高三数学教学案 第九章 立体几何
第七课时 平面与平面垂直（一）
考纲摘录
掌握两平面垂直的判定定理和性质定理，并能利用上述定理进行论证和解决有关问题．
知识概要
1、二面角、二面角平面角的定义；
2、两平面垂直的定义；
3、两平面垂直的判定定理；
4、两平面垂直的性质定理．
重点难点
“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”的相互转化．
基础练习
1、已知直线m、n，平面
、
，且m⊥，n
，给出下列命题：①若∥，则
m⊥n；②若m⊥n，则∥；③若⊥，则m∥n；④若m∥n，则⊥．其中正确的命题是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③ D．③④
2、过平面外两点且垂直平面的平面（ ）
A．有且只有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有两个 D．一个或无数个
3、已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连结PB、PC、PD、AC、BD，则互相垂直的平面有__________对．
4、两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是__________________ ____．
例题讲解
例1、在三棱锥A－BCD中，AB=3，AC=AD=2，且∠DAC=∠BAC=∠BAD=60°，
求证：平面BCD⊥平面ADC．
例2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点.
求证：平面AED⊥平面A1FD1．
例3、已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，E是点A在平面PBC内的射影，
（1）求证：PA⊥平面ABC；（2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
 |
课后作业
班级_______学号__________姓名_________
1、平面⊥平面，∩=
，点P∈，点Q∈，那么PQ⊥是PQ⊥的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2、已知平面PAB、PBC、PAC两两互相垂直，点P在面ABC上的射影为O，则O是△ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
3、若、m是互相不垂直的异面直线，平面、分别过、m，则下列关系中不可能成立的是（ ）
A．∥ B．∥且m∥ C．⊥ D．⊥且m⊥
4、在直二面角－－中，A∈，B∈，AB=2，AB与、所成角分别为30°和45°，则点A、B在上的射影A′，B′间的距离是________ __．
5、在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，沿BD将该矩形折成直二面角，那么折后A、C两点间的距离为__________．
6、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求证：平面BDE⊥平面A1BD．
 |
7、如图S为△ABC所在平面外一点SA=SB=SC，且∠ABC=90°，
求证：平面SAC⊥平面ABC．
 |
8、在三棱锥P－ABC中，PB=PC，AB=AC，点D为BC中点，AH⊥PD于H点，连BH，
求证：平面ABH⊥平面PBC．
 |
高三数学教学案 第九章 立体几何
第八课时 平面与平面垂直（二）
目标要求
熟练掌握面面垂直的有关知识，并能综合运用有关知识解决问题．
基础练习
1、对于直线m、n和平面、，⊥的一个充分条件是
（
）
A．m⊥n，m∥，n∥ B．m⊥n，∩=m，n
C．m∥n，n⊥，m D．m∥n，m⊥，n⊥
2、设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X
Z且YZ 
X// Y” 为真命题的是______ __．
①X、Y、Z是直线； ②X、Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X、Y是平面； ④X、Y、Z是平面.
3、如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，
底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满
足_______ __时，平面MBD⊥平面PCD．
(只需写出一种情形)
例题讲解
例1、如图，ABCD是边长为
的菱形，∠A=60°，PC⊥平面ABCD，PC=，E是PA的中点，（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；（2）求E到平面PBC的距离．
 |
例2、正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为，侧棱长为
．若经过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面于DB1. （1）试确定点D的位置，并加以证明；
（2）求证：平面AB1D⊥平面ACC1A1．
 |
例3、如图，ABCD是正方形，E、F分别是AD、BC上的点，EF∥AB，EF交AC于点O，以EF为棱把它折成直二面角A－EF－D后，求证：不论EF怎样移动，∠AOC是定值．
 |
课后作业
班级_______学号__________姓名_________
1、若直线、m与平面、、
满足：∩=，∥，m，m⊥，则有（ ）
A．⊥，⊥m B．⊥，m∥
C．m∥，⊥m
D．∥，⊥
2、若平面⊥平面，直线n，直线m
，m⊥n，则
（ ）
A．n⊥ B．n⊥且m⊥
C．m⊥ D．n⊥与m⊥中至少有一个成立
3、三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P点到三个平面的距离分别是3，4，5，则OP的长为___________．
4、若有平面与，∩=，⊥，P∈，P
，则下列命题中，真命题有_______个．
①过点P且垂直于的直线平行于； ②过点P且垂直于的平面垂直于；
