绝密★启用前
2007年普通高等艺术招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高。
如果事件
、
互斥，那么
.
如果事件、相互独立，那么
.
用最小工乘法求线性回归方程系数公式
.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合要求的.
1.已知函数
的定义域为
，
的定义域为
，则
A.
B.
C.
D.
2.若复数
是纯虚数（
是虚数单位，
是实数）则＝
A.2 B.
C.
D.-2
3.若函数
A.最小正周期为
的奇函数 B.最小正周期为
的奇函数
C.最小正周期为
的偶函数 D.最小正周期为的偶函数
4.客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是
5.已知数an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5<an <8,则k=
A.9 B.8 C.7 D.6
6.图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150，155）内的学生人数）.图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
A.i<6 B. i<7 C. i<8 D. i<9
7.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为
A.15 B.16 C.17 D.18
8.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S，对于有序元素对（a,b）,在S中有唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是
A.（a*b）*a=a B.［a*(b*a)］*(a*b)=a
C.b*(b*b)=b D.(a*b)* ［b*(a*b)］=b
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分，其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分.
9.甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）
10.若同量
、满足
的夹角为120°，则
＝
.
11.在平面直角坐标系
中，有一定点（2，1），若线段
的垂直平分线过抛物线
的焦点，则该抛物线的准线方程是
.
12.如果一个凸多面体
棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有
对异面直线，则
＝ 图4
; ＝
.（答案用数字或的解析式表示）
13.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线
的参数方程为
，圆
的参数方程为
，则题的圆心坐标为
，圆心到直线的距离为
.
14.（不等式选讲选做题）设函数
＝
;若
，则x的取值范围是
.
15.（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆
的直径
，为圆周上一点，
，过作圆的切线，过作的垂线
，分别与直线、圆交于点
、
，则
∠
＝
，线段
的长为 .
图5
三、解答题：本大题共有6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知△
顶点的直角坐标分别为
.
（1）若
，求sin∠的值;
（2）若∠是钝角，求
的取值范围.
17.(本题满分12分)
下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.
| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=
;
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5＝66.5）
18.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆
＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10.
（1）求圆C的方程.
（2）试探安C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点P的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分14分）
如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6
,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记
BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值
20.（本小题满分14分）
已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数y=f(x)在区间［-1,1］上有零点，求a的取值范围.
21.（本小题满分14分）
已知函数f(x)=x2+x-1,α、β是方程f(x)=0的两个根（α>β）.f′(x)是f(x)的导数.设a1＝1，an+1=an-
(n=1,2,…).
(1)求α、β的值；
(2)证明：任意的正整数n，都有an>a;
(3)记bn-
(n=1,2,…),求数列{bn}的前n项和Sn.