高一数学第一学期期末统一考试
数学理科试卷
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共100分，考试时间100分钟。
第I卷（选择题共40分）
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 若
为△ABC的内角，则下列函数中一定取正值的是( )
A. 
B. 
C. 
D.
2. 当
时，“
”是“
”( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
3. 
与
，两数的等比中项是( )
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 不等式
的解集是
，则
的值是( )
A. 10 B. -10 C. 14 D. -14
5. 在△ABC中，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6. 与椭圆
有相同的两焦点且过点
的双曲线方程是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 若曲线
的一条切线
与直线
垂直，则的方程为 ( )
A. 
B. 
C. 
D. 
8. 不等式组
表示的区域是( )
9. 在等差数列
中，
是方程
的两个根，则
是( )
A.15 B.30 C.50 D.
10.若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
的值为 ( )
A. 2 B.-2 C. 4 D. -4
|
高一数学第一学期期末统一考试
数学理科试卷
第II卷（非选择题共60分）
| 题 号 | 二 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 总分 | 总分人 | 复分人 |
二、填空题（每小题4分，共16分）
11命题p：
的否定是
12.已知
，则
的是小值为
.
13. 两个等差数列
则
=
.
14设
，则
的最大值为
三、解答题（共5小题. 15、16、17、18题各9分，19题8分，合计44分）
|
15. 在ΔABC中，角A、B、C所对的边是
、
、，
且
.
（1）求
的值（4分）
（2）若=2，求ΔABC面积的最大值（5分）
|
16. 已知函数
.
⑴当
时，求函数的单调区间（5分）
⑵函数
在
处有极大值，求的值（4分）
|
两点B，C，经过抛物线上一点P垂直于轴的直线和轴交于点Q，
求证：PQ是BC和OQ的比例中项.
18.如图所示，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=900，BC=2，CC1=4，EB1=1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，EF与B1D相交于点H.
（Ⅰ）求证：B1D⊥平面ABD；（3分）
（Ⅱ）求证：平面EGF∥平面ABD；（3分）
（Ⅲ）求平面EGF与平面ABD的距离.（3分）
19. 设
为等比数列，
，
．
（1）求最小的自然数
，使
；
（2）求和：
．
高一数学第一学期期末统一考试
数学科试卷参考答案
一、选择题：AACDC BDBAC
二、填空题：11：
；12：15； 13：
；14：
三、解答题：
15．解：（1）∵，∴
∴
∵
是ΔABC的内角，则
∴
；
（2）若=2，ΔABC面积
又
∴
，∴
∴
当
时，ΔABC面积
为最大值.
16．解：⑴当时， 
；
，令
；得 
|
|
|
|
| 1 |
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
|
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
列表：
∴函数的单调增区间分别为
，
；
函数的单调减区间为
.
⑵∵
；
∴
∵函数在处有极大值，
∴
,即
；
∴
17．证明：如图，设抛物线方程：
，焦点为
，
直线BC的方程为
；解方程组
，得
，
∴B
，C
，BC=
；
令P
，由
，其中
OQ=
，PQ=
∵PQ2=2；BC
OQ=
∴PQ2=BCOQ；
∴PQ是BC和OQ的比例中项.
18．（Ⅰ）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，设A1（，0，0），则C1（0，2，0），F（0，1，0），E（0，0，1），A（，0，4），B（0，0，4），D（0，2，2），
G（
，1，0），
∴
，
，
，
∴
，
，
∴B1D⊥AB，B1D⊥BD，又AB∩BD=B，
∴B1D⊥平面ABD.
（Ⅱ）证明：∵，，
，
，
∴
∥
，
∥
，
∴GF∥AB，EF∥BD，又GF∩EF=F，AB∩BD=B，
∴平面EGF∥平面ABD
（Ⅲ）解：由 （Ⅰ）、（Ⅱ）可知，DH为平面EFG与平面ABD的公垂线段，
设
，则
，
∵
与共线，∴
，即
，
∴
，
，∴
，
因此，平面EGF与平面ABD的距离为
19．解：（1）由已知条件得
，
因为
，所以，使成立的最小自然数
．
（2）因为
，…………①
，…………②
得：
所以
．