高一数学第二学期必修四学分考试

高一数学第二学期必修四学分考试

本试卷满分150分　　　　 考试时间120分钟

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡对应的位置上.

1. 化简等于（　　）

 A.　　　　B.　　　　   C.　 　　　 D.

解：A.

2.已知是的边上的中线，若、，则等于（　　）
A.　　　 B.　　　 C.　　　　D.

解：C.

3.已知，则的值为（　　）

A．　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　　　　 D．

解：B.

4. 已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为（　　）

 A.（－14，16）　　　　　　 B.（22，－11）

C.（6，1）　　　　　　　　 D.（2，4）

解：D。

5. 已知函数的周期为T，在一个周期内的图像如图所示，则正确的结论是（　　）

A．　　　　　　　　　　　　　B．

C．　　　　 D． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  

解：C。

6. 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（　　 ）

　 A．　　　　　 B．

C．　　　　　　D．

解：A.

7.若平面四边形ABCD满足，则该四边形一定是（　 ）

　　　　 A．直角梯形　　 　　B．矩形　　　　　　　 C．菱形　　　　　　　　　D．正方形

解：C.

8.函数的最小正周期是（　　）

Ａ．　　　　　　　　　　　 Ｂ．　　　　　　　　　　 　 Ｃ．　　　　　　　　　　　 　Ｄ．

解：函数＝，它的最小正周期是π，选B.

9. 设单位向量e₁、e₂的夹角为60°，则向量3e₁＋4e₂与向量e₁的夹角的余弦值是（　　）

A.　　　　　　B.　　　　　 C.　　　　　　　 D.

解：D cosθ＝.

10.定义运算，如.已知，，则（　　 ）

 A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　　D.  

解：Ａ.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡对应的横线上.

11.根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的值在各象限的符号（用“＋”或“－”）填入括号（填错任何一个将不给分）。

y

y

　　 

　　　 　 sin　　　　　　 cos　　　　 　 tan

y

y

　解：　 

12.已知点A（1，2）、B（3，4），则向量坐标为＿＿＿＿ .

解：（2，2）.

13. sin15°cos15°的值等于＿＿＿＿ .

解：sin15°cos15°＝sin30°＝.

14.设的值等于＿＿＿＿ .

解：.

15.已知函数，若对任意x∈R，都有，则＝＿＿＿＿.

解：0。

三、解答题：本大题共6小题，共75分.　解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分10分) 已知，且角是第四象限角，求与的值.

解： ∵、且角是第四象限角，　　　　　　　　　 …2分

　　∴，　　　　　　　　　　　　 …6分

　　　.　　　　　　　　　　　　　　　  …10分

17. (本小题满分12分)设，是两个相互垂直的单位向量，且，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

解法一：（1）由，且，故存在唯一的实数，使得，

即

　　　　　　　　　　　　　　　 …6分

（2），，即

，，　　 …12分

解法二：∵，是两个相互垂直的单位向量，

　　　　∴、，　　　　　  …4分

　　　　⑴∵，∴，解得；　　　　  …8分

　　　　⑵，，即，解得。…12分

18. (本小题满分12分)已知、，与的夹角为120°，求：⑴；⑵.

解：⑴；　　　　　　　　　　　　  …6分

⑵　　  …12分

19. (本小题满分13分)已知α∈(0，)，且cos2α＝.

(Ⅰ)求sinα＋cosα的值；

(Ⅱ)若b∈(，π)，且5sin(2α＋β)＝sinβ，求角β的大小 ．

解：(I)由cos2α＝，得1－2sin²α＝.　　　　　　　　　　　　 　 ……2分

　　所以sin²α＝，又α∈，所以sinα＝.　　　　　　 　　……3分

　　因为cos²α＝1－sin²α，所以cos²α＝1－＝.

　　又α∈，所以cosα＝　　　　　　　　　　　　　　　 ……5分

　　所以sinα＋cosα＝＋＝.　　　　　　　　　　  　 ……6分

　(Ⅱ)因为α∈，所以2α∈，

　　由已知cos2α＝，所以sin2α＝＝ ＝ 　　　　……7分

　　由5sin(2α＋β)＝sinβ，得5(sin2αcosβ＋cos2αsinβ)＝sinβ.　　　　　　……9分

所以5(cosβ＋sinβ)＝sinβ，即3cosβ＝－3sinβ，所以tanβ＝－1.　 　……11分

　　因为β∈， 所以β＝.　　　　　　　　　　　　　　　  ……13分

20. (本小题满分13分)已知函数（x∈R）.

⑴若有最大值2，求实数a的值；⑵求函数的单调递增区间.

解：⑴，

　 当（k∈Z）时，有最大值，　　　　　　　　　　　 …3分

　 即（k∈Z）时，有最大值为3＋a，∴3＋a＝2，解得；…6分

　 ⑵令，　　　　　　　　　　　　　　　　　  …9分

　　 解得（k∈Z）　　　　　　　　　　　　　　　　　  …12分

　　 ∴函数的单调递增区间（k∈Z）. 　　　　　　　　…14分

21. (本小题满分15分)已知定点A(－1，0)和B(1，0)，P是圆(x－3)²＋(y－4)²＝4上的一动点，求的最大值和最小值.

分析：因为O为AB的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。

解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：　　　　　　 …2分

又由中点公式得　　　　　　　  …4分

所以

　　　　　　 ＝

　　　　　　 ＝

　　　　　　 ＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　…8分

又因为 点P在圆(x－3)²＋(y－4)²＝4上，　　　　　　　　　　　　　　　　

所以 且　　　　　　　　　　　　　　　　  …10分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以　　　　　　　　　　　　　  …12分

即　故　　　　　　　　 …14分

所以的最大值为100，最小值为20.　　　　　　　　　　　　  …15分