讲义一： 集合的含义与表示（2课时）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、Ï关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。集合：用大写字母A，B，C，…表示；
2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x2+1｝；｛x2-x-2=0｝，｛x x2-x-2=0｝,｛xy=x2+1｝；｛ty=t2+1｝；｛yy=x2+1｝；｛(x,y)y=x2+1｝； Æ；｛Æ｝,｛0｝
3、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、Æ；
（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
一、集合的概念以及元素与集合的关系：
1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A，B，C，…表示；元素与集合的关系：∈、Ï
②、特殊的集合：N、Z、Q、R；N*、Æ；
③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：
★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a2+5a,10｝,又-3∈A，求出a之值。
●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=
▲★课堂练习：
1、书本P5：练习题1；P11：习题1.1：题1、2、5：①②
2、已知集合A=｛1，0，x｝,又x2∈A，求出x之值。(解：x=-1)
3、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a2+3a+3｝,又1∈A，求出a之值。（解：a=0)
二、集合的表示---------列举法和描述法
★【例题2】、书本P3：例题1、P4：例题2
★【例题3】、已知下列集合：（1）、
=｛n n = 2k+1,k
N,k
5｝；（2）、
=｛x x = 2k, kN, k3｝；（3）、
=｛x x = 4k＋1,或x = 4k－1,k
k3｝；
问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合，，，如果使kZ,那么，，所表示的集合分别是什么？并说明与的关系。
●
解：(Ⅰ)、⑴ =｛n n = 2k+1,kN ,k5｝＝｛1，3，5，7，9，11｝；
⑵、=｛x x = 2k, kN, k3｝＝｛0，2，4，6｝；
⑶、=｛x x = 4k
1,kk3｝＝｛－1，1，3，5，7，9，11，13｝；
（Ⅱ）、对集合，，，如果使kZ,那么、所表示的集合都是奇数集；所表示的集合都是偶数集。
▲点评：（1）通过对上述集合的识别，进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解；
（2）掌握奇数集．偶数集的描述法表示和集合的图示法表示。
★【例题4】、已知某数集A满足条件：若
，则
.
①、若2
，则在A中还有两个元素是什么；②、若A为单元素集，求出A和
之值.
● 解：①
和
； ②
（此时
）或
（此时
）。
▲●课堂练习：
1、书本P5：练习题2；P12：题3、4
2、设集合M=｛xx= 4m+2,m∈Z｝,N=｛yy= 4n+3,n∈Z｝，若x0∈M,y0∈N，则x0·y0与集合M、N的关系是（ A）：A、x0·y0∈M B、x0·y0ÏM C、x0·y0∈N D、无法确定
●解：x0·y0= 4(4mn+3m+2n+1)+2,则x0·y0∈M
三、今日作业：
1、已知集合B=｛xax2-3x+2=0,a∈R｝,若B中的元素至多只有一个，求出a的取值范围。（解：a=0或a≥9/8)
2、已知集合M=｛x∈N∈Z｝，求出集合M。（解：M=｛0，1，2，5｝
3、已知集合N=｛∈Z x∈N｝，求出集合N。（解：N=｛1，2，3，6｝
四、提高练习：
★【题1】、(2006年Æ·辽宁·T5·5分）设⊕是R上的一个运算,A是R上的非空子集,若对任意的a、b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（ C ）
A 自然数集 B 整数集 C 有理数集 D 无理数集
★【题2】（2006年·山东·T1·5分）定义集合运算：A⊙B=｛z︳z= xy(x+y)，z∈A，y∈B｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（ D ）
（A）0 （B）6 （C）12 （D）18
★【题3】（2005年·湖北·T1·5分）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=
