数学竞赛单元训练题
不等式
一、选择题
1、已知
、
、
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B． 
C．
D．2
2、已知实数、、、
，满足
，
，则的最小值与最大值和为 （ ）
A．
+1 B．
+
+ D．3
3、若
，则
的最小值为 （ ）
A．
B．
C．3 D．
4、若
、
、
、
＞0，且
，则函数
的最大值为 （ ）
A．20 B．10
C．30 D．20
5、若不等式
，对一切大于1的自然数
都成立，则整数
的最大值为 （ ）
A．44 B．43 C．42 D．41
6、四边形各顶点位于一个边长为1的正方形的各边上，若四边形的边长为、、、，则有 （ ）
A．1≤
≤2 B．2≤≤4
C．1≤≤3 D．3≤≤6
二、填空题
7、设为自然数，对于任意的实数、、，恒有不等式
≤
成立，则的最小值为_____________．
8、长方形的一边长为1，设它被两条互相垂直的直线分成四个小长方形，其中三个的面积不小于1，第四个面积不小于2，则长方形的另一边至少要多长_____________．
9、
（其中
不全为0）的最大值为_____________．
10、已知、、，求
的最小值为_____________．
11、给定正数
，
是它的一个排列，则____________使得乘积 
取最大值．
12、四面体P－ABC中，PA、PB、PC互相垂直，设六条棱长的和等于S，则四面体的最大体积为____________．
三、解答题
13、（1）设、、，求证：
≥1．
（2）设
，且满足
求证：
≤
．
14、已知、、、是4个不同的实数，使得
且
，试求
的最大值．
15、设、、、是满足
的正实数，求证：
≥
．
16、求最大的实数
，使得当实系数多项式
的所有根都是非负实数时，只要≥min{三根}，就有
≥
，并且问上式中等号何时成立？
数学竞赛单元训练题
解析几何
一、选择题
1、设
和
，若
，0
时，恒有≤
，则实数的取值范围为 （ ）
A．
B．
C．
D．[ 5，6]
2、若抛物线
上存在两点
关于直线
对称，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3、设
，
为过P（
，0）的两条互相垂直的直线，且，与双曲线
各有两个交点，分别为
和
，则的斜率
的取值范围为 （ ）
A．1≠＜
B．≤ C．1≠≤ D．以上都不对
4、设椭圆C：
的长轴两端点是A、B，若椭圆C存在点Q使
∠AQB=
，则椭圆C的离心率的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率
，已知点P（0，）到这个椭圆上的点的最远距离是
，则这个椭圆方程为（ ）
A．
B．
C．
D．以上都不对
6、在直角坐标系
的平面内，由不等式
≤
，
≤100所确定的图形面积为（ ）
A．50
B．40 C．20 D．30
二、填空题
7、设
为椭圆
上的个点，且
将圆周角等分，则
=____________．
8、给定椭圆
，则与这个椭圆有共同焦点的双曲线，使得以它们的交点与顶点的四边形面积最大时，相应的四边形的顶点坐标为____________．
9、设
，则
的最值是__________．
|
、、，且满足
，则
的范围是__________．
11、如图设N是正数，则图中所示正方形
（包括边界）一共有整点的个数为__________．
 |
12、设抛物线C：
过定点
，
，当
（
）时，不等式
≥
恒成立时，的取值范围是__________．
三、解答题
13、已知F1,F2是椭圆的左右焦点，为焦半径，弦AB过右焦点，求三角形F1AB面积的最大值．
14、过点(1，0)的直线
与中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线
过线段AB中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线对称，求直线及椭圆C的方程．
15、已知抛物线y2=2px (p>0)，其焦点F，试问：是否存在过F点的弦AB（A、B均在抛物线上，且A点在第一象限），以及轴正半轴上一点P ，使得P、A、B三点构成一个以P为直角顶点的直角三角形？证明你的结果，如果结果是肯定的，请求出直线AB的方程．