08年高三理科数学测试题
命题：覃明富 孙红波 王圣忠 审题：杨天文 王圣忠
2008.2.23
满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1． 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填在试卷的答题卡上。
2． 选择题务必用2B铅笔填涂，解答题必须使用黑色墨水的签字笔作答；字迹工整，笔迹清晰。
3． 请在答题区域内作答，超出答题区域黑色边框的答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
=（ ）
A．
B．0 C．
D．
3．若
，则
的值为 （
）
A． 
B．
C．
D．
4．已知向量
，
(1, 
)，则
的最小值是（ ）
A．1 B．
C．
D．2
5．已知数列
为等差数列，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知p：
，q:
,若
是
的充分条件，则
的取值范围为（ ）
A． 
B．
C．
或
D．
或
7．关于直线
，
与平面
，
，有以下四个命题：
①若
且
，则
； ②若
且
，则
；
③若
且，则； ④若
且，则．
其中真命题的序号是 （ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
8．把函数
的图象沿
轴平移
个单位，所得图象关于原点对称，则 的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．过双曲线M:
的左顶点A作斜率为1的直线
,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且AB=BC,则双曲线M的离心率是（ ）
A.
B.
C.
D.
10．如图，在平面直角坐标系
中，
，映
射
将平面上的点
对应到另一个平面直角坐标系
上的点
，则当点
沿着折线
运
动时，在映射的作用下，动点
的轨迹是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置11．
12．
设中心在原点的双曲线与椭圆
=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是
13．如图，目标函数
的可行域为四边形
（含边界），
、
，若
为目标函数取最大值的最优解，则
的取值范围是
14．把正方形ABCD沿对角线AC折起，构成以A、B C、D四点为顶点的三棱锥，当点D到平面ABC的距离最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为
15．关于函数
（为常数，且
）对于下列命题：①函数
的最小值为-1；②函数在每一点处都连续；③函数在R上存在反函数；④函数在
处可导；⑤对任意的实数
且
，恒有
其中正确命题的序号是___________________。
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（本题满分12分）已知向量
已知角
的终边上一点
，记
。
⑴求函数
的最大值，最小正周期；
⑵作出函数在区间[0，π]上的图象。
17．（本题满分12分）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为
.
18．（本小题满分12分）随着机构改革的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数
，每人每年可创利b万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的
，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？
19．（本题满分12分）已知数列
的首项
，前项和为
，且
、、
分别是直线上的点A、B、C的横坐标，点B分
所成的比为
，设
。
⑴ 判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；
⑵ 设
，证明：
。
20．（本题满分13分）已知半圆
，动圆
与此半圆相切且与轴相切。
（1）求动圆圆心的轨迹方程。
（2）是否存在斜率为
的直线，它与（1）中所得轨迹由左到右顺次交于A、B、C、D四个不同的点，且满足AD=2BC？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由。
21．（本题满分14分）对于函数，若存在
，使
成立，则称
为的不动点。如果函数
有且仅有两个不动点
、
，且
。
（1）试求函数的单调区间；
（2）已知各项不为零的数列
满足
，求证：
；
（3）设
，
为数列
的前项和，求证：
。
宜昌市三校联合体2008届高三二月统考
数学（理科）试题 参考答案
1——10 BDCBA BDBAA
11．
12．
13．
14．
15．①②⑤
16．解：⑴角的终边上一点
……………2分
……………6分
的最大值为， 最小正周期
……………8分
⑵略。……………12分
17．（1）证明：连
，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，为
在平面的射影，
而AD=AA1=1，则四边形
是正方形
，
由三垂线定理得D1E⊥A1D ……………3分
（2）解：以点D为原点，DA为轴，DC为
轴建立如图所示的直角坐标系。则
、
、
、
则
，
，
，设平面
的法向量为
，记
点A到面ECD1的距离
……………7分
（3）解：设
则
，设平面的法向量为
，记
而平面ECD的法向量
，则二面角D1—EC—D的平面角
。
当AE=
时，二面角D1—EC—D的大小为。……………12分
18．解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则
……………4分
依题意
……………6分
（1）当
取到最大值；……………8分
（2）当
取到最大值；……………10分
答：当
，
……………12分
19．⑴由题意得
……………3分
数列是以
为首项，以2为公比的等比数列。………………6分
[则
（
）]
⑵由及得
，……………………………………………………………8分
则
……………………10分
………………12分
20．（1）设动圆圆心
，作
⊥轴于点
①若两圆外切： 
，则
化简得：
……………3分
②若两圆内切： 
，则
……………5分
综上，动圆圆心的轨迹方程是
及 ……………6分
其图象为两条抛物线位于轴上方的部分，如图所示。
（2）假设直线存在，可设的方程为
。
|
|
交于点
，与曲线交于点
。
即
①
②
， 
2
=2
即
+
=4
－
得
……………11分
将其代入方程①得 
因为曲线的横坐标范围为
，所以这样的直线不存在。
……………13分
21．（1）设
∴
∴
由
又∵
∴
∴
…… 3分
于是
由
得
或
； 由
得
或
故函数的单调递增区间为
和
，
单调减区间为
和
……4分
（2）由已知可得
， 当
时，
两式相减得
∴
或
当
时，
，若，则
这与
矛盾
∴
∴
……6分
于是，待证不等式即为
。
为此，我们考虑证明不等式
令
则
，
再令
，
由
知
∴当时，
单调递增 ∴
于是
即
①
令
，
由知
∴当时，
单调递增 ∴
于是
即
②
由①、②可知 ……10分
所以，，即
……11分
（3）由（2）可知
则
在中令
，并将各式相加得
即
……14分