知EF⊥平面PBC. …………………………………………8分
（②的证明也可以通过连结PF、FB，由△PFB为等腰三角形证明）
 |
(Ⅲ)（理科）
解法1：
设PA的中点为M，连结MC，
依条件可知△PAC中PC=AC，
所以MC⊥PA. ①
又PD⊥平面ABCD，∠BAD=90°，
所以AB⊥PA.
因为M、E均为中点，
所以ME∥AB.
所以ME⊥PA. ②
由①②知∠EMC为所求二面角的平面角. ……………………………………11分
连结EC，在△MEC中，容易求出ME=，MC=
，EC=
.
所以cos∠EMC=
=
，即所求二面角的余弦值是. …………13分
解法2：
过点C作CS⊥平面ABCD，使CS=PD.
连结PS，SB，
因为PD，AD，DC两两垂直，且四边形
ABCD为正方形，
故容易证明几何体PAD-SBC为三棱柱.
(即以PAD为底面，以DC为高构造三棱柱
PAD-SBC)
设BS的中点为Q，PA中点为N，
连结NQ，NC.
因为ABSP为矩形，N、Q分别为中点，
所以NQ⊥PA.
又△APC中，AC=PC，N为中点，
所以NC⊥PA.
所以∠CNQ为所求二面角的平面角. ……………………………………11分
因为BC=CS，所以CQ⊥BS.
又面BCS⊥面ABSP，所以CQ⊥面ABSP.
因为NQ面ABSP，所以CQ⊥NQ.
在Rt△NCQ中，容易求出NQ=1，NC=，
所以cos∠CNQ=
=
=，即所求二面角的余弦值是. …………13分
方法2：
如图，以点D为原点O，
有向直线OA、OC、OP分别为x、y、z轴
建立空间直角坐标系.
(Ⅰ)证明：因为
=(1，0，0)，
平面PAD的一个法向量为
rPAD=(0，1，0)，
由· rPAD=0，可得⊥rPAD.
于是BC∥平面PAD. ……………………………………………………………4分
(Ⅱ)证明：因为
=(0，-
，-)，=(1，0，0)，
=(0，-1，1)
且·=0，·=0，CB∩CP=C，
所以EF⊥平面PBC. ……………………………………………………………8分
（也可以证明平行于平面PBC的一个法向量）
(Ⅲ) 解：容易求出平面PAB的一个法向量为rPAB=(，0，)，
及平面PAC的一个法向量为rPAC=(1，1， 1)，
因为rPAB· rPAC=+=1，rPAB=
，rPAC=
，
所以cos<rPAB， rPAC>==，即所求二面角的余弦值是. ………13分
(18)解：(Ⅰ) 
, 设切点为
,
则曲线
在点P处的切线的斜率
,
由题意，知
有解，
∴ 
即
. ………………………………………………5分
(Ⅱ)由已知可得
和
是方程
的两根，
∴ 
，
，∴ 
，
． ……………………………7分
∴ 
，∴ 
在处取得极大值，在处取得极小值．
∵ 函数的图象与轴有且只有3个交点， ∴ 
………………9分
又
， ∴ 
解得
．………13分
(19) 解：（Ⅰ）∵
，，
∴ MN垂直平分AF．
又，∴ 点M在AE上，
∴ 
，
，
∴ 
， ………………………………………………4分
∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴
，半焦距
，
∴ 
．
∴ 点M的轨迹W的方程为
（）．……………………………6分
（Ⅱ）设
∵ 
，，
∴ 
∴ 
……………………………8分
由点P、Q均在椭圆W上，
∴ 
……………………………10分
消去
并整理，得
，
由
及，解得
． ……………………………14分
(20)解：（Ⅰ）设第4列公差为
，则
．
故
，于是
．
由于
，所以
，故
． ………………………………………3分
（Ⅱ）在第4列中，
．
由于第行成等比数列，且公比，
所以， 
． ………………………………6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知
．即bn=
．
所以
.
即
，
故
．
两式相减，得
，
所以
． ………………………………………………8分
设f(x)=2-
-
( x >0)，
即f(x)=2-
-=2-
=2-(2+ x)2-x.
因为f ′(x)= -[2-x+(2+ x)2-x(-1)ln2]= 2-x[(2+ x)ln2-1]
=2-x[ln22+ x - lne]=2-xln
，
且当x>0时，x+2>2. 所以22+ x>22= 4.
于是>
>1.
所以ln>0.
又2-x>0，
所以在(0，+∞)上f ′(x) =2-xln>0.
因此函数f(x)=2--在(0，+∞)单调递增.
所以 ( n∈N*)是递增数列. ……………………………10分
同理设g(x)=
( x >0)，
因为g′(x)=
·
= -
<0 ( x >0)，
故g(x)=在(0，+∞)单调递减.
所以Tn=( n∈N*)是递减数列. ………………………………………12分
容易计算S1=f(1)=，S2=f(2)=1，S3=f(3)=1
，S4=f(4)=1
，
T1= g(1)=1
，T2= g(2)=1
，T3= g(3)=1
，T4= g(4)=1
，
显然S1< T1，S2< T2，S3< T3，S4> T4，
所以当n≤3时，<Tn；当n>3时，>Tn.
……………………………14分
注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分.
（2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.