高考数学串讲（六） 高考解题三引
在高考解题时,若能恰到好处地引入一些有力的工具,会对解题带来很大的帮助.下面
我们来探讨一下几种常用解题工具的引入.
一,引入函数
函数是联系运动与静止,变化与定值的有力工具.解题时,若能恰到好处地引入她,会对
我们的解题工作带来很大的帮助.
问题1,(2005全国Ⅲ)若
,
,
,则
A.
B.
C.
D.
问题2,若实数
满足
;
.求证:
.
问题3,(2005华师附中测试题)已知函数
,
.
(Ⅰ)若
,求证:
.
(Ⅱ)是否存在实数
,使方程
有四个不同的实根?若若存在,求出
的取值范围;若不存在,说明理由.设质
解答:
问题1,解析:由题之模型,我们引入函数
,可得
.
有(1)当
时,
,
为增函数;(2)当
时,
,为减函数.
于是得
,删除A,D又
,知
,于是选C.
问题2,分析:将所证的不等式作差变形得
,由,
我们设
,这样引入了函数
,现考虑它的单调性即可.
解:由;.设,引入函数
,可得
.
而,得
,
,得
0.(在
时取等号)
所以在
上为减函数,得
=1,
即
,于是得
.
问题3,解:(Ⅰ)令
.
则
=
由,得
,知
在
上为增函数.
又在
处连续,得在
上为增函数,
而,得
=0,即.
(Ⅱ)由原方程得
①,令
,并变形得
②
要方程①有四个不同实根,则要方程②有两个不同正根.
令
,
它们的图象如右图所示
当两曲线在点
=
处相切时,由
,
得
,于是
,得切点为
,这时
切线方程为
,即
,
与
轴的交点为
,要两曲线在轴右边有两个不同交点,
则
,即
.
所以当时,原方程有四个不同的实根.
评注:本题在解答过程中,3处引入了函数,从而为问题的解决带来了方便.
二,引入直角坐标系
直角坐标系实现了数与形之间的真沟通.引入她,可使我们的解题工作左右逢源.
问题4.(2005山东)设
满足约束条件
,则使得目标函数
的值最大的点()是
.
问题5.(2004湖北)如图,在
中,已知
.若长为
的线段
以点A为中点,问
与
的夹角
取何值时
的值最大?并求出这个最大值.
问题6.(2005天津)某人在山坡P处观看对面山崖顶上的一座铁塔,如图所示,塔高BC=80
(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),图中所示的山坡可视为直线
,且点P在直
线上,与水平地面的夹角为
,
.试问,此人距水平地面多远时,观看塔的视角
最大(不计此人的身高)?
问题7,(05重庆) 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=
，BB1=2，BC=1，∠BCC1=
，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；
（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.
解答;
问题4,(2,3) 引入平面直角坐,解决线性规划问题.
问题5,解:如图,建立平面直角坐标系,设
,
,则A(0,0),B(
,
.且
,
. 设点
,则
.
由
,
,
.
得
=
.
又
,得
.于是
.
故当
,即
(与同向)时,最大,其最大值为0.
问题6,解:如图所示,建立平面直角坐标系,则A(200,0)
B(0,220),C(0,300).
直线的方程为
,即
.
设点,则
.
由经过两点的直线的斜率公式得
,
.又由直线PC到直线PB的角的公式得
=
.
要使
达到最大,只须
达到最小.由均值不等式得
.
当且仅当
时,上式取得等号,故当
时,最大.
这时,点P的纵坐标为
.由此实际问题知,
,
所以最大时,最大.
故当此人距水平地面60米高时,观看铁塔的视角最大.
问题7,解:（I）以B为原点,
、
分别为y、z轴建立空间直角坐标系.
|
，∠BCC1=，
在三棱柱ABC—A1B1C1中有
B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），
设
又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，
则
，故异面直线AB、EB1的距离为1.
（II）由已知有
故二面角A—EB1—A1的平面角的大小为向量
的夹角.
三,引入向量
向量既有方向,又有大小.她是研究现代数学的有力工具.在解高考题时,我们若能引入她,可使解题工作妙不可言.
问题8, 若异面直线
所成的角为
,AB是公垂线,E,F分别是异面直线上到A,B距离为2和1的两点,当
时,线段AB的长为
.
问题9, 已知都是正数,
且
,
,则函数
的最小值是
.
问题10,(04广东)如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,
已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段
AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(I) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(II) 求直线EC1与FD1所成的余弦值.
解答
问题8,解:如图, 由
,得
(1)当
时,有
,
得
;
(2)当
时,有
,得
.
问题9,由已知,我们作向量
,则
,
,
.
又
,得
.
即
,于是所求的最小值为1.
问题10,解: （I）以A为原点，
分别为x轴, y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,
则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)
于是,
设向量
与平面C1DE垂直，则有
（II）设EC1与FD1所成角为β，则
.