，则P+Q中元素的个数是（ B ）
A．9 B．8 C．7 D．6
★【题4】（广东2007年理科·8题）设
是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的
，对于有序元素对（
），在中有唯一确定的元素
与之对应）．若对任意的，有
，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ A ）
A．
B．
C．
D．
（Ⅲ）、课堂回顾与小结：
1、 记准N、Z、Q、R；Æ
2、 分清列举法和描述法，注意集合中的元素是否满足互异。Æ◆Ü÷
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讲义二： 集合之间的基本关系（2课时）
撰稿：
方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、集合之间的基本关系：包含关系------子集Í、真子集Ü、空集Æ；集合的相等。
2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。
（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
（一）、集合之间的基本关系：子集Í、真子集Ü、空集Æ（如方程x2+1=0的根）；集合的相等。
（二）、含有n个元素的集合A的子集个数是_____2n,,真子集个数是___2n-1,非空真子集：2n-2
★【例题1】、已知集合P=｛xx2-5x+4≤0｝,Q=｛xx2-(b+2)x+2b≤0｝且有PÊQ，求实数b的取值范围。
●解：{b1≤b≤4}；注意利用数轴去加以判断。
★【例题2】、（2007年湖南·10题）．设集合
， 
都是
的含两个元素的子集，且满足：对任意的
，
（
，
），都有
（
表示两个数
中的较小者），则
的最大值是（ B
）
A．10 B．11 C．12 D．13
★【例题3】、（2007年北京文科·15题·12分）记关于
的不等式
的解集为
，不等式
的解集为
．
（I）若
，求； （II）若
，求正数的取值范围．
●解：（I）由
，得
．
（II）
．
由
，得
，又，所以
，即的取值范围是
．
▲★课堂练习：
1、书本P7：练习题1、2、3；P12： 5：①②③；B组第2题。
2、已知集合A=｛2，8，a｝, B=｛2，a2-3a+4｝,又AÝB，求出a之值。(解：a= -1或4)
3、已知集合A=｛x-3≤x≤4｝B=｛x2m-1≤x≤m+1｝,当BÍA时，求出m之取值范围。（解：m≥-1)
特别注意：当BÍA时，B一定包括有两种情形：B=Æ或B≠Æ，解题时极易漏掉B=Æ这一情况从而出错！
（三）、今日作业：
●1、判断下列集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：
①、已知集合A=｛xx=2k-1,k∈Z｝B=｛xx=2m+1,m∈Z｝(解：A=B）
②、已知集合A=｛xx=2k,k∈Z｝B=｛xx=4m,m∈Z｝(解：B Í A）
●2、已知集合M=｛x-2≤x≤5},N={xm+1≤x≤2m-1}
①、若NÍM，求实数m的取值范围；（解：m≤3，注意N为Æ的情况！)
②、若x∈Z，则M的非空真子集的个数是多少个？（解：28-2=254个）
③、（选做）当x∈R 时，没有元素使得x∈M与x∈N同时成立，求实数m的取值范围（解：m<2或m>4)
（四）、提高练习：
★【题1】、设集合S=｛a,b,c,d,e｝,则包含｛a,b｝的S的子集共有（D ）个
A 2 B 3 C 5 D 8
★【题2】、集合A=｛（x,y)2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C ）
Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７
★【题3】、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B=｛(x,y)x∈A, y∈B｝,若A=｛1，3｝，B=｛2，4｝，则点集A×B的非空真子集的个数是___14_个
★【题4】、集合
的真子集个数是 （
A ）
（A）16 （B）8 （C）7 （D）4
●解答、
，A的真子集有：
，共7个，选C
★【题5】、（2004湖北）已知集合P=｛m-1<m<0},Q={m∈Rmx2+4mx-4<0对任意的x∈R恒成立}，则有（ B ）
A P=Q B PÜQ C PÝQ D P∩Q=Q
★【题6】、设集合M=｛xx= +,k∈Z｝,N=｛xx= +,k∈Z｝,则（ B）
A M=N B MÜN C MÝN D M∩N=Æ
（Ⅲ）、课堂回顾与小结：
3、 分清子集Í、真子集Ü、空集Æ；注意Æ的特殊性。
