高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述

高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述

　　抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：

一. 求某些特殊值

　　这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

　例1　定义在R上的函数满足：且，求的值。

　　解：由，

　　以代入，有，

　　为奇函数且有

　　又由

　　

　　故是周期为8的周期函数，

　　

　例2　已知函数对任意实数都有，且当时，

，求在上的值域。

　　解：设

　　且，

　　则，

　　由条件当时，

　　

　　又

　　

　　为增函数，

　　令，则

　　又令　

　　得

　　，

　　故为奇函数，

　　，

　　上的值域为

二. 求参数范围

　　这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

　例3　已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。

　　解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，

　　在上是减函数，

　　由得。

　　（1）当时，

　　，不等式不成立。

　　（2）当时，

　　

　　（3）当时，

　　

　　

　　综上所述，所求的取值范围是。

　例4　已知是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。

　　解：

　　对恒成立

　　对恒成立

　　

　　对恒成立，

　　

三. 解不等式

　　这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。

　例5　已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。

　　解：设且

　　则

　　，

　　即，

　　

　　故为增函数，

　　又

　　

　　因此不等式的解集为。

四. 证明某些问题

　例6　设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。

　　分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出（T为非零常数）则为周期函数，且周期为T。

　　证明：

　　 

　　得

　　由（3）得

　　由（3）和（4）得。

　　上式对任意都成立，因此是周期函数，且周期为6。

　例7　已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。

　　证明：对一切有。

　　且，令，得，

　　现设，则，，

　　而

　　

　　，

　　设且，

　　则

　　

　　　　

　　，

　　即为减函数。

五. 综合问题求解

　　抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。

　例8　设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。

　　（1）证明；

　　（2）证明：在R上是增函数；

　　（3）设，

　　，若，求满足的条件。

　　解：（1）令得，

　　或。

　　若，当时，有，这与当时，矛盾，

　　。

　　（2）设，则，由已知得，因为，，若时，，由

　　

　　（3）由得

　　由得　　 （2）

　　从（1）、（2）中消去得，因为

　　，

　　即

　例9　定义在（）上的函数满足（1），对任意都有，

　　（2）当时，有，

　　（1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；

　　（3）求证。

　　分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。

　　解：（1）对条件中的，令，再令可得

　　，所以是奇函数。

　　（2）设，则

　　，

　　，由条件（2）知，从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在（0，1）上仍是单调减函数。

　　（3）

　　

　　

　　

抽象函数问题分类解析

　　我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。

　1. 求定义域

　　这类问题只要紧紧抓住：将函数中的看作一个整体，相当于中的x这一特性，问题就会迎刃而解。

　例1. 函数的定义域为，则函数的定义域是___。

　　分析：因为相当于中的x，所以，解得

或。

　例2. 已知的定义域为，则的定义域是______。

　　分析：因为及均相当于中的x，所以

　　

　　(1)当时，则

　　(2)当时，则

　2. 判断奇偶性

　　根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。

　例3. 已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。

　　分析：在中，令，

　　得

　　令，得

　　于是

　　故是偶函数。

　例4. 若函数与的图象关于原点对称，求证：函数

是偶函数。

　　证明：设图象上任意一点为P（）

　　与的图象关于原点对称，

　　关于原点的对称点在的图象上，

　　

　　又

　　

　　即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。

　3. 判断单调性

　　根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

　例5. 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是

　　A. 增函数且最小值为　　　　　　 B. 增函数且最大值为

　　C. 减函数且最小值为　　　　　　 D. 减函数且最大值为

　　分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。

图1

　 例6. 已知偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

　　分析：如图2所示，易知在上是增函数，证明如下：

　　任取

　　因为在上是减函数，所以。

　　又是偶函数，所以

　　，

　　从而，故在上是增函数。

图2

　4. 探求周期性

　　这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。

　例7. 设函数的定义域为R，且对任意的x，y有

，并存在正实数c，使。试问是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

　　分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：满足题设条件，且，猜测是以2c为周期的周期函数。

　　

　　故是周期函数，2c是它的一个周期。

　5. 求函数值

　　紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

　例8. 已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_______。

　　分析：在条件中，令，得

　　，

　　

　　又令，

　　得，

　　

