排列组合、二项式定理与概率
选择题
1.（全国卷Ⅱ）
的展开式中
项的系数是(A )
(A) 840 (B)
(C)
210 (D)
2.（全国卷Ⅲ）在(x−1)(x+1)8的展开式中x5的系数是(B)
（A）−14 （B）14 （C）−28 （D）28
3.（北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为(A )
（A）
（B）
（C）
（D）
4.（北京卷）五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有(B)
（A）
种 （B）
种 （C）
种 （D）
种
5.（天津卷）某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为( B)
A．
B．
C．
D．
6.（天津卷）某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ A
A．
B．
C．
D．
7.（福建卷）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ B ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
8.（广东卷）先后抛掷两枚均匀的正方体股子（它们的六个面分别标有点数１、２、３、４、５、６），股子朝上的面的点数分别为，则的概率为(C)
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
9．（湖北卷）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是 （ D ）
A．168 B．96 C．72 D．144
10．（湖北卷）以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为 （A）
A．
B．
C．
D．
11.（湖南卷）4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（B ）
A．48 B．36 C．24 D．18
12.（江苏卷）设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中xk的系数不可能是( C)
( A ) 10 ( B ) 40 ( C ) 50 ( D )80
13.（江苏卷）四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( B)
（A）96 （B）48 （C）24 （D）0
14．（江西卷）
的展开式中，含x的正整数次幂的项共有 （ B ）
A．4项 B．3项 C．2项 D．1项
15.（江西卷）将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ A ）
A．70 B．140 C．280 D．840
16.（江西卷）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ A）
A．
B．
C．
D．
17.（辽宁卷）设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ D ）
A．
B．
C．
D．
18.（浙江卷）在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是( C )
(A) －5 (B) 5 (C) －10 (D) 10
19.(山东)如果
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
的系数是（C ）
（A）7
（B）
（C）21
（D）
20. (山东)10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
21.(重庆卷)8. 若
展开式中含
项的系数与含
项的系数之比为-5，则n等于( B )
(A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 10。
22. (重庆卷)在(1+2x)n展开式中含x3的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于( A)
(A) 5； (B) 7； (C) 9； (D) 11。
填空题：
1.（全国卷Ⅰ）
的展开式中，常数项为672
。（用数字作答）
2.(全国卷Ⅰ)
的展开式中，常数项为 70
。（用数字作答）
3.(全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 100 种。
4.（全国卷Ⅱ）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 192 个.
5.（全国卷Ⅲ）
设
为平面上过点
的直线，的斜率等可能地取
，用
表示坐标原点到的距离，则随机变量的数学期望
。
6.（北京卷）
的展开式中的常数项是 15 （用数字作答）
7.（上海卷）某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的慨率是 
．(结果用分数表示)
8.（上海卷）在
的展开式中，
的系数是15，则实数
=-
__________。
9.（天津卷）二项式（
－
）10的展开式中常数项为__210___________（用数字作答）。
10.（天津卷）设
,则
（11）（天津卷）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
| 投资成功 | 投资失败 |
| 192次 | 8次 |
则该公司一年后估计可获收益的期望是4760___________（元）
12．（福建卷）（
展开式中的常数项是
240 （用数字作答）.
13（广东卷）已知
的展开式中
的系数与
的展开式中
的系数相等，则
＝________
_____．
14．（湖北卷）
的展开式中整理后的常数项等于38 .
15．（湖南卷）一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 5600 件产品.
16．（湖南卷）在（1＋x）＋（1＋x）2＋……＋（1＋x）6的展开式中，x 2项的系数是35 .（用数字作答）
17．（辽宁卷）
的展开式中常数项是－160 .
18．（辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有 576 个.（用数字作答）
19．（浙江卷）从集合{ P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_5832________．(用数字作答)．
20．（浙江卷）从集合{O，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任限2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O，Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是__8424_______．(用数字作答)．
21. (重庆卷)若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为_______
___。
解答题：
1.(全国卷Ⅰ)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为
，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（Ⅲ）求有坑需要补种的概率。
（精确到
）
（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为
，所以甲坑不需要补种的概率为 
（Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 
（Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为
，
所以有坑需要补种的概率为 
解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为
恰有2个坑需要补种的概率为 
3个坑都需要补种的概率为 
2.(全国卷Ⅰ)9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望。（精确到）
20．本小题主要考查相互独立事件和互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 满分12分.
（Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为
所以甲坑不需要补种的概率为 
3个坑都不需要补种的概率
恰有1个坑需要补种的概率为
恰有2个坑需要补种的概率为
3个坑都需要补种的概率为
补种费用的分布为
|
| 0 | 10 | 20 | 30 |
| P | 0.670 | 0.287 | 0.041 | 0.002 |
的数学期望为
3.（全国卷Ⅱ）（本小题满分12分）
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4
比赛三局结束有两种情况，甲队胜3局或乙队胜3局，因而
=0.28
比赛4局结束有两种情况：前3局甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，因而
比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局，乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜，因而，
所以的概率分布表如下
| | 3 | 4 | 5 |
| | 0.28 | 0.3744 | 0.3456 |
所以的数学期望是E=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=4.0656
4.（全国卷Ⅱ）)
甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：
(Ⅰ) 前三局比赛甲队领先的概率；
(Ⅱ) 本场比赛乙队以
取胜的概率．
(精确到0.001)
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4
(I)记“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B，则
∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=0.648
(II)若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜。
所以，所求事件的概率为
5.（全国卷Ⅲ）
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分
则A、B、C相互独立，
由题意得：
P（AB）=P（A）P（B）=0.05
P（AC）=P（A）P（C）=0.1
P（BC）=P（B）P（C）=0.125…………………………………………………………4分
解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5
所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴
相互独立，……………………………………7分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
……………………………10分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为
……12分
6.（北京卷）（I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；
（II）求乙至多击中目标2次的概率；
（III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
（17）（共13分）
解：（I）P(ξ＝0)＝
，P(ξ＝1)＝
，P(ξ＝2)＝
，
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
P(ξ＝3)＝
，
ξ的概率分布如下表：
Eξ＝
, （或Eξ=3·=1.5）；
（II）乙至多击中目标2次的概率为1－
=
；
（III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则A＝B1＋B2，
B1，B2为互斥事件．
所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为
.
