函数与方程专题
一、高考大纲剖析：
2005年高考大纲数学学科的主体内容没有变化，与去年的考纲相比：
在能力要求部分比去年增加了对“四能力、一创新”的界定，比如究竟什么是运算能力等，过去的大纲未做过详细表述.考纲指出“运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似的计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”. 中心思想是要求考生能够“在运算当中，寻找解题的方法”，加大了对学生运算能力考查的要求.
在考试内容部分比去年删减了两处知识点：“能利用计算器解决解三角形的计算问题”，以及“了解多面体的欧拉公式”；在考试要求部分也有不少细微的变动，比如对“三垂线定理及其逆定理”的考查，由“了解”改成了“掌握”， 增加了“理解直线的倾斜角的概念”等等.《函数》这一章调整了一个知识点，把“函数的奇偶性”从下一章《三角函数》调了过来；改动了一个知识点，把“函数的应用举例”改成了“函数的应用”；增加了“了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法” 的考试要求，对函数的意义、性质及综合应用的考查要求有了明显的提高.
在试卷结构部分第一次取消了选择题、填空题、解答题三种题型分值比例的限制，删去了容易题、中等题和难题的比例和这三类难度题的界定.而去年明确给出了“选择题40%、填空题10%、解答题50%”、“难度在0．7以上的是容易题，难度在0．4~0．7的试题为中等题，难度在0．4以下的为难题.三种试题的难度的比为3：5：2” ，这一改变为命题者对试卷难度的控制提供了较大的空间.这里还需要留意的是，考纲指出“试卷由容易题、中等题和难题组成，总体难度适当，并以中等题为主”， 去掉了去年 “以容易题和中档题为主”这句话中“容易题”这3个字，试卷整体难度预计会有所提高.
二、高考试题研究：
纵观近几年的新课程高考卷以及2004、2003年的江苏卷，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.
(2004年，江苏卷8)若函数
的图象过两点
(-1，0)和(0，1)，则
（A）a=2,b=2 （B）a=,b=2 （C）a=2,b=1 （D）a=,b=
(2003年，江苏卷6)函数
的反函数为
（A）
（B）
（C）
（D）
(2004年，江苏卷11)设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于
（A）3 （B） （C） （D）
(2003年，江苏卷9)已知方程
的四个根组成一个首项为
的等差数列，则 m－n=
（A）1 （B）
（C）
（D）
(2004年，江苏卷13)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 6 | 0 | -4 | -6 | -6 | -4 | 0 | 6 |
则不等式ax2+bx+c>0的解集是_______________________.
(2003年，江苏卷4)设函数
则x0的取值范围是
（A）（－1，1） （B）（－1，+∞）
（C）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D）（－∞，－1）∪（1，+∞）
(2004年，江苏卷12)设函数
，区间M=[a，b](a<b)，集合N={
}，则使M=N成立的实数对(a，b)有
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无数多个
(2003年，江苏卷1)如果函数
的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为
(2004年，江苏卷22)已知函数
满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 
和
，其中
是大于0的常数.
设实数a0，a，b满足
和
（Ⅰ）证明
，并且不存在
，使得
；
（Ⅱ）证明
；
（Ⅲ）证明
.
(2003年，江苏卷22) 设
如图，已知直线
及曲线C：
，C上的点Q1的横坐标为
（
）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线
于点
，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.
Qn （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列
（Ⅰ）试求
的关系，并求
的通项公式；
（Ⅱ）当
时，证明
；
（Ⅲ）当a=1时，证明
三、高考命题展望：
由于函数在高中数学中具有举足轻重的地位，它仍将是2005年高考的一个热点.对函数试题的设计依然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图像、应用考查函数知识；与方程、不等式、解几等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查.
1. 函数的奇偶性. 因为函数的奇偶性蕴涵着对称、变换、化归等丰富的数学知识和方法，今年考纲中新增加了“掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法”这一考试要求，故而与函数的奇偶性有关的函数性质综合题应予以足够的关注.