　例9. 已知是定义在R上的函数，且满足：，

，求的值。

　　分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是

　　，

　　

　　所以

　　故是以8为周期的周期函数，从而

　　

　6. 比较函数值大小

　　利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

　例10. 已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。

　　分析：且，

　　

　　又时，是增函数，

　　

　　是偶函数，

　　

　　故

　7. 讨论方程根的问题

　例11. 已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_______。

　　分析：由知直线是函数图象的对称轴。

　　又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线对称，所以，故。

　8. 讨论不等式的解

　　求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

　例12. 已知函数是定义在上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。

　　分析：由单调性，脱去函数记号，得

　　

　　由题意知(1)(2)两式对一切恒成立，则有

　　

　9. 研究函数的图象

　　这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。

　例13. 若函数是偶函数，则的图象关于直线_______对称。

　　分析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。

　例14. 若函数的图象过点（0，1），则的反函数的图象必过定点______。

　　分析：的图象过点（0，1），从而的图象过点，由原函数与其反函数图象间的关系易知，的反函数的图象必过定点。

　10. 求解析式

　例15. 设函数存在反函数，与的图象关于直线对称，则函数

　　A. 　　　　　　　 B. 　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　D.

　　分析：要求的解析式，实质上就是求图象上任一点的横、纵坐标之间的关系。

　　点关于直线的对称点适合，即。

　　又，

　　

　　即，选B。

抽象函数的周期问题

——由一道高考题引出的几点思考

　　2001年高考数学（文科）第22题：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称。对任意都有。

　　（I）设求；

　　（II）证明是周期函数。

　　解析：（I）解略。

　　（II）证明：依题设关于直线对称

　　故

　　又由是偶函数知

　　

　　

　　将上式中以代换，得

　　

　　这表明是上的周期函数，且2是它的一个周期

　　是偶函数的实质是的图象关于直线对称

　　又的图象关于对称，可得是周期函数

　　且2是它的一个周期

　　由此进行一般化推广，我们得到

　　思考一：设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，证明是周期函数，且是它的一个周期。

　　证明：关于直线对称

　　

　　又由是偶函数知

　　

　　将上式中以代换，得

　　

　　是上的周期函数

　　且是它的一个周期

　　思考二：设是定义在上的函数，其图象关于直线和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。

　　证明：关于直线对称

　　

　　将上式的以代换得

　　

　　

　　是上的周期函数

　　且是它的一个周期

　　若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，还是不是周期函数？经过探索，我们得到

　　思考三：设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数，且4是它的一个周期。，

　　证明：关于对称

　　

　　又由是奇函数知

　　

　　将上式的以代换，得

　　

　　是上的周期函数

　　且4是它的一个周期

　　是奇函数的实质是的图象关于原点（0，0）中心对称，又的图象关于直线对称，可得是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到

　　思考四：设是定义在上的函数，其图象关于点中心对称，且其图象关于直线对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。

　　证明：关于点对称

　　

　　关于直线对称

　　

　　将上式中的以代换，得

　　

　　是上的周期函数

　　且是它的一个周期

　　由上我们发现，定义在上的函数，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则是上的周期函数。进一步我们想到，定义在上的函数，其图象如果有两个对称中心，那么是否为周期函数呢？经过探索，我们得到

　　思考五：设是定义在上的函数，其图象关于点和对称。证明是周期函数，且是它的一个周期。

　　证明：关于对称

　　

　　将上式中的以代换，得

　　

　　是周期函数

　　且是它的一个周期

抽象函数解法例谈

 

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题,

一:函数性质法

函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等.

二:特殊化方法

1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成-x或将x换成等

2在求函数值时,可用特殊值代入

3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法.

总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑无路,柳暗花明又一村的快感.

1．已知函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且f(1)=1

①若t为自然数,(t>0)试求f(t)的表达式

②满足f(t)=t的所有整数t能否构成等差数列?若能求出此数列,若不能说明理由

③若t为自然数且t≥4时, f(t) ≥mt²+(4m+1)t+3m,恒成立,求m的最大值.

