高考数学（理科）模拟试题（三）
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、设集合
，
，那么“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2、
( )
A．
B．
C． 
D．
3、若
展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 （ ）
A. －84 B. 
C. －36 D. 
4、如果复数
是实数，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
5、下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非p’为真”的是 ( )
A. p：
； q：
.
B. p：在△ABC中，若
，则
；
q：
在第一象限是增函数.
C. p：
；
q：不等式
的解集是
.
D. p：圆
的面积被直线
平分；
q：椭圆
的一条准线方程是
.
6、右图给出的是计算
的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A.i>10 B.i<10 C.i>20 D.i<20
7、函数
的值域是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8、已知椭圆
的左焦点为
，
为椭圆的两个顶点，若到
的距离等于
，则椭圆的离心率为
（ ）
A.
B.
C.
D.
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，共30分，把答案填写在答题卡相应位置上）
9、若
，则
； 
.
10、若 
，则目标函数
的取值范围是
11、（从以下三题中选做两题，如有多选，按得分最低的两题记分.）
（A）
则
___________
（B）若不等式x-2+x+3<
的解集为Æ,则的取值范围为_____________.
（C）参数方程
(
是参数)表示的曲线的普通方程是_________________.
12、设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=1,且当x∈［1,2］时，f(x)=2－x,则
=_________.
13、观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_______个小正方形，第n个图中有 ________________个小正方形.
 |
三、解答题（有6大道题，共80分，要求写出推理和运算的过程）
14、(本题满分12分)
已知向量
，
, 定义
.
（Ⅰ）求函数
的最小正周期；
（Ⅱ）若
，当
时，求
的取值范围.
15、（本小题满分12分）
如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=
.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.
16、（本小题满分14分）
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是
和
.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
17、（本小题满分14分）
设各项为正数的等比数列
的首项
，前n项和为
，且
。
（Ⅰ）求的通项；
（Ⅱ）求
的前n项和
。
18、（本小题满分14分）
已知函数
的图象为曲线E.
(Ⅰ) 若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a,b的关系；
(Ⅱ) 说明函数
可以在
和
时取得极值，并求此时a,b的值；
(Ⅲ) 在满足(2)的条件下，
在
恒成立，求c的取值范围.
19、(本小题满分14分)
已知椭圆的一个焦点
，对应的准线方程为
，且离心率
满足
，，
成等比数列.
(1)求椭圆的方程；
(2)试问是否存在直线
，使与椭圆交于不同的两点
、
，且线段
恰被直线
平分？若存在，求出的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | B | B | B | A | C | A | D | C |
第Ⅱ卷
二、填空题
9、3 , 
; 10、
;
11、（A）
; （B）
；（C）
(
); 12、0.5 13、28 , 
三、解答题
14、（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）＝
＝
+
＝
+
所以，的最小正周期 
(Ⅱ)
由三角函数图象知:
的取值范围是
15、（本小题满分12分）
方法一：
证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2，ABCD为正方形，
因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，
∴BD⊥PA .
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC.
解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，
∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.
又∵PA=AD，
∴∠PDA=450 .
（Ⅲ）∵PA=AB=AD=2
∴PB=PD=BD=
设C到面PBD的距离为d，由
，
有
，
即
，
得
方法二：
证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.
∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵
即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC.
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得
.
设平面PCD的法向量为
，则
，
即
，∴
故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴
为平面ABCD的法向量.
设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得
，
∴q = 450 .
（Ⅲ）由（Ⅰ）得
设平面PBD的法向量为
，则
，
即
，∴x=y=z
故平面PBD的法向量可取为
.
∵
，
∴C到面PBD的距离为
16、（本小题满分14分）
解：（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件
为“4次均击中目标”，则
（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则
（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故
17、（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由
得 
即
可得
因为
，所以 
解得
，因而 
（Ⅱ）因为
是首项
、公比的等比数列，故
则数列
的前n项和 
前两式相减，得 
即 
18、（本小题满分14分）
解：(1) 
,设切点为
,则曲线
在点P的切线的斜率
,由题意知
有解，
∴
即
.
(2)若函数可以在和时取得极值，
则
有两个解和，且满足.
易得
.
(3)由(2)，得
.
根据题意，
()恒成立.
∵函数
（）在时有极大值
（用求导的方法），
且在端点
处的值为
.
∴函数（）的最大值为.
所以
.
19、（本小题满分14分）
解：（1）∵
成等比数列 ∴
设
是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得
即
为所求的椭圆方程.
（2）假设存在，因与直线
相交，不可能垂直轴
因此可设的方程为：
由
①
方程①有两个不等的实数根
∴
②
设两个交点、的坐标分别为
∴
∵线段恰被直线平分 ∴
∵
∴
③ 把③代入②得 
∵
∴
∴
解得
或
∴直线的倾斜角范围为