③过点P且垂直于的直线在内； ④过点P且垂直于的直线在内．
5、矩形ABCD，ABEF所在平面互相垂直，且AB=4，AD=2，AF=3，∠AED=，∠EDC=，则
=__________
6、若V是△ABC所在平面外一点，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC，
求证：△ABC是直角三角形．
 |
7、ABC－A1B1C1是正三棱柱，底面边长为，D、E分别是BB1、CC1上的点，BD=
，EC=．（1）求证：平面ADE⊥平面ACC1A1；（2）求截面△ADE的面积．
 |
8、如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，并且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）设E为BC边的中点，F为PC中点，求证：平面DEF⊥平面ABCD．
 |
高三数学教学案 第九章 立体几何
第九课时 异面直线所成的角
考纲摘录
掌握空间两条直线所成角的概念．
知识概要
1、异面直线所成角的定义，异面直线所成角的范围；
2、求异面直线所成角的大小，一般方法是通过平移直线，把异面直线问题化为共面问题解决．
重点难点
如何平移，从而转化为相交直线所成角并能求出该角．
基础练习
1、已知异面直线，
所成的角为60°，P为空间一定点，则过点P且与，所成角都是60°的直线有且仅有
（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2、棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
3、在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=
，则AD，BC所成角为_________．
4、已知、是两条异面直线，AB是其公垂线，垂足分别是A、B，M∈，N∈，AB=4，AM=3，BN=2，MN=
，则与所成的角为_________．
例题讲解
例1、如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠ABD=30°，AC=BC，求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
 |
例2、如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC中点，
（1）求证：AB1∥平面C1BD；（2）求异面直线AB1与BC1所成的角．
 |
例3、如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，
（1）B1D1与A1D能否垂直？请证明你的判断．
（2）当∠A1B1C1在
上变化时，求异面直线AC1与A1B1所成角的取值范围．
 |
课后作业
班级_______学号__________姓名_________
1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，表面的对角线中与AD1成60°角的有_______条．
2、已知空间四边形ABCD中，AC、BD成60°角，且AC=4，BD=
，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的面积为__________．
3、长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知BB1=BC=1，AB=
，则异面直线DB1与BC1所成角为___________．
4、在正三棱锥A－BCD中，E、F分别为棱AB、CD的中点，设EF与AC所成的角为，EF与BD所成的角为，则+等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5、在正四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点， 求：（1）异面直线EF与AC所成角的大小； （2）异面直线AF与DE所成角的大小．
 |
6、如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB=CD=3，E、F分别是另外两条对边AD、BC上的点，且AE：ED = BF：FC=1：2，EF=
，求AB和CD所成角的大小.
 |
7、如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E、H分别是A1B1和BB1的中点，求：（1）EH与AD1所成的角；（2）AC1与B1C所成的角．
 |
8、如图，正方形ACC1A1与等腰直角△ACB所在平面互相垂直，且AC=BC=2，E、F、G分别是线段AB、BC、AA1的中点．
（1）判断直线C1B与平面EFG的位置关系，并说明理由；
（2）求异面直线AC1与GF所成角的大小．
 |
高三数学教学案 第九章 立体几何
第十课时 直线与平面所成的角
考纲摘录
掌握直线与平面所成角的概念．
知识概要
1、斜线与平面所成角的定义，空间直线与平面所成角的范围；
2、求直线与平面所成角的关键是作垂直，找射影．
重点难点
如何作垂直定射影，以而构成直角三角形，并能够求出角．
基础练习
1、两条直线，与平面所成的角相等，则，的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均可能
2、若线段AB夹在两个互相垂直的平面、间，AB与成
角，AB与成
角，则+的值的范围（ ）
A．0°＜+≤90° B．0°＜+＜ 90°
C．90°≤+＜180° D．以上都不对
3、∠AOB在平面内，OC是的斜线，OB为OC在平面内的射影，若∠COA=，∠COB=1，∠BOA=2，则
三者之间满足的关系式是___________．
4、已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AD的中点，则ED1与平面AA1C1C所成的角的正弦值是_________．
例题讲解
例1、如图，在正方体AC1中，（1）求BC1与平面ACC1A1所成的角； （2）求A1B1与平面A1C1B所成的角．