4、 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。
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讲义三： 集合之间的基本运算（2课时）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、集合之间的基本运算：①、交集A∩B=｛xx∈A且x∈B｝;
②、并集A∪B=｛xx∈A或x∈B｝；
③、全集和补集：CUA=｛xx∈U且xÏA｝
2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。
（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
（一）、集合之间的基本运算：
A∩B=｛xx∈A且x∈B｝; A∪B=｛xx∈A或x∈B｝；CUA=｛xx∈U且xÏA｝
（二）、A∪B=A ⇔BÍA，要特别注意B是否为Æ的情况的讨论。
★【例题1】、已知集合A=｛xx2-2x-8=0｝,B=｛xx2+ax+a2-12=0｝且有A∪B=A ，求实数a的取值集合。
●解：{aa<-4,或a=-2,或a≥4}；注意Æ，注意分类讨论。
★【例题2】、已知全集U=｛xx≤4｝,集合A=｛x-2<x<3｝, 集合B=｛x-3<x≤3｝,求①、CUA，②、A∩B，③、CU（A∩B），④、（CUA）∩B，⑤、CU（A∪B）
●解：{aa<-4,或a=-2,或a≥4}；注意Æ，注意分类讨论。
★【例题3】、已知集合A=｛xx2-4mx+2m+6=0｝,B=｛xx<0｝,且有A∩B≠Æ，求实数m的取值范围。
●解：（正难则反，补集的思想）｛mm≤-1｝
▲★课堂练习：
◆1、书本P11：练习题1、2、3、4；P12： 6、7、8、9；B组第3、题。
◆2、、(2006年·辽宁·T1·5分）设集合A=｛1，2｝，则满足A∪B=｛1,2,3｝的集合B的个数为( C )
A 1 B 3 C 4 D 8
◆3、(2005年·全国Ⅰ·T2·5分）设I为全集，S1、S2、S3是I 上的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下列论断正确的是（ C ）
A CIS1∩（S2∪S3）=Æ B S1Í（CIS2∩CIS3） C CIS1∩CIS2∩CIS3=Æ D S1Í（CIS2∪CIS3）
◆ 4、已知集合A=｛x-3≤x≤4｝B=｛x2m-1≤x≤m+1｝,当A∪B=A时，求出m之取值范围。
（解：m≥-1)
特别注意：当BÍA时，B一定包括有两种情形：B=Æ或B≠Æ，解题时极易漏掉B=Æ这一情况从而出错！
（三）、今日作业：
●1、已知集合A=｛xx+2>0｝,B=｛xax-3<0｝且有A∪B=A，求a 的取值范围。 (解：｛aa≤-3/2｝）
●2、书本P12：10题、B组4题。
（四）、提高练习：
●★【题1】、设全集U=R，A=｛x <0｝,B=｛xx<-1｝,则图中阴影部分所表示的集合是（ C ）
A ｛xx>0｝ B ｛x-3<x<0｝ C ｛x-3<x<-1｝ D ｛xx<-1｝
●★【题2】、集合A=｛（x,y)2x+y=5,x∈N,y∈N｝,则A的非空真子集的个数为（C ）
Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７
★【题3】、集合M=｛xx-3≤4｝,N=｛yy= +｝,则M∩N=____｛0｝
★【题4】、(2004年·上海·T3·4分）设集合A=｛5，log2(a+3)｝，集合B=｛a,b｝若满足A∩B=｛2｝，则A∪B=____｛1，2，5｝
★ 【题5】、①已知集合A=｛yy=｝,B=｛yy=x2-2x-3,x∈R｝,则A∩B=____｛yy≥0｝
②已知集合A=｛xy=｝,B=｛yy=x2-2x-3,x∈R｝,则A∩B=____｛xx≥1或≤x≤｝
★【题6】、已知集合P=｛xx2-5x+4≤0｝,Q=｛xx2-(b+2)x+2b≤0｝且有PÊQ，求实数b的取值范围。
解：(答案：{b1≤b≤4}）
★【题7】、若全集I=R，¦(x),g(x)均为x的二次函数，且P=｛x¦(x)<0｝,Q=｛x g(x)≥0,｝则不等式组
的解集可用P、Q表示为___( P∩CRQ)
★【题8】、．如右图所示，I为全集，M、P、S为I的子集，则阴影部分所表示的集合为（ C ）
A．(M∩P)∪S B．(M∩P)∩S
C．(M∩P)∩(CI S） D．(M∩P)∪(CI S）
●题9、（2007年江苏第2题）．已知全集
，
，
，则A∩(CRB)为（ A ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
★题10、（07北京）已知集合
，
，若
，则实数的取值范围是
.
