高考数学总复习第六讲：解析几何
高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化.
一、圆锥曲线的几类基本习题
一. 弦的中点问题
具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为
，
，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
例1 给定双曲线
。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点
及
，求线段的中点P的轨迹方程。
分析：设
，
代入方程得
，
。
两式相减得
。
又设中点P（x,y），将
，
代入，当
时得
。
又
，
代入得
。
当弦
斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是
。
例2 已知椭圆
，通过点（1，1）引一弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程。
略解：有
，代入得
0，得
。
从而直线方程是
。
此题将椭圆变为双曲线、抛物线都是同一方法。
二. 焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点
、
构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
例3 设P(x,y)为椭圆
上任一点，
，
为焦点，
，
。
（1）求证离心率
；
（2）求
的值；
（3）求
的最值。
分析：（1）设
，
，由正弦定理得
。
得 
，
。
（2）
，采用合分比定理得
，
。
（3）
。
当
时，最小值是
；
当
时，最大值是
。
三. 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。
例4 已知椭圆C的方程
，试确定m的取值范围，使得对于直线
，椭圆C上有不同两点关于直线对称。
分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得
。
又
，
，
，代入得
。
又由
解得交点
。
交点在椭圆内，则有
。
得
。
例5 为了使抛物线
上存在两点关于直线
对称，求m的取值范围。
略解：两点所在直线
与联立求出交点
，代入抛物线内，有
，解得
。
四. 两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用
来处理。
例6 已知直线
的斜率为
，且过点
，抛物线
，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。
（1）求的取值范围；
（2）直线的倾斜角
为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
分析：（1）直线
代入抛物线方程得
，
由
，得
。
（2）由上面方程得
，
，焦点为
。
由
，得
，
或
。
例7 经过坐标原点的直线与椭圆
相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。
分析：左焦点F(1,0)， 直线y=kx代入椭圆得
，
，
。
由AF
知
。将上述三式代入得
，
或
。
二、直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的有关最值问题
基本知识点：
（1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。
（2）注意韦达定理的应用。
弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则
（3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。
（4）有关中点弦问题
<1>已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。
<2>有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。
（5）有关圆锥曲线的对称问题
这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标轴对称，关于点对称，关于直线y=±x+b对称。
（6）圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
【例题选讲】
例1. 已知抛物线y2=2px(p>0)。过动点M（a，0）且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B
（2）若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N，试求三角形MNQ的面积。
解：
（2）设Q(x3，y3)由中点坐标公式得
又三角形MNQ为等腰直角三角形
例2. 
线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率。（2000年，全国高考）
解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。
h是梯形的高。
由定比分点坐标公式，得点E的坐标为
由点C、E在双曲线上，得
小结：此题涉及解析几何的最根本问题：如何建立坐标系，这也是对学生基本能力的考查，坐标系是一种工具，如果用得好，可以给解题带来方便，但考试时我们不可能对各种情况进行讨论，一般而言，可从对称的角度去考虑。
例3. 
（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。
值范围。（1997年·上海高考）
（1）证明：抛物线的准线为
由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得
故直线与抛物线总有两个交点。
（2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)
（3）解：
例4. 
（1）求椭圆方程；
（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线
平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。
（1）解：
把(2)代入(1)式中得：
例5. 
