高考理科数学试题Ⅰ
一、选择题：(共60分)
1．
，则“
”是“
”的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件
2．计算
得
( )
（A）
（B）
（C）
（D）
3．设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面。给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n； ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n； ④若α∥β，β∥γ，m⊥α，，则m⊥γ.
其中正确命题的序号是： （ ）
（A） ①和② （B）②和③ （C）③和④ （D）①和④
4．若把一个函数
的图象按a
平移后得到函数
的图象，则函数的解析式为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知以椭圆
的右焦点F为圆心，a为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．8名运动员参加男子100米的决赛. 已知运动场有从内到外编号依次为1，2，3，4，5，6，7，8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4，5，6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有 （ ）A．360种 B．4320种 C．720种 D．2160种
7．定点N（1，0），动点A、B分别在图中抛物线
及椭圆
的实线部分上运动，
且AB∥x轴，则△NAB的周长l取值范围是（ ）
（A）(
) （B）(
)（C）(
) （D）(
)
8．设地球的半径为R，若甲地位于北纬35°东经110°，
乙地位于南纬85°东经110°，则甲、乙两地的球
面距离为 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数
.若实数
使得
有实根，则
的最小值为
（ ）
(A)
（B）
（C） 1 （D）2
10．已知m＞n＞0，则当m2 +
取最小值时，m + n 的值是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知函数①
；②
；③
；④
.其中对于
定义域内的任意一个自变量
都存在唯一个个自变量
=3成立的函数是
（ ）
A．①②④ B．②③ C．③ D．④
12.我们可以用以下方法来求方程
的近似根：设
，由
，
，可知方程必有一根在区间
内；再由
，可知方程必有一根在区间
内；依此类推，此方程必有一根所在的区间是
（ ）
A 
B 
C 
D 
二、填空题：(共16分)
13．过点
交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为
.
14．四面体
中，
是
中点，
是
中点，
，则直线
与
所成的角大小为
15．已知定义在正实数集上的连续函数
,则实数
的值为
.
16．某资料室在计算机使用中，如右表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的. 此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式为 ;编码100共出现 次.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | … |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | … |
| 1 | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | … |
| 1 | 5 | 9 | 13 | 17 | 21 | … |
| 1 | 6 | 11 | 16 | 21 | 26 | … |
| … | … | … | … | … | … | … |
三、解答题：
（共74分）
17．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求的最小正周期；
（II）求函数图象的对称轴方程；
（III）求的单调区间.
18．（本小题满分12分）
某中学排球队进行发球训练，每人在一轮练习中最多可发球4次，且规定一旦发球成功即停止
该轮练习，否则一直发到4次为止. 已知队员甲发球成功的概率为0.6.
| |
的分布列，并求出的数学期望E；
（II）求一轮练习中队员甲至少发球3次的概率.
19．（本小题12分）
四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB // CD,
AD=CD=1，
,
，
.
（I）求证: 
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）求点
到平面
的距离.
20．（本小题12分）
已知函数
（
且）.
(Ⅰ) 当
时,求函数的单调区间;
(Ⅱ) 若不等式
对
恒成立,求a的取值范围.
21．（本小题满分12分）
已知平面上两定点M（0，－2）、N（0，2），P为一动点，满足
.
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且
. 分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明
为定值.
22．（本小满分14分）
已知函数
的两条切线PM、PN，切点分别为
M、N.
（I）当
时，求函数的单调递均区间；
（II）设MN=
，试求函数的表达式；
（III）在（II）的条件下，若对任意的正整数
，在区间
内总存在
成立，求m的最大值.
2007年4月彭泽二中理科数学试题Ⅰ参考答案
一、选择题
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| B | B | D | D | C | B | B | A | A | B | C | B |
二、填空题
13．
14．
15. 
16.
(n∈N+); 6
17．（本小题满分12分）
解：
（I）的最小正周期
.
（II）
Z.
∴函数图象的对称轴方程是
Z.
（注：若写成
）
（III）
故的单调区间为
的单调减区间为
18．（本小题满分12分）
解：（I）的可能取值为1，2，3，4.
|
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0.6 | 0.24 | 0.096 | 0.064 |
的数学期望为
.
（II）在一轮练习中队员甲至少发球3次的概率为
19（本小题12分）解法一:
（1）
证明：
PA⊥底面ABCD,
平面ABCD,
，
∠
=
，
.
又
，
平面.
(2) AB // CD, 
.∠ADC=600,又AD =CD=1,
为等边三角形,且 AC=1.
取
的中点
，则
，
PA⊥底面ABCD，
平面
过作
，垂足为
，连
，由三垂线定理知
.
为二面角的平面角.由
.
.
二面角的大小为
.
(3)设点到平面的距离的距离为
.
AB // CD,
平面
平面,
平面.
∴点到平面的距离等于点
到平面的距离.
,
.
解法二
(1) 同解法一;
(2)
取
的中点，则
.
又PA⊥底面ABCD,
面,
建立空间直角坐标系，如图.则
，
7分
设
为平面的一个法向量，
为平面
的一个法向量，则
，可取
；
，可取
.
.
故所求二面角的大小为
.
(3)
又
.
由（Ⅱ）取平面的一个法向量,
点到平面的距离的距离为
. 
20．（本小题12分）
解: 对函数求导得:
……………
(Ⅰ)当时, 
令
解得 
或
解得
所以, 单调增区间为
，
,
单调减区间为(-1,1)
(Ⅱ) 令
,即
,解得
或
由时,列表得：
| x |
|
|
| 1 |
|
|
| + | 0 | － | 0 | + |
|
|
| 极大值 |
| 极小值 |
|
对于
时，因为
,所以
，
∴>0
10 分
对于
时，由表可知函数在时取得最小值
所以，当时，
由题意，不等式对恒成立，
所以得
，解得
21．（本小题满分12分）
解：（I）设
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为
（II）解法一：由已知N（0，2）.
|
将（1）式两边平方并把
解（2）、（3）式得
，
且有
抛物线方程为
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
所以为定值，其值为0.
解法二：由已知N（0，2）
以下同解法一
22．（本小题满分14分）
解：（I）当
.
则函数有单调递增区间为
（II）设M、N两点的坐标分别为、
，
同理，由切线PN也过点（1，0），得
（2）
由（1）、（2），可得
的两根，
把（*）式代入，得
因此，函数
…………9分
（III）易知
上为增函数，
……11分
由于m为正整数，
.
又当
因此，m的最大值为6.