7（北京卷）甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率
，
（I）甲恰好击中目标的2次的概率；
（II）乙至少击中目标2次的概率；
（III）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率．
（18）（共13分）
解：（I）甲恰好击中目标的2次的概率为
（II）乙至少击中目标2次的概率为
；
（III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件．
=
.
所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.
8．（福建卷）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.
解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则
∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为
答：甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为
（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为
∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率
答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为
9.（福建卷）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为，投中得1分，投不中得0分.
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；
解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则
甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| P |
|
|
|
Eξ=0×+1×+2×
=
答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为.
（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为
∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率
答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为
10.（广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为ｓ：ｔ．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次．以表示取球结束时已取到白球的次数．
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）求的数学期望．
解：(I)ξ的可能取值为：0,1,2,…,n
ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | … | n-1 | n |
| p |
|
|
| … |
|
|
(II) 的数学希望为
…(1)
…(2)
(1) －(2)得
11．（湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.
解：（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为
需要更换2只灯泡的概率为
（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)，故所求的概率为
（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为
（1-p），故至少换4只灯泡的概率为
12.（湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.
解：的取值分别为1，2，3，4.
，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（）=0.6.
，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故
∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 0.6 | 0.28 | 0.096 | 0.024 |
∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976.
13.（湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞
上单调递增”为事件A，求事件A的概率.
解：（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A1，A2，A3. 由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，
P（A3）=0.6.
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取
值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3.
P（=3）=P（A1·A2·A3）+ P（
）
= P（A1）P（A2）P（A3）+P（
）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
|
=1）=1－0.24=0.76.
所以的分布列为
E=1×0.76+3×0.24=1.48.
（Ⅱ）解法一 因为
所以函数
上单调递增，
要使
上单调递增，当且仅当
从而
解法二：的可能取值为1，3.
当=1时，函数
上单调递增，
当=3时，函数
上不单调递增.0
所以
14.（江苏卷）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和
.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;
(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
20、（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件
为“4次均击中目标”，则
（2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则
（3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。
故
15.（江西卷）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求的取值范围；
（2）求的数学期望E.
解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则
，可得：
（2）
16.（江西卷）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.
解：（1）设表示游戏终止时掷硬币的次数，
设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则
，可得：
17．（辽宁卷）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，
最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示）
（Ⅰ）解：
…………2分
（Ⅱ）解：随机变量、
的分别列是
…………6分
（Ⅲ）解：由题设知
目标函数为 
……8分
作出可行域（如图）：
作直线
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上
的点M点与原点距离最大，此时
…………10分
取最大值. 解方程组
得
即
时，z取最大值，z的最大值为25.2 .……………12分
18．（浙江卷）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是
，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次．(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是
，求p的值．
解: (I)（i） 
（ii）
＝
（II）设袋子Ａ中有
个球，则袋子Ｂ中有2个球
由
得
19．（浙江卷）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p．
(Ⅰ) 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E．
(Ⅱ) 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值．
解：（I） (i) 
(ii) 随机变量的取值为0, 1, 2, 3.
由n次独立重复试验概率公式
得
随机变量的分布列是
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
|
的数学期望是
（II） 设袋子A有m个球，则袋子B中有2m个球。
由
得
20．（湖南卷）
某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；
（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.
20．解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34.由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等.
（I）3个景区都有部门选择可能出现的结果数为
（从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有
种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法），记“3个景区都有部门选择”为事件A1，那么事件A1的概率为
P（A1）=
（II）解法一：分别记“恰有2个景区有部门选择”和“4个部门都选择同一个景区”为事件A2和A3，则事件A3的概率为P（A3）=
，事件A2的概率为
P（A2）=1－P（A1）－P（A3）=
解法二：恰有2个景区有部门选择可能的结果为
（先从3个景区任意选定2个，共有
种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有
种不同选法.第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有
种不同选法）.所以P（A2）=
21.(山东)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为
现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.
（I）求袋中所有的白球的个数；
（II）求随机变量的概率分布；
（III）求甲取到白球的概率.
解:(I)设袋中原有
个白球,由题意知
可得
或
(舍去)即袋中原有3个白球.
(II)由题意,的可能取值为1,2,3,4,5
所以的分布列为:
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
|
|
|
|
(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件
,则
22. (重庆卷)
在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张券中任抽2张，求：
(1) 该顾客中奖的概率；
(2) 该顾客获得的奖品总价值x (元)的概率分布列和期望Ex。
18．（本小题13分）
解法一：
（Ⅰ）
，即该顾客中奖的概率为.
（Ⅱ）的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.且
故有分布列：
|
| 0 | 10 | 20 | 50 | 60 |
| P |
|
|
|
|
|
从而期望
解法二：
（Ⅰ）
（Ⅱ）的分布列求法同解法一
由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值
=2×8=16（元）.
23. (重庆卷)
加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为、
、
，且各道工序互不影响。
(1) 求该种零件的合格率；
(2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。
18．（本小题13分）
（Ⅰ）解：
；
（Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为
，由独立重复试验的概率公式得：
恰好取到一件合格品的概率为 
，
至少取到一件合格品的概率为 
解法二：
恰好取到一件合格品的概率为，
至少取到一件合格品的概率为 