夷陵中学高一数学培优资料
高一数学三角函数的综合应用测试
例1． 已知α、β为锐角，且x(α+β－
)＞0,试证不等式f(x)=
x＜2对一切非零实数都成立
证明
若x＞0，则α+β＞
∵α、β为锐角，∴0＜－α＜β＜;0＜－β＜,
∴0＜sin(－α)＜sinβ 0＜sin(－β)＜sinα，
∴0＜cosα＜sinβ,0＜cosβ＜sinα,
∴0＜
＜1,0＜
＜1, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(x)＜f(0)=2
若x＜0,α+β＜
,∵α、β为锐角， 0＜β＜－α＜,0＜α＜－β＜,
0＜sinβ＜sin(－α), ∴sinβ＜cosα,0＜sinα＜sin(－β),
∴sinα＜cosβ,∴＞1, 
＞1,
∵f(x)在(－∞,0）上单调递增，∴f(x)＜f(0)=2,∴结论成立
例2、已知函数f(x)=tan(
sinx)
（1）求f(x)的定义域值域；
（2）在（－π，π）中，和求f(x)的单调区间；
（3）判定方程f(x)=tan
π在区间（－π，π）上解的个数。
解：（1）∵－1≤sinx≤1 ∴ － ≤sinx≤。又函数y=tanx在x=kπ+
(k∈Z)处无定义，
且 （－，）
[－,]（－π, π），
∴令sinx=±，则sinx=±
解之得：x=kπ±
(k∈Z)
∴f(x)的定义域是A={xx∈R，且x≠kπ±，k∈Z}
∵tanx在（－，）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y=
sinx的值域B满足（－，）B ∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。
（2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x=和x=
处无定义。
设t=sinx，则当x∈[0, )∪（，）∪（，π）时，t∈[0, 
∪(,
，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增。
又∵当x∈[0，]时，函数t=sinx单调递增，且t∈[0,
当x∈（，时，函数t=sinx单调递增，且t∈（,
当x∈[，时，函数t=sinx单调递减，且t∈（,
当x∈（，π）时，函数t=sinx单调递减，且t∈（0，）
∴f(x)=tan(sinx)在区间[0，,（,上分别是单调递增函数；在
上是单调递减函数。
又f(x)是奇函数，所以区间（－，0，[－，－也是f(x)的单调递增区间
是f(x)的递减区间。
故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－，－，（－，），（，单调递减区间为
。
（3）由f(x)=tanπ得：tan(sinx)=tan(π)
sinx=kπ+π （k∈Z）
sinx=k
+
(k∈Z)①
又∵－1≤sinx≤1，∴
∴k=0或k= －1
当k=0时，从①得方程sinx= 当k=1时，从①得方程sinx= －+
显然方程sinx=,sinx= －+，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tanπ在区间（－π，π）上共有4个解。
例3．（2004年全国卷Ⅱ）已知锐角三角形ABC中，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.
（Ⅰ）证明：
所以
（Ⅱ）解：
，
即
，将代入上式并整理得
解得
，舍去负值得
，
设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=
由AB=3，得CD=2+
. 所以AB边上的高2+.
例4． 如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=
，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．
（１）用a，表示S1和S2；
（２）当a固定，变化时，求
取最小值时的角．
解：（1）
设正方形边长为
，则
（2）当
固定，变化时，
令
，用导数知识可以证明：函数
在
是减函数，于是当
时，
取最小值，此时
。
例5、如图，A、B是一矩形 OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=，设∠AOE=α.
（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α);
（2）写出函数f(x)的取值范围。
当k=1时，从①得方程sinx= －+
当k=1时，从①得方程sinx= －+
解：（1）∵OE=1，EF=
∴∠EOF=60°
当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α)
∴f(α)=S△AOB=
[tan(45°+α)－tanα]
=
=
当a∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=
，OB=
∴
=S△AOB=OA·OB·sin45°=
··sin45°=
综上得：f(α)= 
（2）由（1）得：当α∈[0，
]时
f(α)= 
∈[,－1]
且当α=0时，f(α)min=；α=时，f(α)max=－1；
当α∈
时,－≤2α－
≤，f（α）=
∈[－,]
且当α=
时，f(α) min=－；当α=时，f(α) max= 所以f(x) ∈[,]。
巩固练习
1 函数y=－x·cosx的部分图象是( )
2 函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )
A 非奇非偶函数 B 仅有最小值的奇函数
C 仅有最大值的偶函数 D 既有最大值又有最小值的偶函数
3 函数f(x)=(
)｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________
4 设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－
，］上单调递增，则ω的取值范围是_________
5 设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sinα)≥0和f(2+cosβ)≤0
(1)求证 b+c=－1；
(2)求证c≥3；
(3)若函数f(sinα)的最大值为8，求b，c的值
6 有一块半径为R，中心角为45°的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问 工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值
7 设－
≤x≤
，求函数y=log2(1+sinx)+log2(1－sinx)的最大值和最小值
8 是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a·cosx+
a－
在闭区间［0，］上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由
参考答案
1 解析 函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, )时，y＜0
答案 D
2 解析
f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x－1+cosx=2［(cosx+
］－1
答案 D
3 解 在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－,0］及［,π］ 而f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－,0］及［,π］为f(x)的递减区间
4 解 由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－
,］，由题设得
5 解 (1)∵－1≤sinα≤1且f(sinα)≥0恒成立，∴f(1)≥0
∵1≤2+cosβ≤3,且f(2+cosβ)≤0恒成立 ∴f(1)≤0
从而知f(1)=0∴b+c+1=0
(2)由f(2+cosβ)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0 又因为b+c=－1,∴c≥3
(3)∵f(sinα)=sin2α+(－1－c)sinα+c=(sinα－
)2+c－(
)2,
当sinα=－1时，［f(sinα)］max=8,由
解得b=－4,c=3
6
解 如下图，扇形AOB的内接矩形是MNPQ，连OP，则OP=R，设∠AOP=θ，则∠QOP=45°－θ，NP=Rsinθ,在△PQO中，
，
∴PQ=
Rsin(45°－θ)
S矩形MNPQ=QP·NP=R2sinθsin(45°－θ)
=
R2·［cos(2θ－45°)－］≤
R2，
当且仅当cos(2θ－45°)=1,即θ=22 5°时，S矩形MNPQ的值最大且最大值为R2
工人师傅是这样选点的，记扇形为AOB，以扇形一半径OA为一边，在扇形上作角AOP且使∠AOP=22 5°，P为边与扇形弧的交点，自P作PN⊥OA于N，PQ∥OA交OB于Q，并作OM⊥OA于M，则矩形MNPQ为面积最大的矩形，面积最大值为R2
7 解 ∵在［－
］上，1+sinx＞0和1－sinx＞0恒成立，
∴原函数可化为y=log2(1－sin2x)=log2cos2x，
又cosx＞0在［－］上恒成立，
∴原函数即是y=2log2cosx,在x∈［－］上，≤cosx≤1
∴log2≤log2cosx≤log21，即－1≤y≤0，也就是在x∈［－］上，ymax=0, ymin=－1
综合上述知，存在
符合题设