2005年高考试题分类解析（函数部分）
一、选择题：
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1、（广东卷）在同一平面直角坐标系中，函数
和
的图像关于直线
对称．现将
图像沿
轴向左平移２个单位，再沿Y轴向上平移１个档位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图２所示），则函数
的表达式为(A)
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
2．（江苏卷）函数
的反函数的解析表达式为(A)
（A）
（B）
（C）
（D）
3. （全国卷Ⅰ）
反函数是（C ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4 （全国卷Ⅰ）设
，函数
，则使
的的取值范围是（B ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5. （全国卷Ⅰ）设
，二次函数
的图像为下列之一
则
的值为
(C)
（A）
（B）
（C）
（D）
6. (全国卷Ⅱ) 函数 
反函数是( B )
(A)
(B)
= -
(C)=
(D)=-
7. (全国卷Ⅱ)函数y=
-1（X≤0）的反函数是 (B)
（A）y=
（x≥-1） (B)y= -（x≥-1）
(C) Y=(x≥0)
(d)Y= - (x≥0)
8.( 全国卷III)设
，则(A )
（A）-2<x<-1 （B）-3<x<-2 （C）-1<x<0 （D）0<x<1
9. ( 全国卷III)若
,则( C)
(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c
10．（福建卷函数
的图象如图，其中a、b为常数，则下列
|
A．
B．
C．
D．
11．（福建卷是定义在R上的以3为周期的偶函数，且
，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ B ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12. （湖北卷）函数
的图象大致是 （ D ）
13. （湖北卷）在
这四个函数中，当
时，使
恒成立的函数的个数是（ B ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14. （湖南卷）函数f(x)＝
的定义域是 （ A ）
A．
－∞，0] B．[0，＋∞
C．（－∞，0） D．（－∞，＋∞）
15. （辽宁卷）函数
）的反函数是 （ C ）
A．
B．
C．
D．
16. （辽宁卷）已知
是定义在R上的单调函数，实数
，
，若
，则 （ A）
A．
B．
C．
D．
17. （辽宁卷）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意
，由关系式
得到的数列
满足
，则该函数的图象是（ A ）
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18. （山东卷）
函数
的反函数图像大致是
（ B ）
（A）
（B）
（C） （D）
19 （山东卷）下列函数既是奇函数，又在区间
上单调递减的是（D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
20. （山东卷）函数
，若
则的所有可能值为（ C ）
（A）1
（B）
（C）
（D）
21. （上海）若函数f(x)=
, 则该函数在(-∞,+∞)上是
( A )
(A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值
(C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值
22. （天津卷）设
是函数
的反函数，则使
成立的x的取值范围为 （A ）
A．
B． 
C． 
D． 
23. （天津卷）若函数
在区间
内单调递增，则a的取值范围是 （B ）
A．
B． 
C．
D．
24.(浙江)设f(x)＝x－1－x，则f[f(
)]＝( D )
(A) － (B)0 (C) (D)
1
25.(重庆卷)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在
上是减函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是 (D
)
(A) (-¥,2)； (B) (2,+¥)；
(C) (-¥,-2)È(2,+¥)； (D) (-2,2)。
26.（江西卷）函数
的定义域为 （A ）
A．（1，2）∪（2，3） B．
C．（1，3） D．[1，3]
二、填空题：
1、（广东卷）函数
的定义域是{xx<0}．
2.（江苏卷）函数
的定义域为
3（江苏卷）若3a=0.618,a∈
,k∈Z，则k=
-1
.
4. （江苏卷）已知a,b为常数，若
则
2 .
5. （北京卷）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)③
>0；
④
.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ②③ .
6．（福建卷）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题.
若函数
的图象与
的图象关于
对称，则函数=
.
（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）
(①x轴，
②y轴，
)
③原点，
④直线
7（湖北卷）．函数
的定义域是 
.
8. （湖南卷）设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f－1(x)，f (4)＝0，则
f－1(4)＝-2 .
9. （上海）函数f(x)=log4(x+1)的反函数f
(x)= 4
-1
．
10.．（上海）方程4x+2x-2=0的解是 x=0 ．
11. （天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线
对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f
(4)+ f (5)=_0_______________.
12. （江西卷）若函数
是奇函数，则a=
.
13.(浙江)函数y＝
(x∈R，且x≠－2)的反函数是
．
解答题：
1、（广东卷）设函数在
上满足
，
，且在闭区间［0，7］上，只有
．
（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．
.解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为
,
从而知函数不是奇函数,
由
,从而知函数的周期为
又
,故函数是非奇非偶函数;
(II)由
(II) 又
故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.
