高一数学下学期第三阶段测试卷 08年6月
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1．函数
的最小正周期T= ▲ .
2．若过点
和
的直线与直线
平行，
则
= ▲ .
3．等差数列
中，
，那么
的值是 ▲ .
4．直线
经过一定点，则此点是 ▲
5．不等式
的解集是 ▲ .
6．已知a=
，b=
，若
,则λ= ▲
7．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长
为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个
几何体的全面积为 ▲ .
8．已知两个球的表面积之比为1∶
，则这两个球的半径之比为 ▲ .
9.与
都相切，且过点（1，8）的圆的圆心坐标为 ▲ .
10. 已知圆C的方程为
，若
,
两点一个在圆C的内部,一个在
圆C的外部,则实数a的取值范围是 ▲ .
11．若
，则
的值为 ▲
.
12．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90o，
AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线
AD和BC1所成角的大小为 ▲ .
13．若经过点P（－1，0）的直线与圆
相切，则这条直线在y轴上
的截距是 ▲ .
14．如图，一个圆锥形容器的高为
，内装有一定量的水.
如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为
（如图2-②），
则图2-①中的水面高度为 ▲ .
二、解答题（本大题共6小题，共90分.）
15.（本题满分14分）如图，在平行四边形
中，点
．
（1）求
所在直线的斜率；
（2）过点C做CD⊥AB于点D，求
所在直线的方程．
16．（本题满分14分）已知
的周长为
，且
．
（I）求边
的长；
（II）若的面积为
，求角
的度数．
17. （本题满分16分）如图，三棱锥
中，
是边长为4的正三角形，
，
E为AB的中点，
.
(Ⅰ) 求证：平面
;
(Ⅱ) 求直线
和平面CDE所成的角的正切；
(Ⅲ) 求点A到平面BCD的距离.
18．（本题满分14分）已知等比数列
，
，
（1）求通项
；
（2）若
，数列
的前
项的和为
，且
，求的值.
19．（本题满分16分）在直角坐标系
中，以
为圆心的圆与直线
相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与
轴相交于
两点，圆内的动点
使
成等比数列，
求
的取值范围．
20．（本题满分16分）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，
AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，
又BO=2,PO=
, PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)设点M在棱PC上，且
为何值时，PC⊥平面BMD.
扬州市新华中学高一数学第三阶段测试卷答题纸
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1.
2.
3.24 4.
5.
6.
7. 8.1：3 9.
或
10.
11.
12.
13.1 14.
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题满分14分）
解: (1)
点O（0，0），点C（1，3），
OC所在直线的斜率为
.
（2）在
中，
,
CD⊥AB，
CD⊥OC.
CD所在直线的斜率为
.
CD所在直线方程为
.
16．（本题满分14分）
解：（I）由题意及正弦定理，得
，
，
两式相减，得
．
（II）由的面积
，得
，
由余弦定理，得
，所以
．
17. （本题满分16分）
（1）略证：
；
（2）作AF⊥DE于F点，可证AF长即为所求，AD=3，AE=2，
，
，
；
（3）等体积法：BD=DC=5，BC=4，
，
，
，
。
18．（本题满分14分）
(1)
(2)由（1）可知
，故
，所以
19．（本题满分16分）
解：（1）依题设，圆的半径
等于原点到直线的距离，
即 
．得圆的方程为
．
（2）不妨设
．由
即得
．设
，由成等比数列，得
，即 
．
由于点在圆内，故
由此得
．所以
的取值范围为
．
20．（本题满分16分）
（1）
，DO=1，取AB中点E，连DE，故DE//BC，连PE，故
（或其补角）为异面直线PD与BC所成角，
，
。
（2）连OE，PE，可证得
为二面角P-AB-C的平面角，
，
。
（3）
，
。
若
面BMD，则
，
，
，
。
本题满分16分）如图，平面PCBM⊥平面ABC,∠PCB=90°,PM∥BC,直线AM与
直线PC所成的角为60°，又AC=1,BC=2PM=2,∠ACB=90°
(Ⅰ)求证：AC⊥BM;
(Ⅱ)求二面角M-AB-C的平面角的正切值；（Ⅲ）求多面体PMABC的体积.
在正三角形ABC中，E、F分别是AB、
AC边上的点，满足
（如图1）.
将△AEF沿EF折起到
的位置，使二
面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1C.