点，若以M(2，1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4，-1)，且椭圆的离心率e与双曲线离心率e1之间满足ee1=1，
（1）求椭圆E的离心率e；
（2）求双曲线C的方程。
解：（1）因为点M(2，1)，点N(4，-1)
（2）因为ee1=1
设双曲线C上一点P(x，y)
化简得双曲线C的方程：
例6. 已知抛物线y2=x上有一条长为l的动弦AB，求AB的中点M到y轴的最短距离。
解：设中点M的坐标为（x，y），利用对称性可设A(x+u，y+v)，B(x-u，y-v)，依题意有
将（4）（5）代入（3）得：
此即M点的方程
三、解析几何中减少计算量的常用方法
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。
一. 充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
例1. 已知直线
及
，求它们所围成的三角形的外接圆方程。
解：由直线
与
的斜率分别为
和
，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。
由
及
，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为
。所求三角形的外接圆，即为以A（2，2）和B（8，8）为直径端点的圆，其方程为
评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。
例2. 已知点P（5，0）和圆O：
，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。
解：
点M是弦AB中点，
点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为
，半径为
，所以其方程为
，即
。同时，点M又在圆的内部，
，即
，所以所求的轨迹方程为
评注：此题若不能挖掘利用几何条件
，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。
例3. 求与
轴相切，圆心在直线
上，且被直线
截得的弦长等于
的圆的方程。
解：因圆心在直线上，故可设圆心
又圆与轴相切，
，
此时可设圆方程为
（运用已知条件，找出
间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。）
又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用
表示出来，便可利用勾股定理求得。
弦心距
，解得
当
时，
，圆方程为
当
时，
，圆方程为
评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。
例4. 设直线
与圆
相交于P、Q两点，O为坐标原点，若
，求
的值。
解： 圆过原点，并且，
是圆的直径，圆心的坐标为
又在直线上，
即为所求。
评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设
再由和韦达定理求，将会增大运算量。
二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
例5. 已知中心在原点O，焦点在
轴上的椭圆与直线
相交于P、Q两点，且，
，求此椭圆方程。
解：设椭圆方程为
，直线与椭圆相交于P
、
两点。
由方程组
消去后得
由
，得
（1）
又P、Q在直线上，
把（1）代入，得
，
即
化简后，得
（4）
由，得
把（2）代入，得
，解得
或
代入（4）后，解得
或
由
，得
。
所求椭圆方程为
评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。
例6. 若双曲线方程为
，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为
，则
解：设A（
），B（
）则M（
）
又A、B分别在上，则有
由
得
，
即
，
评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，简化了计算。
三. 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
例7. 求经过两已知圆
和
0的交点，且圆心在直线：
上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
即
，
其圆心为C（
）
又C在直线上，
，解得
，代入所设圆的方程得
为所求。
评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。
四、线段长的几种简便计算方法
近几年的高考数学试题，都有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，而在解析几何题中，又着重体现在求线段的长。若求线段长的计算方法不当，就会大大增加运算量，直接影响高考成绩。经笔者多年摸索，找到几种计算线段长的简便方法，写出来，供大家参考。
一. 充分利用现成结果，减少运算过程
一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：
把直线方程
代入圆锥曲线方程中，得到型如
的方程，方程的两根设为
，
，判别式为△，则
。记住了结果 ，在计算中，直接代
，就能减少配方、开方等运算过程。
例1 求直线
被椭圆
所截得的线段AB的长。
解：把代入椭圆方程得到
。
，
则
。
二. 结合图形的特殊位置关系，减少运算
1. 求直线与圆的相交弦
因圆比较特殊，故求弦长不采用方法一，可用下面的方法，使运算简单。
设直线方程为
，圆的方程为
，圆心为
，直线与圆相交于A、B，圆心到直线的距离为
，则
。
例2 求圆
截得直线
的线段长。
解：由原方程得
，圆心为（-1，-2），则
，从而截得线段长
。
2. 求过圆锥曲线焦点的弦
圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。
例3 如图1，、是椭圆
的两个焦点，AB是经过的弦，若
，则
_______________。
解：由定义可知
，
，
则
。
又由图可知
，
因此
。
注：此题如果不结合图形用定义，就很难计算出结果。
3. 运用两种曲线组合构成的特殊位置关系，巧妙简化运算
例4 已知圆F的方程
，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，设的倾斜角为
，当为何值时，线段
，
，
成等差数列。
解：依题意知圆心F(0,1)，半径为1，抛物线的方程：
，
（如图2）。
成等差数列，
，
即
，
。
设的方程为：
，代入得
。
由
，
解得
，
故
或
。
注：如果此题直接计算三段，，的长，而不结合图形得关系式
，会加大运算量。
三. 将二元运算转化为一元运算，可简化运算
1. 用三角形相似比，把平面上两点间的距离转化为数轴上两点间的距离
例5 直线与轴不垂直，与抛物线
交于A、B两点，与椭圆
交于C、D两点，与轴交于点
，若
，求
的范围。
解：设直线的方程为
，又设
、
、
。
由
，
得到
。
当
，
（1）
由韦达定理得
，
由
得到
。
