不等式的综合运用1

高三数学教学案　　　　　　    第六章　 不等式

　　　　　　　　　　　　　　　　　

第九课时　　 不等式的综合运用（1）

目标要求

能够利用不等式解决函数的定义域、值域（最值）、单调性、方程的实根分布以及方程和不等式中的参数问题。）

基础练习

1．设函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为B。若BA,则实数a的取值范围　　　　　　　　　　　　　　　　 。　　

2．函数y=的值域是　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　  （　　 ）

A．（－1，0）　　  B．[－3，0）　　　C．[－3，－1]　　　 D．（－∞，0）

3．已知函数f(x)=log_0.5(x²－ax+3a)在[2,+ ∞)上是减函数，则a的取值范围是　 （　　 ）

A．（－∞，4]　　　B．（－4，4]　　　 C．（0，12]　　　　　　D．（0，4]

4．若关于x的方程9^x+(4+a)3^x+4=0有解，则实数a的取值范围是　　　　　　　 。

5．若不等x²－x+1>m(x²+x+1)对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围是　 （　　 ）

A．(3,+)　　 　　B．[3, +)　　　　　 C．（－，]　　　 D．（－，）

例题讲解

例1．设a、b∈R,且a≠2，定义在(－b，b)上的函数f(x)=lg是奇函数，求b的取值范围。

例2．设集合A=，，如果A∩B≠φ,求实数m的取值范围。

例3．已知函数的定义域恰为不等式log₂(x+3)+log_0.5x≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a的取值范围。

例4．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b∈[－1,1]，a+b≠0有恒成立。

（1）试判断f(x)在[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；　　

（2）解不等式f(x+)<；

（3）若f(x)≤m²－2am+1,对所有x∈[－1,1]，a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围。

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课后作业

1．若x₁，x₂是方程x²+ax+8=0的两相异实根，则有　　　　  　　 （　　 ）

A．x₁>2，x₂>2　　　B．x₁+x₂>　C．x₁－x₂≤　　 D．x₁>3，x₂>3　

2．函数的值域为　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 。

3．函数f(x)的图象如图（1）所示，其定义域为

（－，0）∪(0，+) ，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0

的解集是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  。

4．若x>0，P=，Q=(sinx+cosx)²，则P,Q之间的关系是　　　（　　 ）

A．P<Q　　　　 　　　 B．P≤Q　　　　 　　　C．P>Q　　　　　D．PQ

5．不等式上恒成立，则a的取值范围是（　　 ）

A．[2，＋)　　　　 B．(1,2]　　　 　　　　 C．[，1）　　 D．(0,　]

6．已知x,y,z∈R⁺,且满足条件xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值为　　　　　 。

7．关于x的方程4^x+(m－3)2^x+m=0有两个不相等的实根，求m的取值范围。

8．若对一切实数x，不等式均成立，求实数m的取值范围。

9．已知二次函数f(x)=ax²+bx+1(a,bR,a>0)，设方程f(x)=x的两个实数根分别为x₁，x₂,

(1)如果x₁<2<x₂<4，设函数f(x)的对称轴为x=x₀，求证：x₀>－1；

（2）如果x₁<2，x₁－x₂=2，求证：b<或b>。　

10．（选做题）设x=log_st+log_ts,y=log_s⁴t+log_t⁴s+m(log_s²t+log_t²s),其中，s>1,t>1,mR

(1)将y表示成x的函数y=f(x),并求f(x)的定义域；

(2)若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实数根，求m的取值范围；

（3）若f(x)>0恒成立，求m的取值范围。

高三数学教学案　　　　　　    第六章　 不等式

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第十课时　　 不等式的综合运用（2）

目标要求

能够利用不等式解决与三角、数列有关的问题。进一步掌握不等式的性质与解法，提高综合解题能力。

例题讲解

例1．设x、y∈R，x²+y²=1，则的最大值为　　　　　　  。

例2．已知{a_n}为等差数列，{b_n}为等差数列，其公比q1，且b_i>0(i=1，2，3，…，n)若a₁=b₁，a₁₁=b₁₁则　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  (　　 )　　　

A．a₆=b₆　　　　B．a₆>b₆　　　　C．a₆<b₆　　　 D．a₆>b₆ 或 a₆<b₆　

例3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,其中c为最大边，并且sin²A+sin²B=1。

（1）判断△ABC的形状，并给出证明；

（2）当c=2时，求△ABC面积的最大值。　　　

例4．已知a>0且a≠1,数列{a_n}是首项为a,公比也为a的等比数列，令b_n=a_nlga_n(n∈N⁺)问是否存在实数a，对任意正整数n，数列{b_n}中的每一项总小于它后面的项？若存在，求出相应的a的范围；若不存在，说明理由。

例5．设数列满足a₁=2，a_n+1=a_n+(n=1，2，3，……)

（1）证明：a_n>对一切正整数n成立；

（2）令(n=1，2，3，……)，判断b_n与b_n+1的大小。并说明理由。

 

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课后作业

1．设实数x，y满足x²+(y－1)²=1,若对满足条件的x，y。x+y+c0恒成立，则c的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　　）　

