高三文科数学摸底考试
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在答卷相应的位置上）
1．若
，则
一定不属于的区间是 ( )
A．
B．
C．
D． 
2．等差数列{an} 中，a3 =2，则该数列的前5项的和为( )
A．10 B．16 C． 20 D．32
3．设
表示平面，
表示直线，给定下列四个命题：①
；②
;③
;④
.
其中正确命题的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )
A．1
B．
C．
D．
5．已知函数
，则函数
的图像可能是( )
6．已知正方形的边长为
，
，则
= ( )
A．0
B． C．2
D．4
7．右图给出的是计算
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A．i＞10 B．i<10
C．i＞20 D．i<20
8．设函数
，则当
时，
的值应为( )
A．
B．
C．
中的较小数 D．中的较大数
9．F1（-1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N的
周长为8，则椭圆方程为( )
A．
B．
C．
D．
10．定义两种运算：
，
，则函数
为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数且为偶函数 D．非奇函数且非偶函数
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将正确答案填在答卷相应的位置上）
11．在极坐标系中，O是极点，
，
则△AOB的形状为 ．
12．在
中，
的面积为
，则
的值为 ．
13．已知
、
，则不等式组
所表示的平面区域的面积是 ．
14．若
，且
，则
的值是 ．
三．解答题（本大题共6小题，共80分.）
15．（本题满分12分）设
，解不等式
.
16．（本题满分12分）长方体
中，
，
，
是侧棱
的中点.
（1）求证：直线
平面
；
（2）求三棱锥
的体积．
17．（本题满分14分）知函数
（
周期为
.
求：当
时
的取值范围．
18．（本题满分14分）已知数列
的前n项和
.
（Ⅰ）求数列
的通项公式;
（Ⅱ）设
,求数列
的前n项和．
19．（本题满分14分） 已知实数
有极大值32.
（1）求函数
的单调区间；
（2）求实数
的值．
20．（本题满分14分）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点
为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：每小题5分，共50分。
CABDA DADAA
二、填空题：每小题5分，共20分。
11．等腰直角三角形； 12．2； 13．
；14．11
三、解答题：共80分。
15．解：（1）当
时，原不等式等价于
，即
或
…………3分
∴．
……………………………………………………………………………5分
（2）当
时，原不等式等价于
，即
或
…………8分
∴． ……………………………………………………………………………10分
综上所述，不等式的解集为
． ………………12分
16．解：（1）依题意：
，……………………………………………………………2分
，……………………………………………………………………………………4分
则
平面
.……………………………………………………………………………6分
（2）
…………………12分（写出公式得3分，计算3分）
17．解：
……………… 4分（每个公式的应用得2分）
………………………………………………………… 6分
因为
，所以
………………………………………………………… 8分
…………………………………………………………………… 9分
因为
，所以
………………………………………………… 10分
………………………………………………………………… 12分
故 
………………………………………………………………………… 14分
18．(Ⅰ)当
时,
………………………………………………2分
故
,………………………………………5分
即数列的通项公式为
…………………………………………………………… 7分
(Ⅱ)当时,
…………………………………………………………8分
当
………………………………………………9分
故
…………………………………………………………………10分
…………………………12分
由此可知,数列
的前n项和
为
………………………………………………………… 14分
19．解：（1）
………………………………………………………3分
令
…………………………………………………………4分
…………………………………………………………………………5分
…………………………………7分
∴函数
的单调递增区间为
∴函数的单调递减区间为
…………………………………………………9分
时，取得极大值……………………………………………………11分
即 
解得 a=27 …………………………………………………………………………14分
20．解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx－y=0
∵该直线与圆 
相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为
……………………………………………3分
故设双曲线C的方程为
，又∵双曲线C的一个焦点为
∴
，∴双曲线C的方程为
……………………………6分
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使QT=OF1
若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使QT=QF1 ……………………8分
根据双曲线的定义TF2=2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
① ………………………………………10分
由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（
）
则
…………………………………………12分
代入①并整理得点N的轨迹方程为 
…………………14分