数 列
一、预备知识：逆向归纳法、螺旋归纳法、二重数学归纳法；
例1、设
∈R+，
），
=
求证：
≥（当且仅当
时成立）
例2、数列
满足
，其前几项为1，1，2，4，6，……，数列
定义为
，且
，
，求证：
，
·
例3、m、n是正整数，求证：不定方程
的非负整解的组数为
二、数列
（1）选代方法
例4、（1）设
，计算
．
（2）设
，计算．
（3）设
，计算．
（4）设
，计算．
例5、设数列，满足
（
=0，1，2……），求通项公式和的极限．
例6、设
=1，
，求证：
例7、已知
，求证：
≤≤
例8、
，
求证：
≤≤
（2）待定系数
例9、已知
，
，
=
，求通项公式．
例10、已知及
（其中
，为常数，且
），求的通项．
（3）周期数列
|
定义在整数集上，且满足
求
．
例12、定义数列，
（≥2，
）判断数列的周期性．
例13、设数列满足：
，其中=1，2，3，……，问怎样的自然数，可被10整除．
例14、求证：和式
不能表示成
的形式，其中
与
均是自然数，且≥2．
三、竞赛题举例
例15、是否存在
，使得一个无穷正数列满足1+
≤
．
|
，定义满足
证明这个数列中有无穷多个非正项．