（Ⅲ）、课堂回顾与小结：
5、 注意集合之间的运算：交、并、补；
6、 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。
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讲义四： 函数及其表示（1）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、 函数概念：书本：P15实例1、炮弹的发射——解析法；实例2、臭氧问题——图象法；实例3、恩格尔系数——列表法；
2、 函数的定义：P16定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数
和它对应，那么称
为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：
. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合
叫值域（range）；注意记为y=f(x),x∈A；
3、 构成函数的三要素是：定义域、值域、对应法则。
4、函数y=f(x)的定义域和值域：已学的一次函数
、二次函数
的定义域与值域？
●练习：题1、
，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。
→ 题2、求
值域.
5、 区间的概念：
●练习：1、用区间表示：R、{xx≥a}、{xx>a}、{xx≤b}、{xx<b}
2、 用区间表示：函数y＝
的定义域
，值域是 。
●作业： 已知函数f(x)=3x
＋5x－2,求f(3)、f(-
)、f(a)、f(a+1)
（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
（一）、函数的概念：
（二）、函数的定义域的常见求法：
★【例题1】、书本P17例题1、例题2
★【例题2】、如果函数¦(x)满足：对任意的实数m、n都有¦(m)+ ¦(n)= ¦(m+n)且¦(1003)=2，则¦(1)+ ¦(3)+ ¦(5)+…+¦(2005)=____(2006)
★【例题3】、(06·重庆·T21·12分)已知定义域为R的函数f(x)满足¦(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
▲解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.；又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.
所以对任意x∈R，有f(x)- x2
+x= x0.；在上式中令x= x0,有f(x0)-x
+ x0= x0,
又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.；若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为f(x)= x2 –x+1（xR）.
▲★课堂练习：
●练习题：书本P19题1、2、3；书本P24：习题1、2、3、4、5
●思考题：已知函数¦（x）对一切实数x、y均有¦（x+y）-¦（y）=（x+2y+1）·x成立，且¦（1）=0
①求¦（0）之值;②当¦（x）+3<2x+a 且0<x< 恒成立时，求a的取值范围
解、①¦（0）=-2； ②化为a>(x-)2+从而有｛a a≥1｝为所求（函数的恒成立问题——函数思想去处理！）
（三）、今日作业：
●1、设f(x)＝
，则f[f(
)]＝( B )
(A) (B)
(C)－
(D) 
解：f[f(
)]=f[-1-2]=f[-
]=
,选(B)
（四）、提高练习：
★【题1】、已知函数f (x)=2x-1,
，求f[g(x)]和g[f(x)]之值。
★【题2】、书本：P25：6题。
★【题3】、已知函数f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)之表达式
★【题4】、已知函数f(+4)=x+8+2，求f(x2)之表达式（学习高手P44）
★思考题：【题5】、二次函数¦（x）=ax2+bx (a,b为常数且a≠0)满足¦（-x+5）=¦（x-3）且方程¦（x）=x有等根；①求¦（x）的解析式；②是否存在实数m、n(m <n)使¦（x）定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m、n之值，若不存在，说明理由
解、①¦（x）=-x2+x ②由于¦（x）的值域是¦（x）≤,则3n≤,即n≤,所以有¦（m）=3m且¦（n）=3n
∴存在实数m=-4,n=0使¦（x）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]
（Ⅲ）、课堂回顾与小结：
1、注意函数的表示和定义域问题。
2．已知函数
，
分别由下表给出
|
| 1 | 2 | 3 |
|
| 1 | 3 | 1 |
|
| 1 | 2 | 3 |
|
| 3 | 2 | 1 |
则
则
的值
为 ；满足
的的值是 2．
3．设函数
，则
．
4、已知a,b为常数，若
则
2 .
