高考数学仿真卷三（理）及答案
（湖南卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合
，集合
。映射
.那么这样的映射
有（ ）个.
A、0 B、2 C、3 D、4
2．非零向量
不共线，若
+
=
，-=
，则⊥是=的
（ ）
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件
A．-2 B．-1 C．1 D．2
4．已知函数f（x）＝
在点x＝1处连续，则实数a的值为
A．2 B．0 C．1 D．－1
5．函数f(x)=(3sinx-4cosx)·cosx的最大值为（ ）
A.5 B.
C.
D.
7．若
, 则
与
的大小关系是( )
A、
B、
C、
D、不能确定
8．已知a>0，且a≠1,f（x）＝
－ax，当x∈（1,＋∞）时，均有f（x）<
，则实数a的取值范围为
（ ）
A．（0,）∪（1,∞） B． 
C． 
∪（1,＋∞） D．（1,＋∞）
9．直线x=m，y=x将圆面
分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m的取值范围是 （
）
A．
B．
C．
D
10．若数列
的通项公式为
，的最大值为M，最小项为N，则M+N等于
（ ）
A.
B. 
C. -
D.3
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置
11．设
中所有项的系数和为An，则
的值为
12．如果实数x、y满足
, 目标函数z=kx＋y的最大值为12, 最小值3, 那么实数k的值为
13．已知等差数列
的前n项和为Sn，若
，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S2007 ＝
14．从装有
个球（其中
个白球，1个黑球）的口袋中取出
个球
,共有
种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有
，即有等式：
成立。试根据上述思想化简下列式子：
。
。
15如图，
是平面上的三点，向量
a， 
b,
设
为线段
的垂直平分线
上任意一点，向量
p若a=m，b=n，则p（a 
b）等于
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）
内接于以O为圆心，1为半径的圆，且
．
（1）求数量积
，
，
；（2）求的面积．
17．（本小题满分12分）有甲.乙.丙三人玩掷骰子放球的游戏,若掷出1点,甲获得一球；若掷出2点或3点,乙获得一球；若掷出4点，5点或6点获得一球.设掷n次后,甲,乙,丙获得的球数分别为x,y,z.
(Ⅰ)当n=3时,求x,y,z成等差数列的概率；
（Ⅱ）当n=6时，求x,y,z成等比数列的概率。
18（本小题满分12分）已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为1，高为h(h>3)，点M在侧棱BB1上移动，到底面ABC的距离为x，且AM与侧面BCC1所成的角为α；
|
上变化，求x的变化范围；
（Ⅱ）若
所成的角.
19．（本小题满分12分）已知函数f(x)=
，设正项数列{an}的首项a1=2,前n 项和Sn满足Sn=f(Sn-1)(n>1,且n∈N*);
(1)求an的表达式；
(2)在平面直角坐标系内，直线Ln的斜率为an,且Ln与曲线y=x2相切，Ln又与y轴交于点Dn(0,bn),当n∈N*时，记dn=
-1，若Cn=
,求证：C1+C2+C3+…+Cn <n+1.
20．（本小题满分13分）设M是由满足下列条件的函数
构成的集合：“①方程
有实数根；②
函数的导数
满足
.”
（I）判断函数
是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意
[m，n]
D，都存在
[m，n]，使得等式
成立”，
试用这一性质证明：方程
只有一个实数根；
（III）设
是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的
.
21（本小题满分14分）在直角坐标系中，O为坐标原点，F是x轴正半轴上的一点，若△OFQ的面积为S，且
.
（Ⅰ）（本问4分）若
夹角θ的取值范围；
（Ⅱ）（本问5分）设
若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，求
的最小值以及此时的椭圆方程；
| |
的弦AB的两个端点在椭圆E上滑动，M为线段AB的中点，求M点到椭圆右准线距离的最大值及对应的AB直线的方程.
高考数学仿真卷三（理）及答案参考答案
（湖南卷）
一、选择题：
| 题次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | A | A | C | B | B | B | C | A | A |
提示
1．
2．法一：⊥
•=（+）•（-）= 2 - 2 = 0 =
法二：作
，
，以
，
为邻边作平行四边形OACB，则=
，=
. ⊥
为菱形 = .
