高考数学复习—直线与圆练习试题

高考数学复习—直线与圆练习试题

第Ⅰ卷　(选择题　共40分)

一、选择题(10×4′＝40′)

1.直线l与直线y=1、x-y-7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1,-1)，则直线l的斜率为(　　)

A.　　　　  B.　　　　 C.-　　　　　 D.-

2.点P在直线2x+y+10=0上，PA、PB与圆分别相切于A、B两点，则四边形PAOB面积的最小值为　　(　　)

A.24　　　　  B.16　　　　　 C.8　　　　  D.4

3.已知直线：y=x,：ax-y=0，其中a为实数，当这两直线的夹角θ∈(0,)时，a的取值范围为　　(　　)

A.(0，1) 　　　　B.(,)　　　 C.(,1)∪(1,)　　　 D.(1,)

4.设a、b、k、p分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到直线的距离，则有(　　)

A.　　B.k=　　C.=p　　　D.a=-kb

5.已知直线x+3y-7=0，kx-y-2=0和x轴、y轴围成四边形有外接圆，则实数k等于　　(　　)

A.-3　　　　B.3　　　　 C.-6　　　　 D.6

6.若圆(r>0)上恰有相异两点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，则r的取值范围是(　　)

A.［4，6］　　  B.4,6）　　　 C.（4,6　　　　D.(4，6)

7.直线:,:,则=-1是⊥的　　(　　)

A.充分而不必要条件　　　　　  B.必要而不充分条件

C.充要条件　　　　　　　　　  D.既不充分又不必要条件

8.过圆外一点P(4，-1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为　　(　　)

A.4x-y-4=0　　　 B.4x+y-4=0　　　　C.4x+y+4=0　　　　D.4x-y+4=0

9.倾斜角为60°，且过原点的直线被圆(r>0)截得弦长恰好等于圆的半径，则a、b、r满足的条件是　　(　　)

A.　　　　　　  B.

C.　　　　　　  D.

10.直线y=kx+1与圆的两个交点关于y轴对称，则k为　　(　　)

A.-1　　　　 B.0　　　　　 C.1　　　　   D.任何实数

第Ⅱ卷　(非选择题　共60分)

二、填空题(4×3′＝12′)

11.若点P(a,b)与点Q(b+1,a-1)关于直线l对称，则直线l的方程是　　　　　　  .

12.已知圆的一条直径通过直线x-2y-3=0被圆截弦的中点，则该直径所在直线的方程为　　　　　　　 .

13.关于x的方程kx+1=有且只有一个实根，则实数k的取值范围是　　　　 .

14.经过点P(-2,4)，且以两圆和的公共弦为一条弦的圆的方程是　　　　　  .

三、解答题(6×8′＝48′)

15.若直线:x+y+a=0,:x+ay+1=0,:ax+y+1=0能围成三角形,求a的取值范围.

16.已知点P是直线l上的一点，将直线l绕点P逆时针方向旋转α(0<α<)所得直线的方程为3x-y-4=0，若继续绕点P逆时针方向旋转，则得的方程为x+2y+1=0，试求直线l的方程.

17.设P是圆M：上的动点，它关于A(9,0)的对称点为Q，把P绕原点依逆时针方向旋转90°到点S，求SQ的最值.

18.已知点A(3,0)，点P在圆的上半圆周上，∠AOP的平分线交PA于Q，求点Q的轨迹方程.

19.如图，已知⊙A:,⊙B:,动圆P与⊙A、⊙B都外切.

(1)求动圆圆心P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

(2)若直线y=kx+1与(1)中的曲线有两个不同的交点、，求k的取值范围；

(3)若直线l垂直平分(2)中的弦，求l在y轴上的截距b的取值范围.

20.已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使得l被圆C截得弦AB为直径的圆过原点?若存在，求出l的方程;若不存在，说明理由.

直线与圆练习参考答案

1.C　方法1　设直线l为y=kx+b，分别与y=1，x-y-7=0联立解得P (-,1)，Q (，).由PQ中点为(1，-1)，∴，且1＋＝-2，∴k=-，故选C.

方法2　设P (a,1)，Q (b+7,b)，因PQ的中点为(1，-1)，

∴，解得，故P为(-2,1),Q为(4，-3)，

∴,故选C.

2.C　如图，＝=2.

要求的最小值，只需求PO的最小值即可.

第2题图解

，∴，故选C.

3.C　如图，设直线y=ax的倾斜角为α,

则α≠,∴α-<,

∴<α<,且α≠.a=tanα∈(,1)∪(1,).

4.A　应用点到直线的距离公式,选A.

			第5题图解
	第3题图解

5.B　如图，设围成四边形为OABC，因OABC有外接圆，且∠AOC＝90°，故∠ABC＝90°.

∴两条直线x+3y-7=0,kx-y-2=0互相垂直，(-)·k=-1，即k=3，故选Ｂ.

说明　运用圆的几何性质是解决圆的问题的有效途径.

6.D　如图，设l:4x-3y+25=0，与l平行且距离等于1的直线为4x-3y+b=0.

∴或b=30.

:4x-3y+20=0，:4x-3y+30=0.

第6题图解

圆心(0，0)到和的距离分别为=4，=6.

故满足条件的r取值范围(4，6).

