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高考数学串讲(共6讲)

2014-5-20 5:52:32下载本试卷

高考数学串讲(二) 直线 平面 简单几何体

一,基础知识

1,直线,平面之间的平行与垂直的证明方法

(1),运用定义证明(有时要用反证法);   (2),运用平行关系证明;

(3),运用垂直关系证明;          (4),建立空间直角坐标系,运用空间向量证明

2,空间中的角和距离的计算

(1),求异面直线所成的角

①,(平移法)过P作,,则的夹角就是的夹角;

②,证明(或),则的夹角为(或);

③,求所成的角(),再化为异面直线所成的角().

(2),求直线与平面所成的角

①(定义法)若直线在平面内的射影是直线,则的夹角就是的夹角;

②,证明(或),则的夹角为(或);

③求的法向量所成的角,则所成的角为.

(3),求二面角

①,(直接计算)在二面角的半平面内任取一点,过P作AB的垂线,

交AB于C,再过P作的垂线,垂足为D,连结CD,则,故为所求的二面角.

②,(面积射影定理)设二面角的大小为(),平面内一个平面图形F

的面积为,F在内的射影图形的面积为,则.(当为钝角时取“”).

③,(异面直线上两点的距离公式):,其中是二面角

的平面角,EA在半平面内且于点A,BF在半平面内且FB

AB于B,而,,.

④,(法向量法)平面的法向量与平面的法向量所成的角为,则所求的二面角为

 (同类)或(异类).

(4),求异面直线的距离

①(定义法)求异面直线公垂线段的长;   

②(体积法)转化为求几何体的高;

③(转化法)转化为求平行线面间的距离或平行平面间的距离;

④(最值法)构造异面直线上两点间距离的函数,然后求函数的最小值;

二,跟踪训练

1,(04湖北)如图,在棱长为1的正方体

中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点。

(I)试确定点F的位置,使得平面

(II)当平面时,求二面角

的大小(结果用反三角函数值表示)

2,(04北京)如图,在正三棱柱中,

AB=3,,M为的中点,P是BC上一

点,且由P沿棱柱侧面经过棱到M的最短路线

长为,设这条最短路线与的交点为N,求:

(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;

(II)PC和NC的长;

(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)。

C1

 
3,(05天津)如图,在斜三棱柱中,

,AB=AC,,侧面

与底面ABC所成的二面角为,E,F分

别是棱的中点。

(I)求与底面ABC所成的角;

(II)证明:平面;(III)求经过,A,B,C四点的球的体积。

4,(05广东)如图,在四面体中,已知PA=BC=6,

PC=AB=10,AC=8,PB=。F是线段PB上一点,

CF=,点E在线段AB上,且

(I)证明:平面CEF;

(II)求二面角的大小。

5,(05湖南)如图1,已知ABCD是上,下底边长分别

为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴

折成直二面角,如图2。

(I)证明:

(II)求二面角的大小。

三,简明提示

1,(I)设,得,当点F是CD的中点时,平面

(II)二面角的大小为

2,(I);(II);(III)

3,(I);(II)略;(III)半径

4,(I)由勾股定理得均为直角,得平面ABC,

再用等面积法证明,结合可证;

(II)为所求的二面角的平面角,

5,(I)建立空间直角坐标系,可证得;(II)用法向量法可求得