（2）
有
。
要使，只需AB的中点与CD的中点坐标相同即可。由
，得
（3）
把（3）分别代入（1）、（2）可求得的范围为（-2，-1）。
注：此题如果不转化，就找不到关系，花费再多时间都难以解出。
2. 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离
例6 点A（3，2）为定点，点F是抛物线
的焦点，点P在抛物线
上移动，若
取得最小值，求点P的坐标。
解：抛物线的准线方程为
，设P到准线的距离为
，则
=
。要使取得最小值，由图3可知过A点的直线与准线垂直时，
取得最小值，把
代入，得P（1，2）。
四. 利用直线参数方程
的几何意义，简便运算
利用直线参数方程的几何意义，计算直线上经过同一点的两条线段的长。
例7 过点A（-2，4）引倾斜角为
的直线交抛物线
于
两点，若
成等比数列，求P的值。
解：设直线的参数方程为
代入
得
，
，
。
由参数的几何意义，得
，
，
。
根据题意得
，
，
，于是
，即
，又
，得
。
五. 利用极坐标，简便运算
在过原点的几条线段成一定角的关系中，用极坐标会使运算简便。
例8 P、Q是双曲线
上的两点，若，求证：
为定值。
解：将
代入
，
有
。
设
，
为定值。
上面五种方法及例证充分说明，灵活掌握求线段长的简便算法，会加快你的解题速度，从而提高数学成绩，以利高考。
五、典型例题
例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形
，使
垂直且等于AT，使
垂直且等于BT，
交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出直线的方程；
（2）计算出点P、Q的坐标；
（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.
讲解: 通过读图, 看出
点的坐标.
(1 ) 显然
, 
于是 直线
的方程为
；
（2）由方程组
解出 
、
；
（3）
,
.
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.
需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?
例2
已知直线l与椭圆
有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．
讲解：从直线
所处的位置, 设出直线的方程,
由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为
代入椭圆方程
得
化简后，得关于
的一元二次方程
于是其判别式
由已知，得△=0．即
①
在直线方程
中，分别令y=0，x=0，求得
令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得
代入①式并整理，得
, 即为所求顶点P的轨迹方程．
方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?
例3已知双曲线
的离心率
，过
的直线到原点的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线
交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
讲解：∵（1）
原点到直线AB：
的距离
.
故所求双曲线方程为 
（2）把
中消去y，整理得 
.
设
的中点是
，则
即
故所求k=±
.
为了求出
的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.
例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．
讲解：（1）设
, 对
由余弦定理, 得
，
解出 
（2）考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：
i) 当k存在时，设l的方程为
………………①
椭圆方程为
由 得 
.
于是椭圆方程可转化为 
………………②
将①代入②，消去
得 
,
整理为的一元二次方程，得
.
则x1、x2是上述方程的两根．且
，
|
，
AB边上的高
ii) 当k不存在时，把直线
代入椭圆方程得
由①②知S的最大值为
由题意得
=12 所以
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为： 
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：
设过左焦点的直线方程为：
…………①
（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）
椭圆的方程为：
由
得：
于是椭圆方程可化为：
……②
把①代入②并整理得：
于是
是上述方程的两根.
,
AB边上的高
,
从而
当且仅当m=0取等号，即
由题意知
, 于是 
.
故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
例5 已知直线
与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线
上.
（１）求此椭圆的离心率；
（2 ）若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆
上，求此椭圆的方程.
讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为
得
,
根据韦达定理，得
∴线段AB的中点坐标为（
）.
由已知得
故椭圆的离心率为
.
（2）由（1）知
从而椭圆的右焦点坐标为
设
关于直线的对称点为
解得 
由已知得 
故所求的椭圆方程为
.
例6 已知⊙M：
轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
（1）如果
，求直线MQ的方程；
（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.
讲解:（1）由，可得
由射影定理，得 
在Rt△MOQ中，
|
，
故
，
所以直线AB方程是
（2）连接MB，MQ，设
由
点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得
即
把（*）及（**）消去a，并注意到
，可得
适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.
例7
如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=
。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持 PA + PB 的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设
，
| |
| |
|
试确定实数
的取值范围．
讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示 .
∵ PA + PB = CA + CB
y
|
|
∴动点P的轨迹是椭圆 .
