第一章 复习集合与简易逻辑
一、 本讲进度
《集合与简易逻辑》复习
二、 复习要求
1、理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；
2、掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法；
3、理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；
4、理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；
5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。
三、 学习指导
1、集合的概念：
（1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；
（2）集合的分类：
①按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。如数集{yy=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；
（3）集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。
2、两类关系：
（1）元素与集合的关系，用
或
表示；
（2）集合与集合的关系，用
，
，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。
3、集合运算
（1）交，并，补，定义：A∩B={xx∈A且x∈B}，A∪B={xx∈A，或x∈B}，CUA=｛xx∈U，且xA｝，集合U表
示全集；
（2）运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB），
CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。
4、命题：
（1）命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；
（2）复合命题的形式：p且q，p或q，非p；
（3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。
（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。
5、充分条件与必要条件
（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；
（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件；
（3）当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。
6、反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。
7、集合概念及其基本理论是近代数学最基本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。
四、典型例题
例1、已知集合M={yy=x2+1，x∈R}，N={yy=x+1，x∈R}，求M∩N。
解题思路分析：
在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={yy=x2+1，x∈R}={yy≥1}，N={yy=x+1，x∈R}={yy∈R}
∴ M∩N=M={yy≥1}
说明：实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{yy=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{yy≥1}={xx≥1}。
例2、已知集合A={xx2-3x+2=0}，B+{xx2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。
解题思路分析：
化简条件得A={1，2}，A∩B=B
BA
根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2}
当B=φ时，△=m2-8<0
∴
当B={1}或{2}时，
，m无解
当B={1，2}时，
∴ m=3
综上所述，m=3或
说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。
例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。
解题思路分析：
假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾
∴ 假设不成立
∴ x、y中至少有一个大于1
说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。
例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。
解题思路分析：
利用“
”、“”符号分析各命题之间的关系
DCBA
∴ DA，D是A的充分不必要条件
说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。
例5、求直线：ax-y+b=0经过两直线1：2x-2y-3=0和2：3x-5y+1=0交点的充要条件。
解题思路分析：
从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。
由
得1，2交点P（
）
∵ 过点P
∴
∴ 17a+4b=11
充分性：设a，b满足17a+4b=11
∴
代入方程：
整理得：
此方程表明，直线恒过两直线
的交点（）
而此点为1与2的交点
∴ 充分性得证
∴ 综上所述，命题为真
说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。
五、同步练习
（一） 选择题
1、设M={xx2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是
A、{a}=M B、M
{a} C、{a}
M D、M
{a}
2、已知全集U=R，A={xx-a<2}，B={xx-1≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是
A、 [0，2] B、（-2，2） C、（0，2] D、（0，2）
3、已知集合M={xx=a2-3a+2，a∈R}，N、{xx=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是
A、 MN B、MN
C、M=N
D、不确定
4、设集合A={xx∈Z且-10≤x≤-1}，B={xx∈Z，且x≤5}，则A∪B中的元素个数是
A、11 B、10 C、16 D、15
5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是
A、15 B、16 C、31 D、32
6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是
A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真 C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真
7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
8、集合A={xx=3k-2，k∈Z}，B={yy=3+1，∈Z}，S={yy=6m+1，m∈Z}之间的关系是
A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A
9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是
A、0<m≤1或m<0 B、0<m≤1 C、m<1 D、m≤1
10、已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，则p是q的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C.充要条件 D、既不充分又不必要条件
（二） 填空题
11、已知M={
}，N={x
，则M∩N=__________。
12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。
13、关于x的方程x-x-1=a有解的充要条件是________________。
14、命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。
15、非空集合p满足下列两个条件：（1）p{1，2，3，4，5}，（2）若元素a∈p，则6-a∈p，则集合p个数是__________。
（三） 解答题
16、设集合A={(x，y)y=ax+1}，B={(x，y)y=x}，若A∩B是单元素集合，求a取值范围。
17、已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点M（0，3），N（3，0），求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。
18、设A={xx2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。
19、已知
，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。
参考答案
（一） 选择题
1、C 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、D 10、A
（二） 填空题
11、φ 12、25，60 13、-1≤a≤1 14、若a、b均不为0，则ab≠0 15、7
（三） 解答题
16、a≥1或a≤-1，提示：画图
17、
3＜m≤
18、
，或
，或