2. （全国卷Ⅰ）已知二次函数的二次项系数为，且不等式
的解集为
。（Ⅰ）若方程
有两个相等的根，求的解析式；
（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。
解：（Ⅰ）
①
由方程
②
因为方程②有两个相等的根，所以
，
即 
由于
代入①得的解析式
（Ⅱ）由
及
由
解得 
故当的最大值为正数时，实数a的取值范围是
3. （北京卷）设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间．对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．
（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；
（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；
（III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）
解：（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．
当f(x1)≥f(x2)时，假设x*
(0, x2)，则x1<x2<x*，从而f(x*)≥f(x2)>f(x1)，
这与f(x1)≥f(x2)矛盾，所以x*∈(0, x2)，即(0, x2)是含峰区间.
当f(x1)≤f(x2)时，假设x*( x2, 1)，则x*<≤x1<x2，从而f(x*)≥f(x1)>f(x2)，
这与f(x1)≤f(x2)矛盾，所以x*∈(x1, 1)，即(x1, 1)是含峰区间.
（II）证明：由（I）的结论可知：
当f(x1)≥f(x2)时，含峰区间的长度为l1＝x2；
当f(x1)≤f(x2)时，含峰区间的长度为l2=1－x1；
对于上述两种情况，由题意得
①
由①得 1＋x2－x1≤1+2r，即x1－x1≤2r.
又因为x2－x1≥2r，所以x2－x1=2r, ②
将②代入①得
x1≤0.5－r, x2≥0.5－r， ③
由①和③解得 x1＝0.5－r， x2＝0.5＋r．
所以这时含峰区间的长度l1＝l1＝0.5＋r，即存在x1，x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r．
（III）解：对先选择的x1；x2，x1<x2，由（II）可知
x1＋x2＝l， ④
在第一次确定的含峰区间为(0, x2)的情况下，x3的取值应满足
x3＋x1＝x2， ⑤
由④与⑤可得
,
当x1>x3时，含峰区间的长度为x1．
由条件x1－x3≥0.02，得x1－(1－2x1)≥0.02，从而x1≥0.34．
因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取
x1＝0.34，x2＝0.66，x3=0.32．
4（上海）已知函数f(x)=kx+b的图象与x、y轴分别相交于点A、B,
(
、
分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x2-x-6.
(1)求k、b的值;
(2)当x满足f(x)>
g(x)时,求函数
的最小值.
[解](1)由已知得A(
,0),B(0,b),则
={
,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.
(2)由f(x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-2<x<4,
=
=x+2+
-5
由于x+2>0,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立
∴的最小值是-3.
5,（上海）(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分8分, 第3小题满分6分.
对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 当x∈Df且x∈Dg
规定: 函数h(x)= f(x)
当x∈Df且xDg
g(x) 当xDf且x∈Dg
(1) 若函数f(x)=-2x+3,x≥1; g(x)=x-2,x∈R,写出函数h(x)的解析式;
(2) 求问题(1)中函数h(x)的最大值;
(3) 若g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.
6..[解](1)h(x)= (-2x+3)(x-2) x∈[1,+∞)
x-2 x∈(-∞,1)
(2) 当x≥1时, h(x)= (-2x+3)(x-2)=-2x2+7x-6=-2(x-
)2+
∴h(x)≤;
当x<1时, h(x)<-1,
∴当x=时, h(x)取得最大值是
(3)令 f(x)=sinx+cosx,α=
则g(x)=f(x+α)= sin(x+)+cos(x+)=cosx-sinx,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x.
另解令f(x)=1+
sinx, α=π,
g(x)=f(x+α)=
1+sin(x+π)=1-sinx,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sinx)( 1-sinx)=cos2x.
7．(浙江)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－x－1；
(Ⅲ)若h(x)＝g(x)－
f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．
解：（I）设函数的图象上任一点
关于原点的对称点为
,
则 
即 
.
∵点
在函数的图象上.
即
故g(x)＝
.
(II)由
可得：
当
1时，
此时不等式无解。
当
时，
因此，原不等式的解集为[-1, 
].
(III) 
①
当
时，
＝
在[-1,1]上是增函数，
②当
时，对称轴的方程为
(i) 当
时，
，解得。
(ii) 当
时，1时，解得
综上,
8.(江西卷）已知函数
（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3,
x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设k>1，解关于x的不等式；
.
解：（1）将
得
（2）不等式即为
即
①当
②当
③
.
9.（全国I）（1）设函数
，求的最小值；
（2）设正数
满足
，
求证：
（Ⅰ）解：对函数求导数：
于是
当
在区间
是减函数，
当
在区间
是增函数.
所以
时取得最小值，
，
（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明.
（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立.
（ii）假定当
时命题成立，即若正数
，
则
当
时，若正数
令
则
为正数，且
由归纳假定知
①
同理，由
可得
②
综合①、②两式
即当时命题也成立.
根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立.
证法二：
令函数
利用（Ⅰ）知，当
对任意
. ①
下面用数学归纳法证明结论.
（i）当n=1时，由（I）知命题成立.
（ii）设当n=k时命题成立，即若正数
由①得到
由归纳法假设
即当时命题也成立.
所以对一切正整数n命题成立.