概率题
概率题：以教材例、习题模型为背景，重点考查独立事件的概率以及利用排列组合知识解决的概率问题，理科注意概率分布和数学期望；文科考查概率的计算。
3． 某人有5把钥匙，一把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把.于是，他逐把不重复地试开，问：
（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
（2）三次内打开的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
答案：5把钥匙，逐把试开有A
种等可能的结果.
（1）第三次打开房门的结果有A
种，因此第三次打开房门的概率P（A）=
=
.
（2）三次内打开房门的结果有3A种，因此，所求概率P（A）=
=
.
（3）方法一：因5把内有2把房门钥匙，故三次内打不开的结果有A
A
种，从而三次内打开的结果有A－AA种，所求概率P（A）=
=
.
方法二：三次内打开的结果包括：三次内恰有一次打开的结果有C
A
AA种；三次内恰有2次打开的结果有A
A种.因此，三次内打开的结果有CAAA+AA种，所求概率
P（A）=
=.
4． 在2004年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排在每一局赢的概率为
， 已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求：
（1）中国女排在这种情况下取胜的概率；
（2）设比赛局数为
，求的分布列及E.（均用分数作答）
答案：(1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4局， 中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，
∴中国女排取胜的概率为
(2)
，
，所以的分布列为
| ξ | 3 | 4 | 5 |
| P |
|
|
|
．
17、（本小题满分12分）在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求：
（1）乙连胜四局的概率；（2）丙连胜三局的概率．
17、解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下：
第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜．
所求概率为
＝
×
＝
＝0.09
∴ 乙连胜四局的概率为0.09．-----------------------------------------------------6分
（2）丙连胜三局的对阵情况如下：
第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．
当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．
当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．
故丙三连胜的概率
＝0.4×
×0.5＋（1-0.4）××0.6＝0.162．--------12分
17．（本题满分12）田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设齐王的三匹马分别为A1、A2、A3；田忌的三匹马B1、B2、B3；三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜，双方均不知对方的马出场顺序。
（1）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A1>B1>A2>B2>A3>B3；则田忌获胜
的概率是多大？
（2）若这六匹马比赛优、劣程度可以用不等式表示：A1>B1>A2>B2>B3>A3；则田忌获胜
的概率是多大？
17、（1）解：田忌获胜的概率是
；
（2）解：田忌获胜的概率是
。
18、（12分）2006年12月9日，在第十五届多哈亚运会羽毛球男子单打决赛中，排名世界第一的林丹迎战陶菲克，在此前一周内，林丹曾两次击败陶菲克，但在决赛中，林丹却意外地以0：2失利，与冠军擦肩而过，根据两人在以往的交战成绩分析，林丹在每一局的比赛中获胜的概率但是0.7，比赛按“三局二胜制”的规则进行（即先胜两局的选手获胜，比赛结束），且设各局之间互不影响；
⑴求林丹以0：2失利的概率；
⑵若林丹与陶菲克下次在比赛中再次相遇，请你计算林丹获胜的概率；
⑶若林丹与陶菲克下次在比赛中再次相遇，试求林丹的净胜局数的分布列和期望值。
18、（本小题满分14分）平面上有两个质点A
，B
，在某一时刻开始每隔1秒向上下左右任一方向移动一个单位. 已知质点A向左，右移动的概率都是
，向上，下移动的概率分别是
和
，质点B向四个方向移动的概率均为
.(1)求和的值；(2)试判断至少需要几秒，A、B能同时到达D
，并求出在最短时间同时到达的概率？
18、(1)质点向四个方向移动是一个必然事件，则
；
. (2)至少需要3秒才可以同时到达D，则当经过3秒，A到达D点的概率为
.设N
，C
，H
，F
，E
，M
，则经过3秒，B到时达D的可能情境共有9种. B到达D点的概率为
. 又B到达D点与A到达D点之间没有影响，则A，B同时到达的概率为
2、口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球.
（I）求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的数学期望；
（II）设第n次由甲摸球的概率为
，试建立
与的递推关系，并求数列{}的通项公式.
解：（I）记“甲摸球一次摸出红球”为事件A，“乙摸球一次摸出红球”为事件B，则
，且A、B相互独立.………………（2分）
据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，其中
（II）据摸球规则可知，第n次由甲摸球包括如下两个事件：
①第n－1次由甲摸球，且摸出红球，其发生的概率为
；
②第n－1次由乙摸球，且摸出白球，其发生的概率为
.
∵上述两个事件互斥，
……………………（10分）
由
，
∵甲进行第一次摸球，
，即
………………………………（12分）
∴数列
是首项为
，公比为－
的等比数列，
.
故
.……………………………………………………………（14分）
17．（本题满分12分） 甲，乙两人进行乒兵球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为P.
（1）如果甲，乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3局的概率，试
求P的取值范围.
（2）若
，当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.
