高三第二次调研测试数学试题
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 那么n次独立重复试验中恰好发生k
P(A+B)=P(A)+P(B)
次的概率
如果事件A、B相互独立，那么 一组数据
的方关
P(A·B)=P(A)·P(B) 
如果事件A在一次试验中发生的概率是P， 其中
为这组数据的平均数.
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
|
1．已知全集U=R，且A=
，则A∩ 等于（ ）
A．
B．（2，3） C．
D．（－1，4）
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7+a9=16，S7=7，则a12的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
3．设m，n为直线，
为平面，则
的一个充分条件是 （ ）
A．m//n, n//α B．m⊥n，n⊥α，
C．
D．m⊥
，
⊥
|
的图象如右，则函数的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在
的展开式中x4的系数是 （ ）
A．－100 B．－80 C．80 D．100
6．已知变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为
A．3 B．4 C．9 D．12
7．若A，B，C，D，E，F六个元素排成一列，要求A不排在两端，且B，C相邻，则不同的排法有 （ ）
A．72种 B．96种 C．120种 D．144种
8．三棱锥
的四个顶点都在半径为
的球面上，底面
所在的小圆面积为
，则该三棱锥的高的最大值为 （ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
9．将直线
绕着它与
轴的交点按逆时针方向旋转角后，恰好与圆
相切，则的一个值是 （ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
|
的定义域是
值域是[0，1]，则满足条件的整数数对
共有 （ ）
A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.C 9.B 10.B
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题人6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上。
11．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取了6株苗，测得高如下（单位：cm）：
| 甲 | 11 | 12 | 12 | 10 | 13 | 14 |
| 乙 | 12 | 13 | 9 | 13 | 12 | 13 |
由此可以估计， 甲 种小麦长得比较整齐。
12．在△ABC中，
，
，则
。
13．已知函数
在区间
内既有极大值，又有极小值，则实数
的取值范围是
。
14．已知某人投蓝的命中率为
，则此人投蓝4次，至少命中3次的概率是 
。
|
，则
。
16．已知定义域为
的函数
对任意实数满足
，且
，给出下列结论：
①
；②为奇函数；③是周期函数；④在
内为单调函数
其中正确的结论是 ②③ （填上所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分）
在△ABC中，
的对边分别为
且
成等差数列.
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求
的范围。
17．（Ⅰ）解法一：
成等差数列，
∴ 
…………………………………………2分
由正弦定理得，
代入得，
即：sin(A+C)=2sinBcosB
∵A+B+C=π
∴sin(A+C)=sinB
∴
……………………………………………………4分
又在
中，
，
， ∴
.……………………………………………………6分
解法二：∵成等差数列，
∴…………………………………………2分
由余弦定理，
化简得， 
……………………4分
∴
∵ 
……………………………………6分
（Ⅱ）解：，
∴
…………………8分
……………………………………………………10分
，
……………………………………………13分
的范围是
……………………14分
|
等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数
，
的图象切于点P，Q，R。.求梯形ABCD面积的最小值。
|
18．解：设梯形
的面积为
，点P的坐标为
。
由题意得，点
的坐标为
，直线
的方程为
。
………………………………………………………………3分
直线
的方程为
即：
………………………………………………5分
令
得，
令 得，
∴
……………………………8分
………………………10分
当且仅当
，即
时，取“=”且
，
∴当时，
有最小值为
.
∴梯形的面积的最小值为……………………………………12分
19．（本小题满分16分，第一小问满分5分，第二小问满分5分，第二小问满分6分）
如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，顶点D1在底面ABCD上的射影O是CD的中点，侧棱与底面所成的角为60°。
|
；
（Ⅱ）求点O到平面AA1D1D的距离；
（Ⅲ）求二面角C—AD1—O的大小。
19．（Ⅰ）证明：
在平面上的射影为O，
， 
……………………2分
点
为
的中点，
，OC=1
又
，
，∠BOC=45°
同理∠AOD=45°， ∴∠AOB=90°。 ∴
……………………4分
，
…………………………5分
（Ⅱ）解法一：
，
又
，AD
平面
在平面
内，作
，垂足为
，则
。
∴线段
的长为点到平面
的距离……………………7分
在平面上的射影为
。
为侧棱
与平面所成的角.
|
……9分
在
中，
=
。
即点到平面的距离为 ……10分
解法二：∵D1O⊥平面ABCD，∴DD1在平面ABCD上的射影为DO
∴∠D1DO为棱DD1与平面ABCD所成的角， ∴∠D1DO=60° …………7分
∵OD=1， ∴
∴
∵AD⊥DO，AD⊥D1O， ∴AD⊥平面D1DO ∴AD⊥DD1
设点O到平面ADD1A1的距离为h，
则
………………9分
∵
（Ⅲ）解：如图，作
于
，
作
于
，连结
，
又
，
又
，
为二面角
的平面角，……………………13分
在
中，
，
，
.
在
中，
，
，
取
的中点
，连结
，则
，
，
在
中，
.
二面角的大小为
.………………………………16分
20．（本小题满分14分，第一小问满分5分，第二小问满分9分）
已知
为椭圆
的右焦点，直线
过点且与双曲线的两条渐进线
分别交于点
，与椭圆交于点
.
（Ⅰ）若
，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。
|
（为坐标原点），
，求椭圆的离心率
。
20．（Ⅰ）解：
，是直线与双曲线两条渐近线的交点，
，
即
………………2分
双曲线的焦距为4，
……………………4分
解得，
椭圆方程为
…………5分
（Ⅱ）解：设椭圆的焦距为
，则点的坐标为
， 
直线
的斜率为
，直线的斜率为
，
直线的方程为
…………………………………………7分
由
解得
即点
设
由
， 得
即
……10分。
点
在椭圆上，
………………………………12分
即 
，
椭圆的离心率是
……………………14分
21．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）
设函数
的图象是曲线C1，曲线C2与C1关于直线
对称。将曲线C2向右平移1个单位得到曲线C3，已知曲线C3是函数
的图象。
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）设
求数列
的前
项和
，并求最小的正实数
，使
对任意
都成立。
21．解：（I）由题意知，曲线C3向左平移我个单位得到曲线
，
曲线是函数
的图象 …………………………2分
曲线与曲线
关于直线对称，
曲线C1是函数的反函数的图象
∵的反函数为
………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题设：
，
∴
……6分
即 
①
∴
②
由②—①得 
……………………8分
当
当
时，
当
时，对一切，
恒成立 ………………11分
当
时， 
记
，则当大于比大的正整数时，
这就证明当
时，存在正整数，使得
.
也就是说当时, 
不可能对一切都成立.
的最小值为
. …………………………14分