实际上，圆没有点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，

则0<r<4，若圆上只有一点到直线4x-3y+25=0的距离等于1，

则r=4，类似可求出圆上有三点、四点到直线的距离等于1

的r的取值范围.

7.A　由,可得⊥,∴选A.

第8题图解

8.A  方法1　设切点为A、B，则AB⊥OP，

∵，∴.故排除B、C.

又由图可知，AB在y轴的截距为负，故排除Ｄ，所以选A.

方法2　设A(，)，B(，)，

由AP⊥OA可得·=-1，

即.∴，又,

∴.

同理可得，∴AB直线为-4x+y+4=0，即4x-y-4=0.

方法3　设A(，)，B(，)，则切线PA为，.

∴,，∴A、B在直线4x-y-4=0上.

另:此题可推广到一般结论，若P (,)为圆 (r>0)外一点，过P引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为.

9.A　直线方程为，则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为d=，又因截得弦长恰好等于圆的半径，故d=r,∴a-b=r，故选A.

10.B　方法1　将y=kx+1代入中有.

设交点为 A(，)，B(，)，∵A、B关于y轴对称，∴，

∴k=0.故选B.

方法2　因直线与圆的两个交点A(，)，B(，)关于y轴对称

∴,,故圆心在y轴上，∴k=0，故选B.

11.x-y-1=0　P、Q关于直线l对称，故=-1且PQ中点在l上，

∴，又PQ中点为(,)，

∴l的方程为y-＝x-，即x-y-1=0.此题也可将a,b赋特殊值去求直线l.

12.2x+y-3=0  由圆的几何意义知该直径与直线x-2y-3=0垂直.故该直径方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.

13.{kk>1或k=0或k<-1}　画出函数y=kx+1、y=的图象，两曲线相切及只有一个交点时如图所示.

	第13题图解

14.　设圆的方程为经过P(-2,4)，

∴，

∴λ=-2，∴所求的圆的方程为.

15.解　由、相交，需1·a-1·1≠0,得a≠1，此时解方程组,

可解得 即、的交点为(-1-a,1),由、相交,

需1·1-1·a≠0,∴a≠1,由,相交，需1·1-a·a≠0,∴a≠±1,又(-1-a,1),

∴a·(-1-a)+1+1≠0,得a≠1且a≠-2,

综上所述，a∈R且a≠±1且a≠-2,能保证三交点(-1-a,1),(1,-1-a)、(-1-a,-1+a+)互不重合，所以所求a的范围为a∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).

16.解　由已知条件知P为直线3x-y-4=0和直线x+2y+1=0的交点,联立两直线方程得

，∴.∴P点为(1，-1).

又l与垂直，故l的方程为y+1=2(x-1)，即l的方程为2x-y-3=0.

17.解　设P(x,y),则Q（18-x,-y）,记P点对应的复数为x+yi,

则S点对应的复数为:（x+yi）·i=-y+xi,即S(-y,x),

∴SQ=

　　　　 =

其中可以看作是点P到定点B(9,-9)的距离，其最大值为MB+r=2+1，最小值为MB-r=2-1,则SQ的最大值为2+,SQ的最小值为2-.

18.解　方法1　如图，设P(,)(>0)，Q(x,y).

第18题图解

∵OQ为∠AOP的平分线，∴，

∴Q分PA的比为.

∴即.

又因，且>0，∴.

∴Q的轨迹方程为(y>0).

方法2　设∠AOP=α，α∈(0，π)，则P(cosα，sinα)，∠AOQ=，

则OQ直线方程为y=x·tan=kx　　　　①

，∴直线PA方程为y=(x-3)　　 ②

由Q满足①②且k=tan.

由②得y=.

消去k有y=，∴,由图知y>0.

故所求Q点轨迹方程为(y>0).

说明　上述两种方程为求轨迹的基本方法、相关点及参数法.

第19题图解

19.解　(1)如图，设⊙P的圆心P(x,y)，半径为R，

由题设，有PA=R+,PB=R+,∴PA-PB=2.

∴⊙P的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x轴上，且焦距长

为4的双曲线的右支，其方程为(x>0).

(2)由方程组，有(x>0).　 ①

因为直线与双曲线有两个不同交点，

∴.从而，有.　∴-2<k<-.

(3)设的中点为M(、)，则=.

又M在y=kx+1上，∴=k+1=.

∴M(,).

∴的垂直平分线l的方程为:y-=-(x-),即y-=-(x-).

令x=0,得截距b=,k∈(-2,-),又-2<k<-,∴-1<3-<0.∴b<-4.

20.解　假设存在这样的直线，设直线l方程为y=x+b.

方法1　将y=x+b代入圆的方程有.

由题设知OA⊥OB,设A(，)，B(，)，

∴＋＝0.

又＝(＋b)(+b)=＋b(＋)＋,∴2＋b(＋)＋＝0.

又∵+=-(b+1)，＝2b-2+,

∴2(+2b-2)-b(b+1)+ =0.

∴b=1或b=-4.此时Δ＝，

∴存在这样的直线l:y=x+1或y=x-4满足题设.

方法2　设过圆C与l的交点的圆系D为

即.

圆心为(-,-)，在直线y=x+b上，

∴-=-+b，即λ=3+b.　　　　　　　  ①

又圆D过原点，∴bλ-4=0.　　　　　　　　　 ②

由①②得，，即b=1或b=-4.

此时圆D的方程存在.故存在直线y=x+1或y=x-4.