数列复习题(1)答案
年级__________班次 ___ 学号 ____ 姓名___________________
一、 基础过关
(一) 选择题
1. 若数列 {an}的通项公式是an＝，则数列 {an} 是( B )
A.递减数列 B.递增数列
C.摆动数殓 D.常数列
2. 数列{－n2＋11n－30}的最大项是( C )
A.第5项 B.第6项
C.第5项和第6项 D.第4项和第5项.
3. 在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1为( D )
A.5或7 B.3或5
C.7或－1 D.3或－1.
4. 某工厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值( D )
A.1.14a B. 1.15a
C.11(1.16－1)a D.11(1.15－1)a.
5. 制造某种产品，计划经过两年后要使成本降低36%，则平均每年应降低成本( D )
A.6% B.9% C.18% D.20%
(二) 填空题
6. 已知数列{an}，a1＝1，an＝1＋ (n∈N，n≥2)，则a5＝_________.
7. 已知数列{an}的通项公式为an＝cn＋，且a2＝，a4＝，则a10＝______.
8. 写出下列数列的一个通项公式：
(1) 3，8，15，24，35，……；
(2) ，－，，－，，…….
(1) an＝n(n＋2) ；
(2) an＝(－1)n＋1.
9. 已知等比数列(an)中，a3＝1，a8＝32，则a12＝___512___.
10. 某种产品平均每三年降低价格的，目前售价为270元，9年前此产品的价格为__640__.
11. 1·2＋2·4＋3·8＋…＋10·210＝__18434_.
12. 已知数列{an}中，an＝2n＋2n－1，则前n项和Sn＝__n2＋2n＋1－2__.
二、 技能提升
(一) 选择题
13. 三个从小到大的数构成公差为的等差数列，且它们的和等于它们的积，则此三个数是( D )
A.3－，3，3＋
B.3－，3，3＋或－3－，－3，－3＋
C.－，0，；
D.－，0，或3－，3，3＋或－3－，－3，－3＋
14.
已知数列{an}是公比为q (q≠1)的等比数列，则数列①
；②
；③
；④{anan＋1}：⑤ {an＋an＋1}中，等比数列的个数为( B
).
A.2 B.3 C.4 D.5
提示：②、③、④是等比数列，当q＝－1时，⑤不是等比数列.
15. 若某等比数列中，前7项的和为48，前14项的和为60，前21项的和为( D )
A.180 B.108 C.75 D.63
16. 某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率是( B )
A.＋1 B. －1
C.－1 D. －1.
(二) 填空题
17. 数列{an}中，a1a2a3…an＝n2 (n∈N＋),则a2005＝_______.
18. 所在被3整除的两位数的个数是_30___,这些数的和是__1665___
19. 已知数列{an}，a1＝－1，an＋1＝an＋n (n∈N＋)，则数列的通项公式是an＝___
20. 在等差数列{an}中，a1＝3，a100＝36，则a42＋a59＝____39_____.
21. 已知等比数列(an)中，a3＝1，a8＝32，则a12＝___512___.
22. 在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a9－a10＝___24___.
提示：2a9＝a8＋a10
23. 在2与7之间插入n个数，使得包括2和7在内的n＋2个数组成以2为首的等差数列，如果这个等差数列的前16项的和为56，则n＝_24_.
24. 在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a50＝200，a51＋a52＋…＋a100＝2700，则d＝__1_，a1＝_－20.5_
25. 若等差数列共有2n＋1(n∈N＋)项，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，则项数＝__7___.
提示：＝＝，∴ n＝3
26. 正项等比数列{an}中，a6a15＋a9a12＝30，则log15(a1a2a3…a20)＝__10____.
提示：由a6a15＝a9a12，得a9a12＝15
∴ a1a2a3…a20＝(a9a12)2＝1510
27. 如果将20，50，100各加上同一个数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为_____.
28. 已知－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则＝____.
(三) 解答题
29. 求由通项公式an＝－2n2＋11n＋8所给定的数列{an}的最大项
解法1：an＝－2n2＋11n＋8
＝－2(n－)2＋8＋
∵ n∈N＋ ∴ n＝3时，an取最大值为23
即数列中的最大项是an＝23.
解法2：设数列中的最大项是an，则
∴ ≤n≤
又∵ n∈N＋ ∴ n＝3
∴ 最大的项为a3＝23.
30. 已知等差数列{an}满足a3·a7＝－12，a4＋a6＝－4，求数列{an}的通项公式.
解法1：设公差为 d，首项为a1，由题设可知，
(a1＋2d)(a1＋6d)＝－12 ①
(a1＋3d)＋(a1＋5d)＝－4 ②
联立解①②得：
或
an＝2n－12或an＝－2n＋8.
解法2：∵{an}是等差数列，
∴ a3＋a7＝a4＋a6＝－4
又∵ a3·a7＝－12
∴ a3和a7是方程x2＋4x－12＝0的两个根
解方程，得：x1＝2，x2＝－6
①当a3＝2，a7＝－6时，得a1＝6，d＝－2
∴ an＝8－2n
②当a3＝－6，a7＝2时，得a1＝－10，d＝2
∴ an＝2n－12.
31. 设{an.}为等差数列，Sn为等数列{an.}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，设Tn＝为数列
的前n项和，求Tn.
解：由已知知S7≠S15，∴ 数列{an.}的公差不为零，于是可知Sn是n的常数项为零的二次式，设Sn＝An2＋Bn (A≠0)，则
解之，得A＝，B＝－
∴ Sn＝n2－n ∴ ＝n－，
∴是以－2为首项，为公差的等差数列.
