高三数学试卷(理科)
一. 选择题 (本题共10小题,每小题5分,满分50分)
1、设全集
,集合
,
,则
=( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
2、已知
,且
, 则
= ( )
(A) 
(B)
(C) 
(D)
3、过定点
的直线被圆C：
所截,所截得的最短弦长为( )
(A) 
(B)
(C)
(D)
4、已知函数
的反函数为
,若
,则
的最小值是( )
(A)
1
(B) 
(C) 
(D)
5、函数
的图象大致是( )
 |
(A) (B) (C) (D)
6、数列
中,
，则下列值中满足
的
值是( )
(A) 20 (B) 19 (C) 18 (D) 17
7、已知函数
.在
上单调递减,则实数
的取值范围是( )
(A) 
(B)
(C)
(D)
8、在
中,
是
的( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件
9、设点
是曲线
上任一点, 点处切线的倾斜角为
,则的取值范围是( )
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
10.若一些函数的解析式和都相同,但定义域不同,我们称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为 
、值域为
的“同族函数”中不同函数个数有( )
(A) 15 (B) 16 (C) 27 (D) 81
二．填空题 （本大题共4小题，每小题4分，满分16分）
11．定义运算
，满足条件
的复数
= .
12.已知
的展开式中，所有项的系数之和等于81，那么这个展开式中
的系数是
。
13．已知
满足约束条件
，则
的最小值是 。
14．已知曲线C的方程：
，则下列结论正确的是
（请将你认为正确的结论序号全部填入）
①曲线
关于
轴对称；
②曲线关于原点对称；
③点
都在曲线C上； ④曲线是封闭图形，且面积大于
三、解答题（本大题共6小题，每小题14分，共84分。解答写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15、已知函数
。
（1）求函数
的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数的图象按向量
平移，使平移后的图象关于原点成中心对称，求长度最小的
16、已知函数是定义在
上的奇函数，且当
时都有
成立，
（1）若
，试比较
与
的大小；（2）若对
，
恒成立，求实数的取值范围。
17、
袋中有写有数字0的卡片2张，数字1的卡片3张，
袋中有写有数字0的卡片2张，数字1的卡片1张，现从袋、袋中各任取一张卡片，交换后放回。
（1）求交换后，袋中仍保持数字0的卡片2张，数字1的卡片3张的概率；
（2）交换后，袋中所有的卡片上的数字之和记为
，求的分布列及数学期望。
18、一次函数满足
，点
在函数
的图象上，并有
。
（1）求数列的通项公式；
（2）记
，求
。
19、已知
是椭圆
的左、右焦点，
为坐标原点，动点满足
，
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）过椭圆的右焦点
作倾斜角为
的直线与轨迹交于
两点，问在椭圆左准线上是否存在点
，使
为锐角三角形？ 若存在，求点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由。
20、函数
在
与
处取得极值，且
，曲线与直线
相切于原点，
（1）用表示
；
（2）求实数
的最大值；
（3）若函数
，其中
是的导函数，证明：当
，且
时，
。
高三数学(理科)答案
一、
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | C | C | B | A | B | B | C | D | D |
二、 11、
12、32 13、
14、①②④
三、
15、解：
（1）
，函数的单调递增区间为
（2）由
，得
，于是
，
当
时，
最小，此时
。
16、解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以
，
由，得
，又，所以
。
（2）由题意，对，恒成立，得
，即
，
又因为，都有，即是上的增函数，
从而
对恒成立
对恒成立,
.即实数的取值范围为
.
17、解：（1）
（2）
|
| 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
|
18、解：（1）设
，由得
又点在函数的图象上，得
，
，从而
19、解：（1） 
，
，
由
，化简得轨迹的方程：
（2）抛物线的 焦点为
,准线
，椭圆左准线：
椭圆左准线在抛物线准线的左边，所以
为锐角。
由
或
即
，
、
，
,设
，
，
。
为锐角三角形，则
解得：
。即存在点，使为锐角三角形，且点纵坐标的取值范围为
20、解：（1）
，
。
（2）
是方程
的两根，
，
；
令
，则
，
当
时，
,当
时，
,
（3）
由，
，
当时，
，
