高三年级第三次模拟考试数学试题（理科）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．函数y=
的定义域为 （ ）
A．{xx≠
} B．（,+∞） C．（－∞,） D．[,+∞]
2．复数z1=1+i,z2=x+2i（x∈R）,若z1z2∈R,则x= （ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．已知样本10,8，6,10,13,8,10,12,11,7，8,9，11,9，12,9，10,11,12,12,那么频率是0.3的范围是 （ ）
A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5
4．下列函数中，在定义域内既为奇函数又为减函数的是 （ ）
A．y=sin2x B．y=
C．y=2x D．y=－2x3
5．函数y=cos2（2x+
）－sin2（2x+）的最小正周期是 （ ）
A．
B．2 C．4
D．
6．随着x的增大：①y=logax（a>1）的值增长的越来越慢 ②y=ax（a>1）的值增长速度越来越快，会表现为指数爆炸 ③y=kx+b（k>0）的值匀速增长 ④y=2x增长速度会超过并远远大于y=x2的增长速度，以上结论，正确的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．由点P（2,4）向直线ax+y+b=0引垂线，垂足为Q（4,3）,则a,b的值依次为 （ ）
A．－2,5 B．2，－11 C．
，－5 D．－，－11
8．先后抛掷三枚均匀的一角、伍角、壹元的硬币，则出现两枚正面，一枚反面的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．以下结论不正确的是 （ ）
A．根据2×2列联表中的数据计算得出k2≥6.635,而P（k2≥6.635）≈0.01,则有99%的把握认为两个分类变量有关系
B．在线性回归分析中，相关系数为r，r越接近于1，相关程度越大；r越小，相关程度越小
C．在回归分析中，相关指数R2越大，说明残差平方和越小，回归效果越好
D．在回归直线
=0.5x－85中，变量x=200时，变量y的值一定是15
|
A．192 B．144 C．96 D．72
11．设
是两条不重合的直线，
、
是两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若
，
，∥，∥，则∥ ②⊥，⊥，则∥ ③若⊥，⊥，则∥ ④若⊥，，则⊥，其中正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．下表给出一个“直角三角形数阵”，记第i行，
第j列的数为aij,则a83=
（ ）
A．
B．
C．
D．1
1
|
二、填空题（每题4分，共16分）
13．正方体AC1中，AC1与A1D所成角等于____________。
14．向量
=（－2,3），
=（1,m），若、夹角为钝角，则实数
m的范围是_________。
15．右边程序运行结果输出S的值是_________。
16．已知实数x,y满足x2+y2≤1,x+y≤0,则z=x+2y的最大值是___________。
三、解答题（共5个小题，满分64分，写出必要的过程及文字说明）
17．（本小题满分12分）
已知
=（cos,sin）,
=（cos,sin）,0<
,
=
, 求sin（－）.
18．（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDE中，EA=ED=EC=2，且EA、ED、EC两两垂直，AB∥CE，AB=1，F为CD中点
（1）求证：BF∥平面ADE
（2）判断EF与面BCD能否垂直，证明你的结论。
19．（本小题满分12分）
已知椭圆C：x2+
,直线
：y=mx+1
（1）求证：当m∈R时，与C恒有两个不同交点；
（2）设交C于A、B两点，求AB中点M的轨迹。
20．（本小题满分14分）
在x轴上有一质点M从原点出发，每次都沿x轴的正方向移动一个或两个单位，其中向右移动一个单位的概率为
，移动两个单位的概率为
，设M移动到（n,0）的概率为Pn
（1）求P1、P2、P3；
（2）若Pn+2=Pn+1+Pn问数列{Pn+2－Pn+1}为等差数列还是等比数列或者都不是?说明理由。
（3）求数列{Pn}的通项公式。
21．（本小题满分14分）
f(x)=4x+ax2－x3在[－1,1]上是增函数
（1）求实数a的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程f（x）=2x+x3两非零实根为x1,x2,试问：是否存在实数m使不等式m2+tm+1≥x1－x2对于任意a∈A及t∈[－1,1]恒成立，若存在求出m取值范围，若不存在，说明理由。
四、选考题（10分，请从所给的三道题中任选一道作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选对应题目的题号涂黑）
A．△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于C，
弦BD∥MN，AC、BD交于点E
（1）求证：△ABE≌△ACD
（2）AB=6，BC=4，求AE
B．求点P（2，
）到直线
的距离。
C．已知a,b,c,d都是实数，且a2+b2=1,c2+d2=1,求证：ac+bd≤1.
