2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（理工类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至10页。考试结束后. 将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 柱体(棱柱、圆柱)的体积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么 其中S表示柱体的底面积，
P（A·B）=P（A）·P（B） 
表示柱体的高
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
(1) 
是虚数单位，
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
(2) 不等式
的解集为
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
(3)若平面向量
与向量
的夹角是
，且
，则
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
(4)设P是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
，
、
分别是双曲线的左、右焦点。若
，则
(A)
或
(B)
6 (C) 7 (D)9
(5)若函数
在区间
上的最大值是最小值的3倍，则
=
(A)
(B)
(C)
(D)
|
中，
O是底面ABCD的中心，E、F分别是
、AD的
中点。那么异面直线OE和
所成的角的余弦值等于
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)若
为圆
的弦AB的中点，则直线AB的方程是
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)已知数列
，那么“对任意的
，点
都在直线
上”是“为等差数列”的
(A)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(9)函数
)为增函数的区间是
(A)
(B)
(C)
(D)
|
中，
，分别过BC、
的两个平行截面将长方体分成
三部分，其体积分别记为
，
。若
，则截面
的面积为
(A)
(B)
(C)
(D)
(11)函数
的反函数是
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)定义在R上的函数
既是偶函数又是周期函数。若的最小正周期是
，且当
时，
，则
的值为
(A)
(B) (C)
(D)
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上.
(13)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5。现用分层抽样方法抽出一个容量为
的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量
(14)如果过两点
和
的直线与抛物线
没有交点，那么实数的取值范围是__________________
(15)若
，则
。(用数字作答)
(16)从
中任取2个数字，从
中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有______________个。(用数字作答)
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知
(I)求
的值；
(II)求
的值。
18．（本小题满分12分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。设随机变量
表示所选3人中女生的人数。
(I) 求的分布列；
(II) 求的数学期望；
(III) 求“所选3人中女生人数
”的概率。
19．（本小题满分12分）
|
中，底面ABCD是正方形，侧棱
底面ABCD，
，E是PC的中点，作
交PB于点F。
(I)证明 
平面
；
(II)证明
平面EFD；
(III)求二面角
的大小。
20．（本小题满分12分）
已知函数
在
处取得极值。
(I)讨论
和
是函数的极大值还是极小值；
(II)过点
作曲线
的切线，求此切线方程。
21．（本小题满分12分）
已知定义在R上的函数和数列满足下列条件：
，
其中为常数，
为非零常数。
(I)令
，证明数列
是等比数列；
(II)求数列的通项公式；
(III)当
时，求
22．（本小题满分14分）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
，相应于焦点
的准线
与
轴相交于点A，
，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
(I) 求椭圆的方程及离心率；
(II)若
求直线PQ的方程；
(III)设
，过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明
。
2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学试题（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。
1.D 2.A 3.A 4.C 5.A 6.B 7.A 8.B 9.C 10.C 11.D 12.D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
13．80 14．
15．2004
16．300
三、解答题
17．本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查运算能力.满分12分.
解：
(I)解：
由 ，有
解得 
。。。。。。。。。。。。。。4分
(II)解法一：
。。。。。。。。。。。。。。6分
。。。。。。。。。。。。。。。12分
解法二：由(I)，，得
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
于是 
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
。。。。。。。。。。。。。。。10分
代入得
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
(18)本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
(I)解：可能取的值为
。
所以，的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 |
| P |
|
|
|
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
(II)解：由(I)，的数学期望为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
(II)解：由(I)，“所选3人中女生人数
”的概率为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
(19)本小题考查直线一平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。满分12分。
方法一：
(I) 证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。
|
底面ABCD是正方形，点O是AC的中点
在
中，EO是中位线，
。
而
平面EDB且
平面EDB，
所以，
平面EDB。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分
(II)证明：
底在ABCD且
底面ABCD，
①
同样由底面ABCD，得
底面ABCD是正方形，有
平面PDC
而
平面PDC，
②
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
由①和②推得
平面PBC
而
平面PBC，
又
且
，所以
平面EFD 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
(III)解：由(II)知，
，故
是二面角
的平面角
由(II)知，
设正方形ABCD的边长为，则
在
中，
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
在
中，
所以，二面角的大小为
|
(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。
依题意得
底面ABCD是正方形，
是此正方形的中心，
故点G的坐标为
且
。这表明
。
而
平面EDB且平面EDB，
平面EDB。
(II)证明：依题意得
。又
故
由已知，且
所以平面EFD。
(III)解：设点F的坐标为
则
从而 
所以
由条件知，
即
解得 
。
点F的坐标为
且
即
，故是二面角的平面角。
且
所以，二面角的大小为
(20)本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分。
(I)解：
依题意，
即
解得 
令 
得
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
若 
则
，故
在
上是增函数，
在
上是增函数。
若 
则
，故
在
上是减函数。
所以，
是极大值；
是极小值。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
(II)解：曲线方程为
点
不在曲线上。
设切点为
则点M的坐标满足
因
故切线的方程为
注意到点在切线上，有
化简得
解得
所以，切点为
切线方程为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
(21)本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分12分。
(I)证明：由
可得
由数学归纳法可证 
由题设条件，当
时
因此，数列
是一个公比为的等比数列。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
(II)解：由(I)知，
当 
时
当 
时
而 
所以，当时
上式对
也成立。所以，数列
的通项公式为
当时
上式对也成立。所以，数列的通项公式为
。
(III)解：当
时
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。
(I)解：由题意，可设椭圆的方程为
由已知得
解得 
所以椭圆的方程为
，离心率
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
(II)解： 由(I)可得
设直线PQ的方程为
由方程组
得 
依题意 
得
设 
则
①
②
由直线PQ的方程得
于是
③
④
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
由①②③④得
从而
所以直线PQ的方程为
或
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分
(III)证明：
由已知得方程组
注意
解得 
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
因
故
而
所以
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分