含参数不等式问题
在一定条件下，给出的一个带参数的不等式，对使不等式恒成立的参数进行讨论，或求其最值，在数学竞赛中比较活跃的题型之一。
步骤：（1）估计参数上、下界
（2）求出参数上、下界
（3）证明不等式对上、下界恒成立
方法：比较法、放编法、反射法、归纲法、算术、几何平均值不等式、柯西不等式、排序不等式
例1、求
的范围，使得对任意
和
∈[0，
]恒有
·
≥
．
例2、设≤b＜c是Rt△三边长，求最大常数M，使
≥
．
例3、求最大的常数
，使得对满足＞0，
＞0，
的实数
恒有
≥
例4、设、b、c是Rt△三边长，且≤b＜c，
求：最大常数
，使
≥
对任何Rt△恒成立．
例5、求最小的实数，使得对任意非负、、
，且++=1，
有
≥
．
多元函数的条件最（极）值求解
求函数最值问题是数学中一类重要问题，其中又以求多元函数的条件最（极）值为各竞赛的热点，解答此类问题，常常要应用到二次函数、三次函数的性质以及一般函数的各种基本性质，特别是凹凸性，以及几个重要不等式，如平均值不等式、柯西不等式等，除此之外，还要具有灵活变更问题的能力和较强的解题技巧．例如，对于某些多元函数的极值，常常要将某些变量固定而考虑少数几个变量的变化规律．因此，求解多元函数的条件最（极）值问题常采用函数法、不等式法、不变量法、冻结变量（先固定某些变量）法等．
1、函数法
例1、设x、y∈R，求函数
的最小值，并求出取得最小值时的x、y的值．
例2、设x∈R，试求函数
的最小值．
例3、求三位数（十进制表示）与其各位数字之和的比的最小值．
例4、已知若干个正整数之和为1976，求其积的最大值．
例5、求二元函数
的最小值．
例6、已知
,试求
的最小值．
例7、m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987．对于所有这样的m和n，3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论．