高一下学期段考二数学试题
2008年5月31
第I卷
参考公式:
样本数据
的标准差 
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，并将答案填涂在答题卡上.
1.
=
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2.
为第几象限的角
（ ）
A.第一象限或第三象限 B.第一象限
C.第一象限或第四象限 D.第二象限或第三象限
3.下列说法正确的是 （ ）
A.向量
的长度与向量
的长度相等,方向相反
B.向量
与
平行，则与的方向相同或相反
C.向量与向量
是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上
D.单位向量都相等
4.函数
是
（ ）
A.周期为
的奇函数 B.周期为的偶函数 C.周期为
的奇函数 D.周期为的偶函数
5.已知一组数据: 
的平均数是
, 那么,这组数据的标准差是 （ ）
A.
4
B.2
C. 
D.
10
6.如图（1）,在平行四边形
中,点
是对角线的交点,关于下列说法，正确的个数的是 ( )
①
②
③
④向量
,
不能作为这一平面的一组基底
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
7.函数
在一个周期上的图象为图（2）所示．
则函数的解析式是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图（3），平面内的两条相交直线
将平面分成四个部分Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界),若
,且点
落在第Ⅲ
部分,则实数
满足
（ ）
A.
B.
C.
D.
9.如图（4）所示的算法中,令
,
若在集合
中,
给
取定一个值,输出的结果是
,则所在的范围是（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
10.设
为三个非零向量,若
,则
的取
值范围是（ ）
A.
B. 
C. 
D. 
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
11.某中学有高一、高二、高三学生共1 600名，其中高三学生400名.如果用分层抽样的方法从这1 600人抽取一个160人的样本，那么应当从高三学生中抽取的人数是_________________.
12.已知
，
，则向量与的夹角为______________,
______________.
13. 某科研小组共有5个成员，其中男研究人员3人，女研究人员2名，现选举2名代表，那么
至少有1名女研究人员当选的概率为___________________.
14.给出下列命题：
①函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象．
②若
、
是第一象限的角且
③若
是锐角
的任意两个内角,则一定有
成立
④
是函数
的一条对称轴方程
⑤已知函数
,若
,则
必是的整数倍
其中正确命题的序号是____________________．（写出所有正确命题的序号）
第II卷
二.填空题(每题5分,共20分)
11. 12.
13. 14.
三.解答题(共6个小题,共80分；解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本题12分) 已知角
的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在
轴的非负半轴上，终边经过点
，求
的值.
16. (本题13分)已知向量
，分别求使下列结论成立的实数
的值
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
；
17. (本题13分)已知点
.
（Ⅰ）若
，求
和
的值
（Ⅱ）若
，其中
为坐标原点，求
的值.
18. (本题14分)设函数
的图象关于点
对称.
（Ⅰ）求
;
（Ⅱ）求函数
的单调增区间;
（Ⅲ）求函数在
上的最大值和取最大值时的.
19. (本题14分)如图（5）所示,已知
设
是直线
上的一点, (其中为坐标原点).
(Ⅰ)求使
取最小值时的点的坐标和此时
的余弦值.
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的.若
是线段
的三等分点,且
,
与
交于点
,设
试用
表示
和
.
20. (本题14分)设
,函数
的定义域为
,且
,当
,有
；函数
是定义在
上单调递增的奇函数.
(Ⅰ)求
和
的值(用表示);
(Ⅱ)求的值;
(Ⅲ)当
时, 
对所有的均成立,求实数
的取值范围.
四．附加题 （本题满分10分，该题得分加入总分中，全卷总分上限为150分）
21.设是定义在上以2为周期的函数,对
,用
表示区间
.
已知当
时,函数
.
(1)
求在上的解析式;
(2)
对自然数
,求集合
{
使方程
在上有两个不相等的实根}.
高一下学期段考2数学试题
答案及评分标准
一.选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分.
1.B 2.A 3.A 4.D 5.C 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
11.
______40_________.
12.____
______ _____
_____.
13.
_______
_______.
14.____③④______.
三.解答题：本大题共6个小题,满分80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题12分)
已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，求的值.