（如图2）
（1）求证：A1E⊥平面BEC；
（2）求直线A1E与平面A1BC所成角的大小
如图，在四棱锥
中，
底面
，
，
，
是
的中点．
（Ⅰ）求
和平面
所成的角的大小；
（Ⅱ）证明
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的正弦值.．
（Ⅰ）解：在四棱锥中，因底面，
平面，故
．
又
，
，从而
平面．故在平面内的射影为
，从而
为和平面所成的角．
在
中，
，故
．
所以和平面所成的角的大小为
．
（Ⅱ）证明：在四棱锥中，
因底面，
平面，故
．
由条件
，
，
面
．
又
面，
．
由
，
，可得
．
是的中点，
，
．综上得平面．
（Ⅲ）解：过点作
，垂足为
，连结
．由（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是
，则
．
因此
是二面角的平面角．
由已知，可得
．设
，可得
，
，
，
．
在
中，
，
，则
．
在
中，
．
所以二面角的大小
．
命题、校对：孟素红
（Ⅰ）∵平面
平面
，
，
平面．
∴
平面
又∵
平面
∴
（Ⅱ）取
的中点
，则
．连接
、
．
∵平面平面，平面
平面
，
．
∴平面．
∵
，∴
，从而
平面．
作
于
，连结
，则由三垂线定理知
．
从而
为二面角
的平面角．
∵直线与直线所成的角为60°，
∴
．
在
中，由勾股定理得
．
在
中，
．
在
中，
．
在
中，
故二面角的大小为
（Ⅱ）如图以为原点建立空间直角坐标系
．
设
，
有
，
，
．
，
由直线与直线所成的角为60°，得
即
，解得
．
∴
，
设平面
的一个法向量为
，则
由
，取
，得
取平面的一个法向量为
则
由图知二面角为锐二面角，故二面角的大小为
．
（Ⅲ）多面体
就是四棱锥
．
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
(Ⅲ)设点M在棱PC上，且为何值时，PC⊥平面BMD.
|
（06全国二）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．
扬州市新华中学高一数学第三阶段测试卷参考答案
一 填空题
1.{1}; 2.一; 3.; 4.
; 5.
; 6.56; 7.
;
8.16; 9.2;
10.
; 11.1;
12. 
; 13. 4∶1; 14. 
二 解答题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．
1．函数的最小正周期T= ▲ .
2．若过点和的直线与直线平行，则=
▲
.
3．等差数列中，，那么的值是 ▲ .
4．直线经过一定点，则此点是 ▲
5．不等式的解集是 ▲ .
6．已知a=，b=，若,则λ= ▲
7．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长
为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个
几何体的全面积为 ▲ .
8．已知两个球的表面积之比为1∶，则这两个球的半径之比为 ▲ .
9.与都相切，且过点（1，8）的圆的圆心坐标为 ▲ .
10. 若，则的值为 ▲
.
11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90o，
AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，则异面直线
AD和BC1所成角的大小为 ▲ .
12．若经过点P（－1，0）的直线与圆相切，则这条直线在y轴上的截距是 ▲ .
13．已知圆C的方程为，若,两点一个在圆C的内部,一个在圆C的外部,则实数a的取值范围是 ▲ .
14．如图，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.
如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2-②），
则图2-①中的水面高度为 ▲ .
二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本题14分）如图，在平行四边形中，点．
（1）求所在直线的斜率；
（2）过点C做CD⊥AB于点D，求所在直线的方程．
16．（本题14分）已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．
解：（I）由题意及正弦定理，得，
，
两式相减，得．
（II）由的面积，得，
由余弦定理，得
，
所以．
17. （本小题满分16分）
如图，三棱锥中，是边长为4的正三角形，，E为AB的中点，.
(Ⅰ) 求证：平面;
(Ⅱ) 求直线和平面CDE所成的角的正切；
(Ⅲ) 求点A到平面BCD的距离.
18．（本题满分14分）已知等比数列，，
（1）求通项；
（2）若，数列的前项的和为，且，求的值.
19．（本题满分16分）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．
解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，
即 ．得圆的方程为．
（2）不妨设．由即得．设，由成等比数列，得，即 ．
由于点在圆内，故由此得．所以的取值范围为．
20．（本题满分16分）如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝
，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
（1）
求证：AD^BC
（2） 求二面角B－AC－D的余弦值。
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？
若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由