高考数学试卷（理科）

命题人:邱  舰

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分

1、已知集合A＝｜x｜2x+1>3,B=xx²+x-6≤0｜则A∩B＝

A．[-3,-2]∪(1,2)　　 B．(-3,-2)∪（1+∞）

C．(-3,-2) [1,2]　　　D．(-∞,-3)∪(1,2]

2、

A． 　 　B． 　　 C．1　　 D．-1

3、函数y=()^x与函数y=-的图象关于

A.直线x=2对称　　　　　　　 B.点（4，0）对称

C.直线x=4对称　　　　　　　 D.点（2，0）对称

4、已知两个正数满足，则取最小值时的值分别为

A．　 　　　B．　　　C．　　　 D．

5、如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e等于

A．　　　　 B．　　　 C．　　　 D．

6、已知函数f(x)=x³+bx²+cx+d在区间[-1，2]上是减函数，那么b+c

　A.有最大值 B.有最大值-　　　　　　C.有最小值 D.有最小值-

7、m=3”是“直线（m-1）x+2my+1=0与直线(m+3)x-(m-1)y+3=0相互垂直”的

　A．充分不必要条件　　　　　　　 B.必要不充分条件

　C．充要条件　　　　　　　　　　 D.既不充分也不必要条件

8、当n∈N且n≥2时，1+2+2²+…+2^4n-1=5p+q，其中p,q为非负整数，且0≤q＜5，则q的值为

A.0　　　　　 B.2　　　　　C.2　　　　　D.与n有关

9、在轴截面是直角三角形的圆锥内，有一个体积最大的内接圆柱，则内接圆柱的体积与圆锥的体积的比值是

A．　　　　　B．　　　　C．　　　　D．

10、设函数的图象关于点（1，）对称，且存在反函数，若，则等于

A．－1　　　　B．1　　　　 C．－2　　　 D．2

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

11、设正数数列{ a_n}为等比数列，且a₂=4,a₄=16,

则　　　　　　

12、.f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，对正实数x,y都有：f(xy)=f(x)+f(y)成立，则不等式f(log₂x)<0的解集为_________

13、若， ，且，则向量与的夹角为　　　　　

14、将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：

　①AC⊥BD　　　　　　　　　　 ②△ACD是等边三角形

③AB与平面BCD成60°的角　　　 ④AB与CD所成的角为60°

其中真命题的编号是____________(写出所有真命题的编号)

三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分

15、在△ABC中，角A、B、C所对的边是a,b,c，且a²+c²-b²=

　　(1)求sin²+cos2B的值

　　(2)若b=2,求△ABC面积的最大值

16、已知为实数，函数．

(1) 若，求函数在[－，1]上的最大值和最小值；

(2)若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围

17、如图：四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD、CD⊥AD、CD=2AB，

PA⊥面ABCD、E为PC中点.

　 (1)求证：平面PDC⊥平面PAD

　 (2)求证：BE∥平面PAD

　 (3)假定PA=AD=CD，求二面有E-BD-C的平面角的正切值.

18、旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条.

　　(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率

　　(2)求恰有2条线路没有被选择的概率.

　　(3)求选择甲线路旅游团数的期望.

19、设F是抛物线的焦点，过点A（－1，0）斜率为k的直线与C相交M、N两点.

（1）设的夹角为120°，求k的值；

（2）设的取值范围

20、已知点、、…、、…顺次为直线上的点，点、、…、、…顺次为轴上的点，其中，对任意，点、、构成以为顶点的等腰三角形．

（1）求数列的通项公式，并证明它是等差数列；

（2）求证：是常数，并求数列的通项公式；

（3）上述等腰三角形中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由

参考答案

一、选择题：ACDBD　 BAABA

二、填空题：11、　 12、（１，２）　　13、　　14、１２４

三、解答题：

15、(1)∵a²+c²-b²=

　 ∴cosB=

　 ∴sin²[1-cos(A+C)]+[2cos²B-1]

　　　　　　　　=[1+cosB]+[2cos²B-1]　

　　　　　　 　=[1+]+[2×]

　　　　　　 　=-　

(2)由cosB=得：sinB=　 ∵b=2

∴a²+c²=ac+4≥2ac(当且仅当a²=c²=时取“=”号)

∴ac≤ 　∴S_△ABC=ac·sinB≤××=

故：△ABC面积的最大值为

16、(1)∵，∴，即．

∴．

由，得或；　　　由，得．

因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为．

在取得极大值为；在取得极小值为．

由∵， 且

∴在[－，1]上的的最大值为，最小值为．

(2) ∵，∴．

∵函数的图象上有与轴平行的切线，∴有实数解．

∴，∴_，即 ．

因此，所求实数的取值范围是．

17、(1)证明：∵PA⊥面ABCD

　 　　　　∴PA⊥DC

　　　　∵DC⊥AD且AD∩PA=A

　　　　∴DC⊥面PAD

　　　　∵DC面PDC

　　　　∴平面PDC⊥平面PAD

(2)证明：取PD中点F，连接EF，FA。

∴E为PC中点，∴在△PDC中：EFDC∴EFAB

∴四边形ABEF为平行四边形，即：BE∥AF

∵AF面PAD且BE面PAD

∴BE∥平面PAD

(3)解：连接AC，取AC中点O，连接EO。

在△PAC中：EO PA

∴EO⊥面ABC

过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG。

由三垂线定理知:∠EGO为所求二面角E-ED-C的平面角

设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a

连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′.

∴OG=B′G′=BB′sin∠B′BG′=BB′·sin∠ABD

　=a·

在△EOG中：tan∠EGO=

故：二面角E-BD-C的平面角的正切值为

18、(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为：

　　　P₁=

　 　 (2)恰有两条线路没有被选择的概率为：

　　　P₂=

　 　 (3)设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3

　　　P(ξ=0)=

　　　P(ξ=1)=

　　　P(ξ=2)=

　　　P(ξ=3)=

 ∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P

　

∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=　

19、（1）过点A（－1，0）斜率为k的直线为

将

设 ……………

　　　　………………

………

因为cos

解得8k_‑²=2，所以，k=.（此时直线与抛物线有两个交点）　……………

（2）由题设

…②

…①

即　　　　　　　 　　　………………

由②得……③

由①、③得…………

所以，　　　　　　………………

因为　 ………………

注意到得

，　　………………

所以的取值范围是

20、（1），又，数列是等差数列．

（2）由题意得，，∴……①，……②，②-①得，，∴ ，，，…；，，，…都是等差数列，∴ ，，　　　∴

（3）当为奇数时，、，∴；当为偶数时，、，∴．作轴于，则，要使等腰三角形为直角三角形，必须且只须．当为奇数时，有，当时，；当时，；当时，方程无解．当为偶数时，有，同理可求得．

综上所述，上述等腰三角形中可能存在直角三角形，此时的值为或或.