例2、已知二面角－－为60°，上有两点A、B，线段AC，BD分别在面、内，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=4，AC=6，BD=8，
（1）求CD的长； （2）求异面直线CD与AB所成的角；
（3）求CD与平面所成的角．
 |
例3、在四面体S－ABC中，SA，SB，SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成角； （2）SC与平面ABC所成角．
 |
课后作业
班级_______学号__________姓名_________
1、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B与平面BB1D1D所成角的大小是_________．
2、有一个三角尺ABC,∠A=30°,∠C=90°,BC贴于桌面上，当三角尺与桌面成45°角时，AB边与桌面所成角的正弦值是__________．
3、已知一个平面与一个正方体的十二条棱所成的角均为，则
___________．
4、平面的斜线与所成的角为30°，则此斜线和内所有不过斜足的直线所成角的最大值是（ ）
A．30° B．60° C．90° D．150°
5、在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，则CE与平面BCD所成角的正弦值为__________．
6、已知平面与所成的二面角为80°，P为、外一定点，过点P的一条直线与、所成的角为30°，则这样的直线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7、已知∠BOC在平面内，OA是的斜线，若∠AOB=AOC=60°，OB=OC=，BC=
，求OA和平面所成的角．
7、在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，
C1B1⊥AB．（1）求证：平面CA1B⊥A1AB；（2）若C1B1=3，AB=4，∠ABB1=60°，求AC1与平面BCC1所成角的大小．
8、如右图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB=BC=
PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC， （1）求证：OD∥平面PAB；
（2）求直线OD与平面PBC所成角的大小．
 |
高三数学教学案 第九章 立体几何
第十一课时 二面角（一）
考纲摘录
掌握平面与平面所成角的概念，能正确画出两个平面位置关系的图形，并能运用二面
角及其平面角的概念进行计算和证明．
知识概要
1、二面角，二面角的平面角的定义；
2、二面角的平面角的三种作法；
3、求二面角大小时一般按“一作，二证，三计算”步骤进行．
重点难点
重点是在具体问题中如何作出平面角，并能求出该角，比较困难的是求没有给出的棱的二面角大小．
基础练习
1、从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B－PA－C的余弦值是 （ ）
A． B．
C．
D．
2、已知二面角－－为60°，若平面内有一点A到平面的距离为，那么A在平面上的射影A1到平面的距离为
（ ）
A． B．1 C． D．
3、锐二面角－－中，AB，AB与成45°角，与成30°角，则二面角的大小为__________．
4、若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积的比等于
，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角的大小为_________．
例题讲解
例1、正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，P，Q，R分别
为棱AA1，AB，BC的中点， （1）求证：∠PQR为钝角；
（2）求二面角P－QR－A的正弦值．
例2、在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形ABC为等腰直角三角形且∠ABC=90°，E为C1C的中点，F在BB1上，且BF=
BB1，BB1=BC，求平面EFA与面ABC所成角的大小．
例3、已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°，（1）求证：BC⊥平面AA1C1C；
（2）求二面角B－AA1－C的大小．
课后作业
班级_______学号__________姓名_________
1、在正四棱锥中相邻两侧面所成的二面角一定是 （ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．均有可能
2、在二面角－－内，过作一个半平面
， 使二面角 －－ 的大小为
45°，二面角－－的大小为30°，则内任一点P到平面与平面的距离之比为
（ ）
A．
B． C． D．
3、正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角B1－AA1－C1的大小为____________，二面角B－A1C－A的大小为________．
4、已知直角△ABC的斜边AB在平面内，AC、BC分别与成30°、45°角，则与△ABC所在平面所成的二面角的度数为________．
5、如图，过正方形ABCD的顶点A引PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小为__________．
6、在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，BC=AB，这时二面角B－AD－C的大小为_________．
7、在四面体ABCD中，BD=，其余各棱长均为，求二面角A－BD－C，
A－BC－D，B－AC－D的大小．
8、如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=BB1，BB1与底面成60°角，侧面A1B⊥底面ABC，△ABC是正三角形．
（1）证明：AB⊥B1C；
（2）证明：B1C⊥平面ABC1；
（3）求二面角B1－AC－B的大小．