∴ Tn＝n·(－2)＋·＝n2－n.
32. 在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项的和最大，并求出最大值.
解法1：由题意知17a1＋·d＝9a1＋·d
∵ a1＝25，∴ d＝－2
∴ Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169
∴ 当n＝13时，Sn取最大值为169.
解法2：同解法1，求出d＝－2，
由an≥0，得n≤13.5，
故当n≤13时an＞0，当n≥14时，an＜0
∴ n＝13时，Sn取最大值为169.
33. 已知数列{an}为等比数列
(1) 若a5＝4，a7＝16，求a12；
(2) 若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，an＝125，求n.
解：(1)由题意，得q2＝＝＝4 ∴ q＝±2
当q＝2时，a12＝a7·q5＝8·25＝256
当q＝－2时，a12＝a7·q5＝8·(－2)5＝－256.
(2) 由题意，得：
解之，得
∴ an＝()·5n－1＝5n－2＝125
解之，得：n＝5.
34. 若数列(an)的前n项和Sn＝2an＋1，证明数列{an}成等比数列，并求出an.
证明：当n＝1时，Sn＝2a1＋1＝2×(－1)＋1＝－1
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)
＝2an－2an－1
∴ an＝2an－1 (n≥2)
∴＝2
∴ {an}是以－1为首项，以2为公比的等比数列
∴ an＝(－1)·2n－1.
35. 已知四个正数成等比数列，其积为16，中间两数之和为5，求这四个数及公比.
解：设这四个正数为：a，aq，aq2，aq3，由题设知它们的积a4q6＝16，即aq·aq2＝4＞0.
又aq＋aq2＝5，
∴ aq，aq2是方程x2－5x＋4＝0的两实根
∴ x＝1或x＝4，即
或
∴ 
或
∴ 所求四个数为：，1，4，16或16，4，1，.
36. 已知等比数列{an}各项均为正数，Sn＝80，S2n＝6560，且在前n项中最大项为54，求n.
解：∵ Sn＝80，S2n＝6560， ∴ q≠1，q＞0.
∴ 
(2)÷(1)，得1＋qn＝82 ∴ qn＝81
又q＞0，∴ q＞1
∴ a1，a2，a3，…，an中，an最大.
∴ an＝54＝a1qn－1 ∴ ·qn＝54
＝＝ (3)
又将qn＝81代入(1)得＝1 (4)
联立解(3)、(4)得a1＝2，q＝3，n＝4.
37. 某城市2003年底人口为500万，人均居住面积为20平方米，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新住房面积100万平方米，到2008年底，该市人均住房面积是多少(精确到0.01平方米)
解：设2003年底住房面积总数为a1，相应地2008年底住房面积总数为a6，则a1，a2，…，a6成等差数列，且a1＝20×500万平方米，从而a6＝a1＋5d＝10500万平方米.
另外，2003年底人口为b1，相应地，2008年底人口为b6，则b1，b1，…，b6成等比数列，且b1＝300万平方米，从而b6＝b1·q5＝500·1.015.
故，2008年底人均住房面积为
＝≈＝19.98平方米.
38. (1)从1月起，若每月初存入100元，月利率是1.65‰并按单利计算，到第12月底本息和是多少？
(2)若一年定期的年利率为p，三年期年利率为q(均按单利计算)，如果存一年定期的，一年后取出本息，再一起存入一年定期，这样三年后所取出的本息与直接存三年定期比较，还是直接存三年期的合算，请问p，q应怎样的关系？
解：(1)第一个月存入银行100元，到期利息应为100×12×1.65‰，到期利息应为100×11×1.65‰，….
∴ 共得本息和为100×12＋100×(12＋11＋…＋2＋1)×1.65‰＝1212.87元.
(2)设本金为A元，则直接存三年定期，到期本息和为A(1＋3q)；而一年后取出再转存的，三年后本息和应为A(1＋p)3.
由题意应有：A(1＋3q)＞A(1＋p)3.
解之，得：q＞.
三、 智力挑战
39. 已知函数f(x)＝，且数列{an}满足a1＝2，an＋1＝f－1(an)，求an.
解：∵ f(x)＝ ∴ f－1(x)＝
∴ an＋1＝ ∴ a3n＋1＝a3n＋2
∴ a3n＋1－a3n＝2
∴ 数列{a3n}是等差数列，首项为8，公差为2.
∴ a3n＝8＋(n－1)×2＝2n＋6
∴ an＝
40. 已知数列{an}中相邻两项an，an＋1是关于x的方程x2＋3nx＋cn＋n2＝0 (n∈N＋)的两实根，且a1＝1，求c1＋c2＋c3＋…＋c2006的值.
解：由题意，得
由(1)知an＋1＋an＋2＝－3(n＋1)， (3)
(3)－(1)得：an＋2－an＝－3
∴ 数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…与数列a2，a4，a6，…，a2n，…都是公差为－3的等差数列，
∴ a2n－1＝a1＋(n－1)·(－3)＝4－3n，
a2n＝a2＋(n－1)·(－3)＝－1－3n.
由(2)得：c2n－1＝a2n－1·a2n－·(2n－1)2＝－.
c2n＝a2n·a2n＋1－·(2n)2＝－1.
∴ c1＋c2＋…＋c2006＝1003×(－1－)＝－