解:由三角函数的定义可知,
------------3分
------------5分
---------------7分
因为
---------10分(每个公式1分)
-------------12分
16.(本题12分)
已知向量，分别求使下列结论成立的实数的值
（Ⅰ）;
（Ⅱ）.
解（Ⅰ）因为,所以
--------2分
--------------5分(只要用了垂直的公式就可以酌情给分)
-----------6分
（Ⅱ）因为,所以
---------8分
------------------------11分(只要用了共线的公式就可以酌情给分)
-----------12分
17. (本题14分)
已知点.
（Ⅰ）若，求和的值;
（Ⅱ）若，其中为坐标原点，求的值.
解:（Ⅰ）
------------1分
-------2分
--------3分
--------4分
因为
-------------5分
----------7分
------------------8分
（Ⅱ）
-----------------------9分(只要写出
就给分)
---------------10分
-----------12分
----------13分
----------14分
18.(本题14分)
设函数
的图象关于点对称.
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）求函数的单调增区间;
（Ⅲ）求函数在上的最大值和取最大值时的.
解: （Ⅰ）因为函数
的图象关于点对称,所以图象经过点
----------------1分
----------------3分
因为
,所以
---------------4分
（Ⅱ）函数为
,
因为
在
内单调增,-----------5分
所以当
---------8分
所以的单调增区间为
----9分(未说明或没有用区间和集合的扣1分)
（Ⅲ）因为
--------10分
令
,
由的图象和单调性可知
--------12分
,且当
时,--------------13分
函数取得最大值为2.-----------14分
19. (本题14分)
如图（5）所示,已知设是直线上的一点,(其中为坐标原点).
(Ⅰ)求使取最小值时的点的坐标和此时的余弦值.
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的.若是线段的三等分点,且,与交于点,设试用表示和.
解: (Ⅰ)因为
三点共线,所以
-----1分
--------2分
--------4分
所以当
即
时, 取最小值--------5分
此时
----------7分
(Ⅱ) 因为
,令存在实数
,使得
------9分
因为
,由B,F,D三点共线,可知存在实数
使得
------11分
又因为O,F,X三点共线,所以存在实数
使得,
---------------13分
所以
---------14分
20. (本题14分)
设,函数的定义域为,且,当,有
；函数是定义在上单调递增的奇函数
(Ⅰ)求和的值(用表示)
(Ⅱ)求的值
(Ⅲ)当时, 对所有的均成立,求实数的取值范围
解(Ⅰ) 因为当,有
所以,令
------------------2分
所以,令
------------------4分
(Ⅱ) 令
令
----------------6分
所以
或
或
------------8分
(Ⅲ) 因为是定义在上单调递增的奇函数,所以
-----------9分
令
----------10分
原题等价于“对于任意
，
恒成立” ----------10分
令函数
所以对称轴
①当
时，只需满足
（舍去）----------11分
②当
时，只需满足----------12分
，以
③当
时，只需满足
所以
-----13分
综上所述：
--------------14分
（本题(Ⅲ)还可以用分离变量法或数形结合，其它方法酌情给分）
四．附加题 （本题满分10分，该题得分加入总分中，全卷总分上限为150分）
21.设是定义在上以2为周期的函数,对,用表示区间.
已知当时,函数.
(1)
求在上的解析式;
(2)
对自然数,求集合{使方程在上有两个不相等的实根}.
解：（1）因为是以2为周期的函数，所以当时，
是的周期函数
又当
时，
，所以
，
即当，时，
.
…………………………..3分;
（2）[1] 当
时, 
表示区间
, 此时, 令
则欲使方程
有两个不等根,即使与这两个函数图像有两个不同交点.如图所示,
只要：
或
即可………5分
[2] 当
时, 表示区间, 此时, 令则欲使方程 有两个不等根,即使与这两个函数图像有两个不同交点.如图所示,
只要：
即可……….7分
[3] 当
时, 表示区间, 此时, 令则欲使方程 有两个不等根,即使与这两个函数图像有两个不同交点.如图所示,
只要：
即可……………9分
综上所述：[1] 当时, 或；
[2] 当时, ；
[3] 当时, ……………….10分
注: 本题还可以用“根的分布”的方法，请酌情给分.