∵
∴曲线E的方程是
.
（2）设直线L的方程为
, 代入曲线E的方程
，得
设M1（
, 则
|
i) L与y轴重合时，
ii) L与y轴不重合时，
由①得 
又∵
,
∵
或 
∴0＜＜1 ,
∴
.
∵
而
∴
∴ 
∴ 
, 
,
∴的取值范围是
.
值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.
例8
直线过抛物线
的焦点，且与抛物线相交于A
两点.
（1）求证：
;
（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.
讲解: （1）易求得抛物线的焦点
.
若l⊥x轴，则l的方程为
.
若l不垂直于x轴，可设
,代入抛物线方程整理得
.
综上可知 .
（2）设
，则CD的垂直平分线
的方程为
假设过F，则
整理得
，
.
这时的方程为y=0，从而与抛物线
只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.
此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！
例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则
MA+AP=MB+BP,
即 MA－MB=BP－AP=50,
,
∴M在双曲线
的右支上.
故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.
相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？
解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.
六、高考解析几何解答题的类型与解决策略
Ⅰ.求曲线的方程
1．曲线的形状已知
这类问题一般可用待定系数法解决。
例1 （1994年全国）
已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。
设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0).
设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：
A/（
），B/（
）。因为A/、B/均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=
,p=
.
所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=
x.
例2 (1993年全国)
在面积为1的△PMN中，tanM=
,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。
分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给
定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
例3 （1994年全国）
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与MQ的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：
P={MMN=MQ}，由平面几何知识可知：MN2=MO2-ON2=MO2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.
当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。
这种方法叫做直接法。
例4 （1999年全国）
给出定点A（a,0）(a>0)和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。
分析：设C（x,y）,B(-1,b).则直线OB的方程为：y=-bx.由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以
y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0
若，y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a)；若y=0，则b=0,∠AOB=180º,点C的坐标为（0，0），也满足上式。所以，点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a)。
当a=1时，方程表示抛物线弧；当0<a<1时，方程表示椭圆弧；当a>1时，方程表示双曲线一支的弧。
一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。
例5 （1995年全国）
已知椭圆
和直线L:
，P是直线L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足OQ OP=OR2，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
分析：设Q(x,y),P(xP,yP),R(xR,yR), 则
，代入
，得：
(x-1)2+
(y-1)2=1.
注意：若将点P、Q、R分别投影到x轴上，则式子可用x xP=xR2代替，这样就简单多了。
Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题
1．有关最值问题
例6 (1990年全国)
设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，已知点P（0，
）到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。
分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。
设椭圆方程为
，则由e=
得：a2=4b2，所以x2=4b2-4y2.
设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:
PQ=
=
(-b
yb).
若b<，则-<-b,当y=-b时PQmax=
.
解得：b=->与b<矛盾；若b
，则当y=-时PQmax=
,解得:b=1,a=2.
2．有关范围问题
例7 （2001春季高考题）
已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，AB≤2p。
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。
解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则
,又y1=x1-a,y2=x2-a,
解得:
(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：
,
所以QM2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以QM=QN=
，所以S△NAB=
,即△NAB面积的最大值为2。
例8 （1992年高考题）
已知椭圆，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，证明：
.
分析：欲证x0满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-a≤x≤a,因此问题转化为寻求x0与x的关系。
由题设知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以AP=BP，若设A（x1,y1）,B(x2,y2),则有：(x1-x0)2-y12=(x2-x0)2-y22,因为点A、B在椭圆上，所以，
，从而由-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,可得：
例9 (2000年高考题)
已知梯形ABCD中，AB=2CD，点E满足
，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当
时，求双曲线离心率e的取值范围。
分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。
解：如图建立坐标系，这时CD⊥y轴，
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。
依题意，记A(-C,0)，C(
h)，E(x0,y0),其中c=
为双曲线的半焦距，h是梯形的高。
由,即(x0+c,y0)= (
-x0,h-y0)得:x0=
.设双曲线的方程为,则离心率e=
。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得
将（1）式代入（2）式,整理得
(4-4)=1+2,故=1
.
依题设得
,解得
.
所以双曲线的离心率的取值范围是.