3．
4．
＝0．
又∵f（1）＝
f（x），∴a－1＝0，即得a＝1,故应选C．
5。
6过 P的直线可以与L 异面垂直.故不一定在
内，选B
7．
。
8． f（x）<即 <+ax ，当a>1时，y=+
，而
，所以 a>1合题意。当a<1时，观察两个函数的图象知，只要x=1时， <+
C
9．因涂法有120种，所以圆面分成4块，故选A。
10．
二．填空题：
| 题次 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 答案 |
| k=2 |
|
|
|
提示
11 
12． 求得可行域三角形的顶点为（1，1），（1，
），（5，2），观察直线
y=-kx＋z及可行域知,直线过（1，1）时z取最小，过（5，2）时z取最大，所以k=2
13,因A、B、C三点共线。所以 
14． 根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从
个球（n个白球，k个黑球）中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等
类，故有
种取法。
15
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．
解：（1）∵
，由条件可得
两边平方得
∴
．
……（2分）
同理可得
，
．
……（6分）
（2）由可得
，∴
由，得
，∴
，
∴
，
……（8分）
由，得
，∴
，
∴
，
……（10分）
即可得
．
……（12分）
17．解 （Ⅰ）因为x+y+z=3，2y=x+z
所以
2分
（1）
表示 ：掷3次，1次出现2点或3点，2次出现4点或5点或6点，共三种情况。所以x=0，y=1，z=2的概率为
4分
（2）
表示：掷3次，1次出现1点，1次出现2点或3点，1次出现4点或5点或6点共有6种情况。所以x=y=z=1的概率为
6分
同理x=2，y=1，z=0的概率为
8分
所以当n=3时，求x，y，z成等差数列的概率为
9分
（Ⅱ）当n=6时，x，y，z成等比数列，所以x=y=z=2，所求概率为
12分
|
易知AD⊥BC，又侧面BCC1与底面ABC互相垂直，∴AD⊥平面BCC1，即∠AMD为AM与侧面BCC1所成的角，∴∠AMD=α，
∴在Rt△ADM中，cosAMD=
3分
依题意BM即为点B到度面ABC的距离，
∴BM=x，
且
，4分
|
即x的变化范围是
；6分
（II） 
7分
10分
（还可按解答的图形所示作辅助线，用常规方法解决）12分
19．.(1)由Sn=
得
所以数列
是以
为公差的等差数列，3分
∴，
，Sn=2n2,an=Sn-Sn-1=4n-2(n≥2),又a1=2∴an=4n-2(n∈N*).5分
(2)设Ln：y=anx+bn,由
据题意方程有相等实根，∴△=a
，7分
∴bn=-
8分
当n∈N*时，dn=
9分
∴Cn=
10分
∴c1+c2+c3+…+cn =n+
n+
.12分
20．解：（1）因为
， 2分
所以
满足条件
3分
又因为当
时，
，所以方程有实数根0.
所以函数是集合M中的元素.
4分
（2）假设方程存在两个实数根
），
则
， 5分 不妨设
，根据题意存在数
使得等式
成立， 7分
因为
，所以
，
与已知矛盾，所以方程只有一个实数根； 9分
（3）不妨设
，因为
所以为增函数，所以
，
又因为
，所以函数
为减函数， 10分
所以
， 11分
所以
，即
12分
所以
13分
21． 解：（I）由已知得
3分
（II）设椭圆的方程是
，Q点的坐标设为（x1，y1），
则
∵△OFQ的面积是
5分
显然当且权当c=2时
有最小值，其最小值是3，7分
此时Q点的坐标是
，代入椭圆方程是
，
解得a2=10,b2=6，∴所求椭圆方程是
.9分
（III）由（II）椭圆方程，椭圆的左焦点为F1（－2，0），
欲求M点到右准线距离的最大值，可求该点到左准线距离的最小值，设A、B、M点在左准线的射影分别为A′、B′、M′，由椭圆第二定义及梯形中位线性质得：
11分
由
即M点到左准线距离的最小值为2，此时A、F1、B三点共线，12分
设过F1的直线方程为x=hy－2，将其与椭圆方程联立，
消去x得（3h2+5）y2－12hy－18=0，
∴y1+y2=
，此时中点M的纵坐标为y0=
,
故得M点的横坐标为x0=－2，
∴所求的直线方程为x=
y－2，即3x－y+2=0或3x+y+2=0.
14分