2．已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数.　g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R)

求证：①f(x)是R上的增函数

②当nN,n≥3时,f(n)>

解: ①设x₁>x₂

　g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0

　g(x₁) > g(x₂) >0

 g(x₁)+1 > g(x₂)+1 >0

  > >0

  - >0

 f(x₁)- f(x₂)=- =1--(1-)

　　　　　  =->0

　f(x₁) >f(x₂)

　f(x)是R上的增函数

②　　g(x) 满足g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 且g(x)>0

　g(n)=[ g(1)]ⁿ=2ⁿ

　当nN,n≥3时, 2ⁿ>n

f(n)=＝1-　，＝1-

　2ⁿ＝（1+1）ⁿ＝1+n+…++…+n+1>2n+1

　2ⁿ+1>2n+2

<,即1->1-

当nN,n≥3时,f(n)>

3．设f₁(x) f₂(x)是(0,+∞)上的函数,且f₁(x)单增,设

f(x)= f₁(x) +f₂(x) ,且对于(0,+∞)上的任意两相异实数x₁, x₂

恒有 f₁(x₁)－ f₁(x₂) > f₂(x₁)－ f₂(x₂)

①求证：f (x)在(0,+∞)上单增.

②设F(x)=x f (x), a>0、b>0.

求证：F(a+b)> F(a)+F(b) .

①证明:设 x₁>x₂>0

f₁(x) 在(0,+∞)上单增

f₁(x₁)－ f₁(x₂)>0

f₁(x₁)－ f₁(x₂)= f₁(x₁)－ f₁(x₂)>0

f₁(x₁)－ f₁(x₂) > f₂(x₁)－ f₂(x₂)

f₁(x₂)- f₁(x₁)<f₂(x₁)－ f₂(x₂)< f₁(x₁)－ f₁(x₂)

f₁(x₁)+f₂(x₁)> f₁(x₂)+ f₂(x₂)

f(x₁)> f(x₂)

f (x)在(0,+∞)上单增

②F(x)=x f (x), a>0、b>0

a+b>a>0,a+b>b>0

F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b)

f (x)在(0,+∞)上单增

F(a+b)>af(a)+bf(b)= F(a)+F(b)

4．函数y＝f(x)满足

①f(a+b)＝f (a)·f (b)，②f(4)＝16, m、n为互质整数，n≠0

求f()的值

f(0) =f(0+0)=f(0) ·f(0)=f²(0)

f(0) =0或1.若f(0)=0则f(4)=16=f(0+4)=f(0) ·f(4)=0.(矛盾)

f(1)=1

f(4)=f(2) ·f(2)=f(1) ·f(1) ·f(1) ·f(1)=16

f(1)=f²()≥0

f(1)=2.仿此可证得f(a)≥0.即y=f(x)是非负函数.

f(0)=f(a+(-a))=f(a) ·f(-a)

f(-a)=

n∈N^*时f(n)=fⁿ(1)=2ⁿ,f(-n)=2^-n

f(1)=f(++…+)=fⁿ()=2

f()=

f()=[f()]^m=

5．定义在（-1，1）上的函数f (x)满足

①　　任意x、y∈（-1，1）都有f(x)+ f(y)＝f ()，②x∈（-1，0）时，

有f(x) >0

1)　　　判定f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由

2)　　　判定f(x)在（-1，0）上的单调性，并给出证明

3)　　　求证：f ()＝f ()－f ()

或f ()+f ()+…+f ()> f ()　 (n∈N^*)

 解:1) 定义在（-1，1）上的函数f (x)满足任意x、y∈（-1，1）

都有f(x)+ f(y)＝f (),则当y=0时, f(x)+ f(0)＝f(x)

　　　 f(0)=0

　　　   当-x=y时, f(x)+ f(-x)＝f(0)

f(x)是（-1，1）上的奇函数

2) 设0>x₁>x₂>-1

f(x₁)-f(x₂)= f(x₁)+ f(-x₂)=

0>x₁>x₂>-1 ,x∈（-1，0）时，

有f(x) >0,1-x₁ x₂>0, x₁-x₂>0

>0

即f(x)在（-1，0）上单调递增.