（3）如果甲，乙两人比赛6局，那么甲恰好胜3局的概率可能是吗？为什么？
17．解：设每一局比赛甲获胜的概率为事件A，则
（1）由题意知
…………………………………………2分
即
解得P=0或
…………………………………4分
（2）甲获胜，则有比赛2局，甲全胜，或比赛3局，前2局甲胜1局，第3局甲胜，故
……………………………………………………8分
（3）设“比赛6局，甲恰好胜3局”为事件C 则P（C）=
………9分
当P=0或P=1时，显然有
…………………………………………………10分
又当0<P<1时，
…………………………11分
故甲恰好胜3局的概率不可能是.……………………………………………………12分
17．(本小题满分12分)
抛一枚均匀的骰子（骰子的六面分别有数字1、2、3、4、5、6）来构造数列
，使
，记
.
（1）求
的概率；
（2）若
，求的概率.
17. 解：（1）设事件为A，则在7次抛骰子中出现5次奇数，2次偶数，
而抛骰子出现的奇数和偶数的概率为P是相等的，且为
根据独立重复试验概率公式：
………………………………6分
（2）若
，即前2次抛骰子中都是奇数或都是偶数.
若前2次都是奇数，则必须在后5次中抛出3次奇数2次偶数，
其概率：
…………………………………………………………8分
若前2次都是偶数，则必须在后5次中抛出5次奇数，其概率：
…………………………………………………………………………10分
所求事件的概率
………………………………12分
17．(本小题满分12分)在一次军事演习中，某军同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是
；甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率为
；乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是．（１）求乙、丙各自击中目标的概率；（２）求目标被击中的概率．
17
解：（１）记甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A、B、C．
则由已知，得P(A)=,P(
·
)=P()P()=[1-P(C)]=,∴P(C)=
………3分
由P(B·C)＝P(B)P(C)=，得P(B)=，∴P(B)＝
. …………8分
（２）目标被击中的概率为
1-P(·
·)＝1-[1-P(A)][1-P(B)][1-P(C)]=1-(1-)(1-)(1-)=
,………10分
答：(1)乙、丙各自击中目标概率分别为
，;(2)目标被击中的概率为.………12分
17．（本小题满分12分）
移动公司进行促销活动，促销方案为顾客消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为
，中奖后移动公司返还顾客现金1000元，小李购买一台价格2400元的手机，只能得2张奖券，于是小李补偿50元给同事购买一台价格600元的小灵通（可以得到三张奖券），小李抽奖后实际支出为（元）.
（1）求的分布列；
（2）试说明小李出资50元增加1张奖券是否划算。
17、（1）
的所有可能取值为2450,1450,450，－550 ,
，分布列为
|
| 2450 | 1450 | 450 | －550 |
| P |
|
|
|
|
…（6分）
（2）
＝1850（元）） …（9分）
设小李不出资50元增加1张奖券消费的实际支出为
（元）
则
∴
∴
故小王出资50元增加1张奖券划算。…（12分）
19．（本小题14分）
从原点出发的某质点
，按照向量
移动的概率为，按照向量
移动的概率为
，设可到达点
的概率为
．
（Ⅰ）求概率
、
；
（Ⅱ）求
与、
的关系并证明数列
是等比数列；
（Ⅲ）求．
19．解 (Ⅰ)点到达点
的概率为
；点到达点
的事件由两个互斥事件组成：①A=“点先按向量
到达点，再按向量到达点”，此时
；
②B=“点先按向量移动直接到达点”，此时
。
(Ⅱ) 点到达点
的事件由两个互斥事件组成：
①
“从点
按向量移动到达点”，
此时
；
②
“从点按向量
移动到达点”，此时
。
，即 
数列是以
为首项，公比为
的等比数列。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知
……
18.（本小题满分12分）
已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球.
（Ⅰ）从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，求取球次数的数学期望；
（Ⅱ）从袋中随机地取出一个球，放回后再随机地取出一个球，这样连续取4次球，求共取得红球次数
的方差.
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）依题意，的可能取值为2，3，4 ……………1分
； ……………3分
； ……………5分
； ……………7分
∴
. 故取球次数的数学期望为
……8分
（Ⅱ）依题意，连续摸4次球可视作4次独立重复试验，且每次摸得红球的概率均为
，
则～
， ……………10分
∴
. 故共取得红球次数的方差为
……12分
18（本小题满分12分）
在一段线路中有4个自动控制的常用开关
如图连接在一起
假定在某年第一季度开关
能够闭合的概率都是0 7,开关
能够闭合的概率都是0 8
（1）求所在线路能正常工作的概率；
（2）计算在第一季度这段线路能正常工作的概率
18（本小题满分12分）
解设开关JA，JB ，JC ，JD 能够闭合的事件依次为A B C D，则P（A）=P（D）=0 7,P(B)=P(C)=0 8
（1）P(B C)=P(B) P(c)=0 8╳0 8=0 64…………………6分
（2）JA不能工作的概率为
JD不能工作的概率为
--------8分
--------10分
所以整条线路能正常工作的概率为0 9676----------------------12分
答：9月份这段线路能正常工作的概率为0 9676 …………………14分