例1.设
为奇函数，
则
例2.已知定义域为
的函数
是偶函数，并且在
上是增函数，若
，则
的解集是
例3.函数的定义域为
且
为奇函数，当
时，
则当
时，的单调减区间为
例4. 已知函数是奇函数，当
时，
，设的反函数是
，则
例5.如果函数
对任意实数
，都有
，则
2.复合函数. 函数试题的设计始终围绕着几个基本初等函数，并通过这几个函数之间的串联、组合成为复合函数，达到对函数知识、方法和思想的深刻考查.因而对复合函数类问题，要掌握换元、分解、整体代入等方法，找到其母函数，从而化归为基本初等函数问题加以解决.
例6.若
，要使
有意义，实数
的取值范围是
例7.若函数
的图象可由函数
的图象绕坐标原点
逆时针旋转
得到,则
例8.已知
，、
为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是
(A)
(B)
(C)
(D)
例9.已知
则不等式
≤5的解集是
.
例10.已知函数
，有下列命题：①
时，
只有一个实数根②
时，
是奇函数③的图象关于点
对称④方程至多有3个实数根，则正确的命题的序号为
3.抽象函数.抽象函数问题是近几年高考中函数类问题的一个新的热点，由于具体函数与抽象函数之间是特殊化与一般化的关系，因而抽象函数问题的解决方法更加灵活多样，既可以采用特殊化方法，又可以回归函数的各种性质，有利于考查学生的抽象思维能力，故而应引起我们的高度重视.
例11.已知
的解析式可取为
（A）
（B）
（C）
（D）
例12. 若和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程
有实数解，则
不可能是
（A）
（B）
（C）
（D）
例13.给出四个函数，分别满足：
①
②
③
④ 
 |
又给出四个函数的图像，则正确的匹配方案是
（A）①-a ②-b ③-c ④-d （B）①-b ②-c ③-a ④-d
（C）①-c ②-a ③-b ④-d （D）①-d ②-a ③-b ④-c
例14.已知的定义域为
,若
与
互为反函数且
(为非零常数),则
=
例15. 函数的定义域为，对于任意实数
、
，有：
且
（1）求证：
（2）若
，
，证明：在
递减
4.数学思想.数学思想能从整体上深层次认识数学的实质，对数学知识、数学方法的运用起到导向作用.对数学思想的教学在新授课和第一轮复习中通常处在“隐含、渗透”阶段，在第二轮复习中就应提升到“介绍、运用”阶段，应更加明确，更加系统，这是一个从模糊到清晰的质的飞跃。函数一章包含了考纲中明确考查的四种数学思想方法，即函数方程思想、分类讨论思想、数形结合思想和等价转化思想等，我们应努力使其成为学生解决函数问题的自觉的行动指南.
例16. 若方程
无解，则
例17. 定义在R上的奇函数
为任意正实数，且
若
时，恒有
成立，则下列关系式中正确的是
以上都不正确
例18. 
对一切大于1的正整数
都成立, 
则
例19.实数
满足：
，
，
则
=
例20. 已知
在区间[－1，1]上是增函数.
（1）求实数的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程
的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式
对任意
及
恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
四、高考复习建议：
通过对近几年的新课程高考卷以及2004、2003年的江苏卷中函数类试题的研究，特提出复习建议如下：
1、重视对函数图像和性质的再现.要引导学生回归基础，多问问自己：函数的性质主要有哪些？具体的函数（二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）又有哪些性质呢？这些基本初等函数的图像清楚吗？图像的变换（平移、对称等）方法都掌握了吗？等等.
2.重视函数定义域在解决函数性质时的作用.在讨论函数的奇偶性、单调性时，在求函数的值域或最值时，在求函数的解析式或变形时，都不能丢掉函数的灵魂“定义域”.有些问题中定义域比较隐蔽，要引导学生学会认真审题，把隐含条件挖掘出来，在解有关函数应用题时还要结合实际意义去考虑.
3.解答函数类客观型试题时，要重视数形结合思想方法的应用.应用数形结合思想，就是充分考察问题的条件和结论之间的内在联系，即分析其代数意义又揭示其几何意义，借助于函数的图像，就可以直观地、快速地寻找解题思路，使问题得到解决.这就要求学生能熟练地掌握基本初等函数的图像特征.
4.重视函数与导数的结合.利用导数判定一些函数的单调性、求函数的极值和最值，这是研究函数性质的强有力的工具，并且具有普遍的适用性，也是新课程高考卷的一个热点内容.这就要求我们在复习中高度重视，尤其要加强对三次函数性质的探讨，因为三次函数求导后又与传统的重点内容二次函数相互联系.