例10 已知抛物线y2=2px (p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p的取值范围。
分析：解决本题的关键是找到关于p的不等式。
设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x1,y1)、N(x2,y2)，设直线MN的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x2+(2b-2p)x+b2=0.则x1+x2=2p-2b,y1+y2=( x1+x2)+2b=2p.则MN的中点P的坐标为 (p-b,p).因为点P在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。
又
=(2b-2p)2-4b2=4p2-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p2-8p(2p-1)>0,3p2-2p<0.解得：
0<p<
.
是否存在常数a、b、c，使函数f(x)=
满足下列条件：
（1）函数f(x)是奇函数；
（2）；f(1)<f(3) ；
（3）不等式0≤f(x)≤的解集是[-2,-1]∪[2,4]？
若存在，则求出不等式f(-2+sinθ) ≤m对任意θ∈R恒成立的实数m的取值范围；若不存在，说明理由。
解：由函数f(x)是奇函数得：b=0。又不等式0≤f(x)≤的解集是[-2,-1]∪[2,4]，所以-2、-1、2、4是程f(x)=0与f(x)=的根，从而:
,解得：a=2，c=-4，故：
f(x)= 
。
七、高考试题选
1.已知圆
的弦长为
时，则a= （ C ）
A．
B．
C．
D．
2．(03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为
M、N两点，MN中点的横坐标为
则此双曲线的方程是（ D ）
A．
B．
C．
D．
3 (03天津)不等式
的解集是 （ C ）
A．（0，2） B．（2，+∞）
C．（2，4） D．（－∞，0）∪（2，+∞）
4．(03天津)抛物线y=ax2 的准线方程是y=2，则a的值为 （ B ）
A．
B．－ C．8 D．－8
5(03江苏)如果函数
的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区
|
A． B． C． D．
6．(03江苏)抛物线
的准线方程是y=2，则a的值为 （ B ）
A． B．－ C．8 D．－8
7．(03江苏)设
曲线
在点
处切线的倾斜角的取值范
围为
，则P到曲线对称轴距离的取值范围为 （ B ）
A．[
] B．
C．
D．
8．(03江苏)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是 （ D
）
A． B． C． D．
9．(03江苏)已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tanθ的取值范围是 （ C ）
A．
B．
C．
D．
10(03广东)（双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为
，则双曲线的离心率为（ ）B
A. 
B.
C.
D.
11 (03广东)（已知圆C：
及直线L：
当直线L被C截得的弦长为23时，则
（ ）C
A. 
B.
C.
D.
12(03广东)（不等式
的解集是________
13. (03年上海)已知定点A（0，1），点B在直线
上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是_________。 
14. (03年上海)设集合
，则集合
＝__________________。
15(03年上海) 给出问题：
是双曲线
的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由
，即
，得
或17。
该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内；若不正确，将正确结果填在下面空格内。
16(03年上海)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？
（半个椭圆的面积公式为
。柱体体积为：底面积乘以高。本题结果均精确到0.1米）
［解］（1）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）
椭圆方程为
将
与点P坐标代入椭圆方程，得
，此时
因此隧道的拱宽约为33.3米。
（2）［解一］由椭圆方程
得
因为
，即
，且
所以
当S取最小值时，有
，得
此时
故当拱高约为6.4米，拱宽约为31.1米时，土方工程量最小
［解二］由椭圆方程，得
于是
即，当S取最小值时，有
得
，
，以下同解一
17. (03年上海)（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分。
在以O为原点的直角坐标系中，点
为
的直角顶点，已知
，且点B的纵坐标大于零。
（1）求向量
的坐标。
（2）求圆
关于直线OB对称的圆的方程。
（3）是否存在实数
，使抛物线
上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求的取值范围。
解］（1）设
，则由
，即
，得
，或
因为
所以
，得
，故
（2）由
，得B（10，5），于是直线OB方程：
由条件可知圆的标准方程为：
得圆心（3，
），半径为
设圆心（3，）关于直线OB的对称点为（x，y），则
，得
故所求圆的方程为
（3）设
，
为抛物线上关于直线OB对称的两点，则
，得
即
为方程
的两个相异实数
18.(03广东)（每小题满分14分）
已知常数
，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE与OF的交点（如图）。问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判定是否存在两定点，使得P到两定点距离的和为定值。
按题意有
设
由此有
直线OF的方程为
直线CE的方程为：
从(1)(2)消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程
整理得
当
时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点。
当
时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。
当
时，点P到椭圆两个焦点
的距离之和为定值
当
时，点P到椭圆两个焦点
的距离之和为定值2a。
19．(03天津)（本小题满分14分）
已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得PE+PF为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
20．本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分。
解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.
