2004年浙江省高考数学卷(文科)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则
(M
N)=
(A) {1,2,3} (B) {4} (C) {1,3,4} (D) {2}
（2）直线y=2与直线x+y—2=0的夹角是
（A）
（B）
（C）
（D）
(3) 已知等差数列
的公差为2,若
成等比数列, 则
=
(A) –4 (B) –6 (C) –8 (D) –10
（4）已知向量
且
∥
，则
=
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）点P从（1，0）出发，沿单位圆
逆时针方向运动
弧长到达Q点，则Q的坐标为
（A）（
（B）（
（C）（
（D）（
（6）曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是
（A）y2=8--4x （B）y2=4x—8 （C）y2=16--4x （D）y2=4x—16
(7) 若
展开式中存在常数项,则n的值可以是
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12
(8)“
”“A=30º”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也必要条件
(9)若函数
的定义域和值域都是[0，1]，则a=
（A）
（B） 
（C）
（D）2
（10）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α=
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）椭圆
的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被点（
，0）分成5：3两段，则此椭圆的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）若
和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程
有实数解，则
不可能是
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二.填空题：三大题共4小题，每小题4分，满分16分。把答案填在题中横线上。
（13）已知
则不等式
≤5的解集是
。
（14）已知平面上三点A、B、C满足
则AB· BC+BC·CA+CA·AB的值等于 。
（15）已知平面α⊥β， 
=
，P是空间一点，且P到α、β的距离分别是1、2，则点P到的距离为
。
（16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种（用数字作答）。
三. 解答题：本大题共6小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本题满分12分）
已知数列的前n项和为
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）求证数列是等比数列。
（18）（本题满分12分）
在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若
，求bc的最大值。
（19）（19）（本题满分12分）
如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
AB=，AF=1，M是线段EF的中点。
（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角A—DF—B的大小；
（20）（本题满分12分）
某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的）。假定工厂之间的选择互不影响。
（Ⅰ）求5个工厂均选择星期日停电的概率；
（Ⅱ）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率。
（21）（本题满分12分）
已知a为实数，
（Ⅰ）求导数
；
（Ⅱ）若
，求在[--2，2] 上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若在（--∞，--2]和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围。
（22）（本题满分14分）
解：已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双
曲线的右支上，支M（m,0）到直线AP的距离为1。
（Ⅰ）若直线AP的斜率为k，且
，求实数m的
取值范围；
（Ⅱ）当
时，ΔAPQ的内心恰好是点M，求此双曲
线的方程。
数学（文科）答案
一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分。
1.B 2.A 3. B 4.A 5.A 6.C 7.C 8.B 9.D 10.D 11D 12. B
二.填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.
14.
–4 15. 
16. 5
三.解答题
17. 解: (Ⅰ)由
,得
∴
又
,即
,得
.
(Ⅱ)当n>1时,
得
所以是首项,公比为的等比数列. (12分)
(18) 解: (Ⅰ)
=
=
=
= 
(Ⅱ) ∵
∴
,
又∵
∴
当且仅当 b=c=
时,bc=
,故bc的最大值是.
(19) (满分12分)
方法一
解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,
∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，
∴四边形AOEM是平行四边形，
∴AM∥OE。
∵
平面BDE， 
平面BDE，
∴AM∥平面BDE。
(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，
∵AB⊥AF， AB⊥AD， 
∴AB⊥平面ADF，
∴AS是BS在平面ADF上的射影，
由三垂线定理得BS⊥DF。
∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。
在RtΔASB中，
∴
∴二面角A—DF—B的大小为60º。
（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，
∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，
，
∴PQ⊥平面ABF，
平面ABF，
∴PQ⊥QF。
在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，
PF=2PQ。
∵ΔPAQ为等腰直角三角形，
∴
又∵ΔPAF为直角三角形，
∴
，
∴
所以t=1或t=3(舍去)
即点P是AC的中点。
方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。
设
，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（
、（0,0,1）,
∴NE=(
,
又点A、M的坐标分别是
（
）、（
∴ AM=（
∴NE=AM且NE与AM不共线，
∴NE∥AM。
又∵
平面BDE， 平面BDE，
∴AM∥平面BDF。
（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF
∴AB⊥平面ADF。
∴
为平面DAF的法向量。
∵NE·DB=（·
=0，
∴NE·NF=（·
=0得
NE⊥DB，NE⊥NF，
∴NE为平面BDF的法向量。
∴cos<AB,NE>=
∴AB与NE的夹角是60º。
即所求二面角A—DF—B的大小是60º。
（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得
∴CD=（，0，0）
又∵PF和CD所成的角是60º。
∴
解得
或
（舍去），
即点P是AC的中点。
(20) 解: (Ⅰ)设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,
则
.
(Ⅱ)设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,
则
因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是
,
所以
(12分)
(21) 解: (Ⅰ)由原式得
∴
(Ⅱ)由 得
,此时有
.
由得
或x=-1 , 又
所以f(x)在[--2,2]上的最大值为
最小值为
(Ⅲ)解法一: 
的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得
即
∴--2≤a≤2.
所以a的取值范围为[--2,2].
解法二:令
即
由求根公式得: 
所以在
和
上非负.
由题意可知,当x≤-2或x≥2时, ≥0,
从而x1≥-2, x2≤2,
即
解不等式组得: --2≤a≤2.
∴a的取值范围是[--2,2].
(22) (满分14分)
解: (Ⅰ)由条件得直线AP的方程
(
即
.又因为点M到直线AP的距离为1,所以
得
.
∵
∴
≤
≤2,
解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.
∴m的取值范围是
(Ⅱ)可设双曲线方程为
由
得
.
又因为M是ΔAPQ的内心,M到AP的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1。因此，
（不妨设P在第一象限）
直线PQ方程为
。
直线AP的方程y=x-1,
∴解得P的坐标是（2+，1+），将P点坐标代入
得，
所以所求双曲线方程为
即