3) f ()=f()

=f( )=f()

=f()-f()

f ()+f ()+…+f ()

=f()-f()+f()-f()+f()+…+f()-f()

= f() -f()=f()+f(-)

x∈（-1，0）时，有f(x) >0

f(-)>0, f()+f(-)>f()

即f ()+f ()+…+f ()> f ()

1)　　　　

6．设 f (x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称, 对任意x₁、x₂[0,]都有f (x₁+ x₂)＝f(x₁) ·f(x₂), 且f(1)=a>0.

①求f ()及 f ();

②证明f(x)是周期函数

③记a_n=f(2n+), 求(lna_n)

解: ①由f (x)= f ( + )=[f(x)]²0,f(x)

a= f(1)=f(2n· )=f(++…+)＝[f ()]²

解得f ()=

 f ()=,f ()=.

② f(x)是偶函数,其图像关于直线x=1对称,

　f(x)=f(-x),f(1+x)=f(1-x).

　f(x+2)=f[1+(1+x)]= f[1-(1+x)]= f(x)=f(-x).

f(x)是以2为周期的周期函数.

③ a_n=f(2n+)= f ()=

(lna_n)= =0

7．设是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意x、y∈R都有

f(x+y)＝f(x)f(y)

①求f(0)，

②设当x<0时，都有f(x)>f(0)证明当x>0时0<f(x)<1,

③设a₁=,a_n=f(n)（n∈N^* ），s_n为数列｛a_n｝前n项和，求s_n.

解：①②仿前几例，略。

③a_n＝f(n)，

 a₁＝f(1)＝

a_n+1＝f(n+1)=f(n)f(1)＝a_n

数列｛a_n｝是首项为公比为的等比数列

s_n＝1-

 s_n＝1

8．设是定义在区间上的函数，且满足条件：

　 （i）

　 （ii）对任意的

　 （Ⅰ）证明：对任意的

　 （Ⅱ）证明：对任意的

　 （Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得

　　　　 　

若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.

（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当时，有

即

（Ⅱ）证法一：对任意的

当不妨设则

所以，

综上可知，对任意的都有

证法二：由（Ⅰ）可得，当 所以，当因此，对任意的

当时，当时，有

且

所以

综上可知，对任意的都有

（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.

　　 理由如下，假设存在函数满足条件，则由

　 得　又所以①

　 又因为为奇数，所以由条件

得 ②  ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.

练习:

1. 函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)＝f(x)+ f(y)-1，且x>0时，f(x) >1

①求证f(x)是R上的增函数

②若f(4)＝5，解不等式f(3x²-x-2)<3

2.f(x)是R上的函数, 对任意的实数x₁、x₂都满足f(x₁+ x₂)＝f(x₁)+ f(x₂), 当x>0时，f(x) >0且f(2)=3

①试判断f(x)的奇偶性和单调性

②当θ∈[0,]时, f(cos2θ－3)+ f(4m－2mcosθ)对所有的θ均成立,求n₁实数的取值范围

3.f (n)是定义在N上且取值为整数的严格单增函数，m、n互质时f(m·n)＝f (m)·f (n)

若f(19)＝19，求f(f(19) ·f(98))的值

4. f (x)定义域为R，对任意x₁、x₂ R都有f (x₁+ x₂)＝f(x₁)+ f(x₂)， 且x>0时，f(x) <0、f(1)＝-2

①试判断f (x)的奇偶性

②试判断在[-3，3]上，f (x)是否有最大值或最小值？如果有求之，如果没有，说明理由　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

③解关于x的不等式 f（bx²）－f(x)> f（b²x）－f（b）（b²≠2）

5.f (x)定义域为R，对任意实数m、n都有f(m+n)＝f (m)·f (n)，且当x>0时，0< f (x) <1

①求f (0)证明x<0时 f (x) >1.

②证明f(x)在R上单减，并举出一个满足①②的函数f(x)

②　　设A＝，B＝，若A∩B＝求a取值范围

6.定义在（0，+∞）上的函数f (x)满足

①对于任意正数x、y都有f (x·y)＝f(x)+ f(y)， ②f (2)＝p－1，③x>1时总有f(x)<p

2)　　　求f (1)及f ()的值（写成关于p的表达式）

3)　　　求证：f (x)在（0，+∞）上是减函数

设a_n＝ f (2ⁿ)（n N^*），数列的前项和为S_n ，当且仅当n＝5时S_n取得最大值，求p的取值范围