高三年级第三次调研考试数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的．
1．若集合
，
，那么
=
A．
B．
C．
D．
2．已知一组数据
的平均数
，方差
，则数据
，
，
，
的平均数和标准差分别为
A．
B．
C．
D．
3．若命题甲：“p且q是真命题”，命题乙：“p或q是真命题”，则命题甲是命题乙的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若椭圆
的离心率为
，则双曲线
的离心率是
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
的值域为
，设
的最大值
为M，最小值为m，则
=
A．
B．
C．
D．
6．已知关于x方程
无实根，其中
，则
可能取的一个
值是
A．1 B．2 C．－2 D．－3
7．已知向量
，
若向量
与
的夹角为
，则直线
与圆
的位置关系为
A．相交且不过圆心 B．相交且过圆心
C．相切 D．相离
8．已知O，A，M，B为平面上四点，且
，则
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上 D．O、A、M、B四点一定共线
9．已知
，定义
，例如：
，则函数
A．是偶函数不是奇函数 B．是奇函数不是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
10．以一个长方体的四个顶点为顶点的四面体中，四个面都是直角三角形的四面体有
A．8个 B．16个 C．24个 D．48个
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分．
11．在
中，角A，B，C的对边分别为
，若
，则此三
角形最大边长为 ▲ ．
12．已知
的展开式中，二项式系数之和为64，则它的二项展开式的中间项是
▲ ．
13．已知x、y满足
，则
的最大值为 ▲ ．
14．已知球O和球面上A、B、C三点，OA与截面ABC所成的角为，且是边
长为
的等边三角形，则球O的表面积为 ▲ ．
15．抛一枚均匀硬币，正、反面出现的概率都是
，反复投掷，数列
定义如下：
，若
，则事件“
”
的概率为 ▲ ．
16．已知函数
，其中
表示不超过x的最大整数，如：
，
，
，若
，则
的值域为 ▲ ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
如图，已知A是直线
上一点，
．
（Ⅰ）若抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴
上且经过点A，求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l是双曲线
的一
条渐近线，且双曲线的右焦点在直线l上的射
影恰为点A，求双曲线的方程．
18．（本小题满分14分）
假设某地区2007年教育投入400万元，其中有240万元用于义务教育，预计在今后
的若干年内，该地区每年教育投入平均比上一年增长10%．另外，每年教育投入中，
义务教育的投入资金均比上一年增加60万元，那么，到哪一年底，
（Ⅰ）该地区历年义务教育投入的累计资金（以2007年为累计的第一年）将首次不
少于3600万元？
（Ⅱ）当年用于义务教育的资金占该年教育投入资金的比例首次大于80%？（参考数据：
）
19．（本小题满分14分）
如图，在直四棱柱
中，底面ABCD
是等腰梯形，
，侧棱
．
（Ⅰ）证明：
侧面
；
（Ⅱ）设E是
的中点，求异面直线
与
所成的角；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
20．（本小题满分14分）
已知数列的前n项和
满足：
（a为常数，且
）．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设
，若数列
为等比数列，求a的值；
（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设
，数列
的前n项和为
Tn，求证：
．
21．（本小题满分16分）
设函数
，其图象在点
处的切线
的斜率分别为
．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若函数的递增区间为
，求
的取值范围；
（Ⅲ）若当
时（k是与
无关的常数），恒有
，试求k的最小值．
高三年级第三次调研考试数学试题参考答案及评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应的评分细则。
二、对解答题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不在给分。
三、解答右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数。
一、选择题：每小题5分，满分50分．
1. C 2. B 3. A 4. B 5. C 6. A 7. D 8. B 9. B 10.C
二、填空题：每小题5分，满分30分．
11. 
12.
13. 
14. 
15.
16. 
三、解答题；
17．解：（Ⅰ）设A点坐标为
，∴
，
，∴
点坐标为
，……………………2分
若抛物线开口向右，设抛物线标准方程为
，
将点A坐标代入
得
，
此时抛物线标准方程为
；……………………4分
若抛物线开口向上，设抛物线标准方程为
，
将点A坐标代入
得
，
此时抛物线标准方程为
；
………………6分
所以抛物线标准方程或．
（Ⅱ）双曲线的右焦点为
，一条渐近线为
，
因为双曲线的右焦点F在直线l上的射影为点A，
， ∴
， 化简得
，…① ……8分
又直线l是双曲线的一条渐近线，
∴
， ………② ……………………10分
由①②解得
， ……………………11分
故双曲线的方程为
． ……………………12分
18．解：（Ⅰ）设该地区义务教育的投入资金形成数列，
由题意可知是等差数列，其中
，
则
，
……………4分
令
，即
，而n是正整数，
．………6分
（Ⅱ）设每年教育投入资金形成数列，由题意可知是等比数列，
其中
，则
，
……………………10分
由题意可知
，有
， …………11分
满足上述不等式的最小正整数
．
到2011年底，当年用于义务教育的投入资金占该年教育投入资金的比例首次大于
80%． ………………14分
19．（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，
由
可知
，
，
，即
，
由是直棱柱，
知
底面ABCD，即
，所以侧面；……………4分
（Ⅱ）连
，由直棱柱的性质可知
是矩形，
又E是的中点，所以
三点共线，因为
，
所以异面直线与所成的角就是
与AD所成的角，即
． ……6分
在
中，
，
由余弦定理得
，即异面直线与所成的角为
；…9分
（Ⅲ）由
得
平面
，设O是底面梯形ABCD对角线的
交点，过点O作
于H点，则
平面
，过H点作
为
垂足，连OF，则
，所以
为二面角的平面角，…12分
在直角
中求得
，在直角
中求得
所以在直角
中，
即所求二面角为
．
…………………………14分
20．解：（Ⅰ）
∴
当
时，
，即是等比数列． ∴
；
………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，若为等比数列，
则有
而
故
，解得
，再将代入得
成立，
所以．
（III）证明：由（Ⅱ）知
，所以
，
由
得
所以
，
从而
．
即．
…………………………14分
21．解：（Ⅰ）
，由题意及导数的几何意义得
，
（1）
，
（2）
………………2分
又
，可得
，即
，故
………3分
由（1）得
，代入，再由
，得
，
（3） ……………………4分
将代入（2）得
，即方程
有实根．
故其判别式
得
，或
，
（4）
……………………5分
由（3），（4）得；
……………………6分
（Ⅱ）由的判别式
，
知方程
有两个不等实根，设为
，
又由
知，
为方程（
）的一个实根，则有根与系数的关系得
，
……………………9分
当
或
时，
，当
时，
，
故函数的递增区间为
，由题设知
，
因此
，由（Ⅰ）知得
的取值范围为
；
……………………12分
（Ⅲ）由
，即
，即
，
因为，则
，整理得
，
设
，可以看作是关于
的一次函数，
由题意
对于恒成立，
故
即
得
或
，
由题意，
，
故
，因此
的最小值为
．
……………………16分