∵i=(1,0),c=(0,a), ∴
因此，直线OP和AP的方程分别为 y=ax和y－a=－2ax .
消去参数，得点P（x,y）的坐标满足方程y (y－a)=－2a2x2 ,
整理得
①
因为a>0，所以得：
（i）当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当0<a<时，方程①表示椭圆，焦点E
和
为合乎题意的两个定点；
（iii）当a>时，方程①表示椭圆，焦点E
和F
））为合乎题意的两个定点.
21．(03天津)（本小题满分15分）
如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线
交椭圆于两点
直线
交椭圆于两点
求证：
；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.
求证：OP=OQ. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）
|
18．本小主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.
（Ⅰ）解：椭圆方程为
焦点坐标为
离心率
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得
整理得
根据韦达定理，得
所以
①
将直线GH的方程
代入椭圆方程，同理可得
，
|
所以结论成立.
（Ⅲ）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线，
得
解得
，
由D、Q、G共线，同理可得
变形得
即
所以
22．(03天津)（本小题满分14分）
有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
|
点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？
23．(03天津)本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由题设可知，
记
设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为
所以，当
时，函数
取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为 
由
解得
记
于是
当
即
时，
在[
上是增函数，而
上是减函数. 由此可知,当
时,函数
取得最小值. 当
即
时,函数
在[
上,当
时,取得最小值
,而上为减函数,且
可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为
当时,点P的坐标为(0,0),其中
解法二:P至三镇的最远距离为 
由
解得
记于是
当
的图象如图
，因此，当
时，函数取得最小值.
|
即
的图象如图
，因此，当
时，函数取得最小值.
答：当时，点P的坐标为
当，点P的坐标为（0，0），其中
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=
所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为
，
|
若
（如图1），则点M在线段AO上，
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M
重合时，P到三镇的最远距离最小.
|
(如图2),则点M在线段AO外,这时
P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，
且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，
P到三镇的最远距离最小为.
答：当
时，点P的位置在△ABC的外心
；当
时，点P的位置在原点O.
24．(03全国)（本小题满分14分）
|
在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且
，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.
按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：
①
直线GE的方程为：
②
从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程
整理得
当
时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当
时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。
当
时，点P到椭圆两个焦点（
的距离之和为定值。
当
时，点P 到椭圆两个焦点（0，
的距离之和为定值2.
【模拟试题】
1. 过抛物线
的焦点F，作弦
轴于A、B两点，则弦长
等于（ ）
A. 6 B. 18 C. 
D. 36
2. 若直线
与焦点在x轴上的椭圆
总有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A. （0，5） B. （1，5） C. 
D. 
3. 直线
与抛物线
只有一个公共点，则k的值为________。
4. 直线
被椭圆
所截得的弦的中点坐标是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 过点A
引抛物线
的一条弦，使该弦被A点平分，则该弦所在直线方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 曲线C：
关于直线
对称的曲线
的方程_________。
7. 设
且，则
的最大值与最小值分别是（ ）
A. 
B. 
C. 4，3 D. 8，6
8. P是抛物线
上的点，F是抛物线的焦点，则点P到F与P到A
的距离之和的最小值是（ ）
A. 3 B. 
C. 4 D. 
9. 已知抛物线C：
（1）求证：抛物线C与x轴交于一定点M；
（2）若抛物线与x轴正半轴交于N，与y轴交于P，求证：PN的斜率是一个定值；
（3）当m为何值时，三角形PMN的面积最小，并求此最小值。
【试题答案】
1. A 2. C 3. 
4. A 5. B 6. 
7. C 8. B
9. 证明：（1）令
，得
即
所以抛物线交x轴于定点M
（2）由（1）知，
在抛物线方程中
又令
得
所以直线PN的斜率
是一个定值。
（3）由（2）知
当
时，
的面积最小，其最小面积为1。