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高考数学二诊文科试题

2014-5-20 5:52:26下载本试卷
绵阳市高中2007级第二次诊断性考试
理科数学参考答案及评分意见
  
  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把它选出来填涂在答题卡上.
  CDACB    ACBDA    BD
  二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
  13.     14.b≤且 b≠0    15.    16.4
  三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
  17.由 知B为锐角,得 ,,
  所以 ,得 A + B = 45?,
  因此∠C = 135?,表明c边最长.       ........................... 5分
  ∵ tanA>tanB,且正切函数在(0?,90?)内单调增加,
  ∴ A>B,于是b边最短,即 b = 1.
  ∵ ,
  ∴ 由正弦定理 得 ,
  故最长边的值为.                ...........................12分
  18.设不等式︱2x-4︱<5-x,,2x2 + mx-1<0的解集分别为A,B,C.
  则由︱2x-4︱<5-x得,当x≥2时,不等式化为 2x-4<5-x,得 x<3,所以有2≤x<3;当x<2时,不等式化为 4-2x<5-x,得 x>-1,所以有-1<x<2,故A =(-1,3).       ............... 3分
? ? ?
  ? 0≤x<1 或 2<x≤4, 即 B = [ 0,1∪(2,4.
  ............... 6分
  若同时满足①②的x值也满足③,则有A∩B?C.
  设 f(x)= 2x2 + mx-1,则由于A∩B = [ 0,1∪(2,3),
  故结合二次函数的图象,得 .
  ............... 12分
  19.设开办初中班x个,高中班y个,收取的学费总额为z万元.
  根据题意,有 x≥0,y≥0,且x、y∈Z;         ①
       20≤x + y≤30;                    ②
       25x + 50y + 2.5×3.2x + 4.0×4.0y ≤1320,
       即 x + 2y≤40.                    ③
  目标函数为 z = 0.7×40 x + 0.8×45 y = 28 x + 36 y,可行域如图:
  ............... 6分
把z = 28 x + 36 y变形为,
得到斜率为,在y轴上的截距为,随z
变化的一簇平行直线.由图象可以看到,当直
线z = 28 x + 36 y经过可行域上的点A时,z最大.
  解方程组 得x = 20,y = 10,
即点A的坐标为(20,10),所以 zmax = 28×20 + 36×10 = 920.
  由此可知,开办20个初中班和10个高中班,收取的学费总额最多,为920万元.                               ............... 12分
  
  20. (Ⅰ) ∵ f(x)= x3 +(m2-4m + 2)x + m3-6m2 + 9m-1,
  ∴ f ′(x)= 3x2 +(m2-4m + 2).
  因为f(x)有极值,故 f ′(x)= 0有两个不同的实数根,
  ∴ m2-4m + 2<0, ∴ .   .................. 4分
  (Ⅱ)设 f ′(x)= 0的实数根为?,?(?<?),则 ? +? = 0.
  于是 g(m)= f(?)+ f(?)
  = ?3 + ?3 +(m2-4m + 2)(? + ?)+ 2(m3-6m2 + 9m-1)
  =(? + ?)(?2-?? + ?2)+(m2-4m-2)(? + ?)+ 2(m3-6m2 + 9m-1),
  由 ? +? = 0 得 g(m)= 2(m3-6m2 + 9m-1),().                      .................. 8分
  ∴ g ′(m)= 6(m2-4m + 3),由 g ′(m)= 0,得 m = 1,3.
m

...
1
...
3
...

g ′(m)

+
0

0
+

g(m)


6

-2


  
  由上表得,最大值 g(1)= 6,最小值 g(3)=-2. ............12分
  
  21.设直线FA的斜率为k,其方程为y = kx + 1. ①
  因为点A(x,y)同时满足式①和圆,所以把式①代入圆的方程中,得 (x-3)2 +(kx + 1)2 = 1,
  即 (1 + k2)x2-(6-2k)x + 9 = 0.
  其根的判别式 △ =(6-2k)2-4 · 9 ·(1 + k2)≥0,
  解得 .                         ②  ......... 3分
  设 、,把式①代入抛物线方程中,得
  ,即 x2-4kx-4 = 0.             ③
  显然△ =(4k)2-4×1×(-4)= 16(k2 + 1)>0,xB,xC是方程③的两个实数根,
  有 xB + xC = 4k,xB · xC =-4.                ④ ......... 6分
  于是切线CP、BP的方程为
  ,          ⑤
  ,         ⑥
  由⑤-⑥得 ,
  ∴ ,
  =.
  于是CP与BP的交点为P(2k,-1),即点P的轨迹为一条水平线段,其轨迹方程为.            .................. 12分
  
  22. (Ⅰ)当n≥2时,由已知式子,得 an [ an-(2n-1)] = an-1(a n-1 + 2n-1),
  整理,得 an 2-an-12 =(2n-1)(an + a n-1).
  因为 { an } 是正项数列,所以 an + a n-1 ≠0,
  故只有 an = an-1 + 2n-1.                     ............2分
  于是,当n≥2时, a2 = a1 + 2×1,
           a3 = a2 + 2×1,
           ......
           an = an-1 + 2n-1,
  上面n-1个式子相加得 an-a1 = 2(2 + 3 + ... + n)-(n-1),
  解得 an = n2.
  又当 n = 1时,a1 = 1满足上式,故an = n2.        ............5分
  (Ⅱ)
  ,,
  ............7分
  当n = 1时,;当n = 2时,;当n = 3时,; 猜想当n≥3时,.       ............9分
  以下用数学归纳法证明:
  ① 当n = 3时,左边右边,命题成立.
  ② 假设当n = k(k≥3)时,,即 .
  当n = k + 1时,(因为 ?
(k + 2)2 <3 k(k + 3)? 2k2-4k + 5>0 ? 2(k-1)2 + 3>0),命题成立.
  故当n≥3时,.
  综上所述,当n = 1时,,n = 2时,,当n≥3时,.                                   ............14分