 A[－1，＋）　B （－，－1]　C　[+1，＋）　D　（－，－1]

2．函数y=+的最小值是　　　　　　　　　 

3．已知x，y为正整数，且x，a₁，a₂，y成等差数列，x，b₁，b₂，y成等比数列，则的取值范围是　　　　 （　 ）

A．（0，4]　　　　 B．[4，＋）　　 C．（－，0] [4，＋）　　  D．R

4．已知数列{a_n}的通项公式则数列的前30项中的最大值和最小值分别为　　　　（　 ）

A．a₁，a₃₀　　　B． a₁，a₉　　　　C．a₁₀，a₃₀   D． a₁₀，a₉

5．若不等式对于任意都成立，则a的取值

（　　 ）

A．　　　 B．　　　　  C．　　　　　 D．

6．已知，在等比数列{a_n}中，其首项a₁>0,公比q>－1,且q≠1,前n项和为S_n；在数列{b_n}

中b_n=a_n+1－ka_n+2，前n项和为T_n。求证：（1）S_n>0；（2）若T_n> kS_n对一切正整数n成立，则k≤。

7、巨幅壁画最高点离地面14m，最低点距地面2m，若从离地面1.5m处观赏此画，问离墙多远时视角最大。

8．已知数列的前n项和为S_n，a₁=2，na_n+1=S_n+n(n+1)。

（1）求数列的通项公式；

（2）设b_n=，如果对一切正整数n都有，求 t的最小值。

9．(选做题) 已知f(x)=lg其中aR，nN^*。当n2时，f(x)在（－，1]上有意义，求a的取值范围。　　

高三数学教学案 　　　　　　　 第六章　 不等式

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第十一课时　　 不等式的综合应用（3）

目标要求

能够利用不等式解决几何中的一些简单问题以及实际应用问题。

例题讲解

例1．将长12cm的铁丝截成两段，用这两段铁丝各自围成一个正三角形，这两个正三角形的面积之和的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．cm²　　　　  B．4 cm²　　　　　 C． cm²　　　　　 D． cm²

例2．将进货单价为80元的商品按90元一个出售时能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售就减少20个，为了赚得最大利润，销售价应定为每个　　　　　　 （　　）

A．110 元　　　　　 B．105元　　　　　 C．100元　　　　　　  D．95元

例3．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为　（　　）

A．　　　　　　  B．　　　　　  C． 3　　　　　　　　  D．4

例4．某校把一块边长为2a的等边△ABC的边角地辟为生物园，图中DE把生物园分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。

（1）设AD＝x，（），ED=y，求用x表示y的函数表达式；

（2）如果DE是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观路线希望它最长，DE的位置又应该在哪里？　　　　　　　  A

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 E

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  D

　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　 C

例5．某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品的附加值，假设附加值y（万元）与技术改造投入x（万元）之间的关系满足：①y与a－x和x的乘积成正比；②x=时，y=a²；

③，其中t为常数且t[0，1]。

（1）设y=f(x)，求f(x)的表达式，并写出函数的定义域；

（2）求出产品的附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值。

例6．甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。

（1）　　　 把全程运输成本y（元）表示为速度v （千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？　

课后作业

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1．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积之比应不小于10％，且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是　　　　  （　　 ）

A．变好　　　　  B． 变坏　　　　　 C． 不变　　　　　 D．不确定

2．设一个三角形的三边长为x,y,，则最长边与最短边的夹角等于　　  。

3．设点P(x，y)在椭圆上移动，则x+y的最大值为　　　　　　　  。

4．某邮局只有面值为0．60元，0．80元，1．10元的三种邮票，现有邮资为7．50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且邮资恰为7．50元，则至少要购买　　　 张邮票。

5．一个人喝150ml啤酒后，血液中的酒精含量上升到0．48mg/ml，在停止喝酒后，血液中的酒精含量每小时减少一半。法律规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0．08mg/ml，则此人喝酒后至少几小时才能驾驶汽车？　　　　　　　　　　　 （　　　）

A．2　　　　　　 B． 2．5　　　　　　  C．3　　　　　　 D．3．5　　　　　　　　　　　 

6．设，则的最大值为_________

7．某工厂的产量，第二年比第一年增长的百分率为p₁，第三年比第二年增长的百分率为p₂，

第四年比第三年增长的百分率为p₃，且p₁+p₂+p₃=m，（m为定值），则每年平均增长的百分率的最大值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

A．1－　　　　  B． 　　　　　 C．　　　　　 D．

8．某村计划建造一个室内面积为800m²的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧与后墙内侧各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少？

9．学校食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费200元。食堂每天需要大米1吨，储存大米的费用为每吨每天1元，假设食堂每次均在用完大米的当天购买。

（1）　　　 该食堂每多少天购买一次大米可使平均每天支付的总费用最少？

（2）　　　 粮店提出价格优惠重要条件：一次购买量不少与40吨时，大米价格可享受九五折优惠（即原价的95％），问食堂可否接受此优惠条件？说明理由。

10．（选做题）某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置，现将工人分成两组，同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)（单位：h，可不为整数）

（1）　　　 写出g(x)，h(x)的解析式；

（2）　　　 比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；

（3）　　　 问：应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？