参考答案
一、选择题：(每小题5分，共60分)
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | A | B | D | D | D | A | A | D | B | B | C |
|
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．90° 14. m<且m≠－
15.
12 16. 
三、解答题
17．（12分）
（3分）
sin
sin+coscos=
（6分）
cos(－)=
（8分）
（10分）
∴sin(－)=－
（12分）
18．（12分） （1）略 （6分） （2）不垂直 （12分）
方法一：求出EF=
，BE=
，取EC中点G，BG=2，GF=1，BF=
∴△BEF是等腰三角形
∴EF与BF不垂直
∴EF与平面BDC不垂直。
方法二：向量法，如图建立坐标系
E(0,0，0)，F(1,1，0)，B(0,1，2)，C(0,2，0)
=(1,1，0)，
=(0,1，2)
∴EF与BC不垂直 ∴EF与平面BDC不垂直。
19．（12分）
（1）方法一：直线亘这定点P(0,1) （2分）
而P(0,1)在椭圆C内 （3分）
∴与C恒有两个不同交点 （4分）
方法二：由
（2分）
△=(2m)2+4×3×(4+m2)>0 （3分）
∴与C恒有两个不同交点
（4分）
（2）方法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)则
（6分）
x1+x2+
=0(∵x1≠x2)
x1+x2=2x,y1+y2=2y,k=m （8分）
∴x+
m=0
(9分)
又y=mx+1 （10分）
消去m得4x2+(y－)2=
（12分）
∴M点轨迹方程为4x2+y2－y=0(y≠0)
方法二：由
(4+m2)x2+2mx－3=0
（10分）
消去m得4x2+y2－y=0(y≠0)
∴M点轨迹方程为4x2+y2－y=0(y≠0) （12分）
20．（14分）
（1）P1=，P2=
，P3=
（2）Pn+2－Pn+1=
∴
∴{Pn+2－Pn+1}是公比为－的等比数列
（10分）
(3) Pn+2－Pn+1=(P2－P1)·(－)n－1=(－)n+1
P2－P1=(－)2,P3－P2=(－)3,……，Pn－Pn－1=(－)n
相加：Pn－P1=(－)2+(－)3+…+(－)n=
[1－(－)n－1]
∴Pn=
(14分)
21．（14分）
（1）f′(x)=4+2ax－2x2，由题意f′(x)≥0在[－1,1]上恒成立 （2分）
∴
∴A=[－1,1]
(5分)
（2）方程f(x)=2x+x3可化为x(x2－ax－2)=0
∵x1≠x2≠0, ∴x1,x2是x2－ax－2=0两根 （7分）
△=a2+8>0,x1+x2=a,x1x2=2
∴x1－x2=
∵－1≤a≤1 ∴x1－x2最大值是
（10分）
∴m2+tm+1≥3在t∈[－1,1]上恒成立
令g(t)=mt+t2－2
∴
m≥2或m≤－2 (14分)
故存在m值，其取值范围为(－∞,－2]∪[2,+∞)
四、选考题：（10分）
A．（1）
△ABE≌△ACD (5分)
（2）
△ABC∽△BEC
∴
（8分）
∴AE=
（10分）
B．P(2，
)
P(
) （3分）
x－
y+2=0 （7分）
D=
（10分）
C．设a=cos
,b=sin,c=cos,d=sin
（4分）
ac+bd=coscos+sinsin
（6分）
=cos(－)≤1
（10分）
方法二：只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) （6分）
即证：2abcd≤a2d2+b2c2 （8分）
即证：(ad－bc)2≥0
上式显然成立
∴原不等式成立。 （10分）