08届高考理科数学第一次模拟问卷
★★理科数学★★ 2008-2-20上午
一、选择题：本大题共分8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
，
，则集合
（ ）
A． 
B．
C．
D．
2．数列
，……的前n项和为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
的值为 （ ）
A． 1 B．
C．
D．2
4．若函数
的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（ ）
A （
B （
） 
C （
） D （0，0）
5．已知函数
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
6.设等差数列
的前n项和是
且
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
7.偶函数
满足：
，且在区间[0,3]与
上分别递减和递增，则不等式
的解集为
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
8．定义在
上的函数
的图象关于点
成中心对称，对任意的实数
都有
，且
，则f(1)+f(2)+f(3)+······+f(2008)的值为（ ）
A．
B．
C．0 D．1
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9.函数
的定义域是_______________．
10.设直线
过椭圆的左焦点F和一个顶点B（如图所示），
则这个椭圆的离心率
__________．
11.
如右图，一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为
的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为________．
12.设平面
∩平面
，点
平面，点
平面
，且三点A、B、C都不在直线l上，给出下列四个命题：
① 
② 
③ 
平面ABC. 其中正确的命题是_______________．
（从下列13~15三小题中任选做两小题，如果三小题都做的，则只按前两小题记分）
13.如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，
且OC = 3，AB = 4，延长OA到D点，则
△ABD的面积是___________．
14.在极坐标系中，点
到
的距离是___________．
15. 已知g(x)=x-1-x-2,则g(x)的值域为 ；
班级 姓名 学号 得分
一、选择题：本大题共分8小题，每小题5分，共40分。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9. ; 10. ;
11. ; 12. ;
（从下列13~15三小题中任选做两小题，如果三小题都做的，则只按前两小题记分）
13. ; 14. ; 15. .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c =
，且
(1) 求角C的大小； （2）求△ABC的面积.
17．（本小题满分12分）
一位学生每天骑车上学，从他家到学校共由5个交通岗，假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇红灯的概率均为P，其余3个交通岗遇红灯的概率为。
（1）若
，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率；
（2）若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过
，求P。
理科数学
班级 姓名 学号 得分
18．（本小题满分14分）
如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，
（1）求证：A1C⊥平面BDE；
（2）求A1B与平面BDE所成角的正弦值；
（3）设F是CC1上的动点(不包括端点C)，
求证：△DBF是锐角三角形。
19．（本小题满分14分）
在等差数列｛an｝中，a1=1,前n项和Sn满足条件
（n为正整数）。
（1） 求等差数列｛an｝的通项公式；
（2）
记
，求数列｛bn｝的前n项和
。
20．（本小题满分14分）
函数
函数f(x)当x=1时有极值。
（1） 求m与n的关系表达式；
（2） 求f(x)的单调区间；
（3）
当
函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围。
21．（本小题满分14分）
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线
与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
（其中O为原点）. 求k的取值范围.
理科数学（答案）
一、 选择题 ACAC BBDC
二、
填空题 9.（-2，2）； 10. 
； 11.π
； 12.②③
；
13. 
；
14. 1 ； 15.[-1，1]
三、解答题：
16．（本小题满分12分）
(1) 解：∵A+B+C=180°
由
…………1分
∴
………………3分
整理，得
…………4分
解 得：
……5分
∵
∴C=60° ………………6分
（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab …………7分
∴
………………8分
由条件a+b=5得 7=25－3ab …… 9分
……10分
∴
…………12分
17. 解：（1）记该学生在第
个交通岗遇到红灯事件为
他们相互独立，则这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为
P（
）＝
这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为
。
（2）过首末两个路口，共中间三个路口分别看作独立重复试验，
A＝{该学生没遇到红灯} B＝{该学生恰好遇到一次红灯}，则A与B互斥
故
18. （1）证明：由正四棱柱性质知A1B1⊥平面BCC1B1，A1A⊥平面ABCD，
所以B1C、AC分别是A1C在平面CC1B1B、平面ABCD上的射影
∵ B1C⊥BE, AC⊥BD, ∴A1C⊥BE , A1C⊥BD， （2分）
∴ A1C⊥平面BDE (4分)。 （直接指出根据三垂线定理得“A1C⊥BE , A1C⊥BD”而推出结论的不扣分)
（2）解：以DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴，建立坐标系，则
，
，
，∴
，
(6分)
∴
(7分)
设A1C
平面BDE＝K，
由(1)可知，∠A1BK为A1B与平面BDE所成角，(8分)
∴
(9分)
（1）
证明：设点F的坐标为（0, 2, z）(0<z≤4), 则
，
又DB=
，故△DBF是等腰三角形，要证明它为锐角三角形，只需证明其顶角∠DFB为锐角则可。
(11分)
由余弦定理得cos∠DFB=
∴∠DFB为锐角, (13分)
即不论点F为CC1上C点除外的任意一点, △DFB总是锐角三角形.(14分)
说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全”情况应扣2分）
19、解：
(1)
an=n
…….4分
(2)Tn=
…….14分
20、解：(1)n=3m+6…….4分
(2) 
…….14分
21. 解：（Ⅰ）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为
（Ⅱ）将
由直线l与双曲线交于不同的两点得
即
① 设
，则
而
于是
②
由①、②得 
故k的取值范围为