5．函数
, 则
（ B ）
A．2 B．－2
C．
D．
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讲义五： 函数及其表示（2）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
函数的概念、函数的定义域、值域，注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。
【★例题1】设¦（x+1）的定义域为[-2,3）则¦(
+2）的定义域为___({xx≤或x>}
【★例题2】、将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售个数就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少元。
★●练习题:
1、下面可能表示函数的图象的是( )
★1、（07广东）客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是（ ）
A. B. C. D. B.
（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
●例题1：（2000年全国高考题）某种蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内，西红柿市场售价p与上市时间t的关系图是一条折线（如图(1)），种植成本Q与上市时间t的关系是一条抛物线（如图(2)）①、写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式p=f(t).
②、写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g(t).
③、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
p
Q
300
300
250
200
200
150
100
100
50
O 100 200
300 t
O 50 100 150 200 250 300 t
(图1) （图2）
●解:（1）f(t)=
（2）g(t)=
.
（3）纯收益h(t)=f(t)-g(t)
=
当t=50时，h(t)的最大值为100，即从2月1日开始的第50天西红柿的纯收益最大．
★【题2】如右图,已知底角45º为的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为
,当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线
从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中阴影部分的面积y与x的函数关系式.
解： 
●【题3】、有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:
| a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| n | o | p | q | r | s | t | u | v | w | x | y | z |
| 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
给出如下一个的变换公式:
x′= (x∈N,1≤x≤26,x不能被2整除)
+13(x∈N,1≤x≤26,x能被2整除) 将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q；5→=3，即e变成c。①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？
●解：①g→7→=4→d;o→15→=8→h;d→o;则明文good的密文为dhho
②逆变换公式为x= 2x′-1 (x′∈N, 1≤x′≤13)
2x′-26 (x′∈N,14≤x′≤26),则有s→19→2×19-26=12→l;h→8→2×8-1=15→o,x→24→2×24-26=22→v;c→3→2×3-1=5→e;故密文shxc的明文为love.
四、今日作业：
★1、．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（kg）
与其运费（元）由如图的一次函数图像确定，那
么乘客免费可携带行李的最大重量为 ______
_____19 kg _.
★2．某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠。”若全票价为240元.；（I）设学生数为x，甲旅行社收费为
，乙旅行社收费为
，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；（II）当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；（III）就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.
★解：（I）=120x+240, =240·60%(x+1)=144x+144.
（II）根据题意，得120x+240=144x+144, 解得 x=4.
答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多.
（III）当>，120x+240>144x+144， 解得 x<4;
当<, 120x+240<144x+144, 解得 x>4.
答：当学生人数少于4人时,乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠.
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义六： 函数的值域和映射概念
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（Ⅰ）、基本概念及知识体系：
函数的概念、函数的定义域、值域，注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。
【★例题1】
■①、设¦（x+1）的定义域为[-2,3）则¦(+2）的定义域为___({xx≤或x>}
■②、求下列函数的定义域（用区间表示）
f(x)=
； f(x)=
； f(x)=
－
（Ⅱ）、教学：函数值域的求法：
1、常见函数的值域：①、一次函数y= kx+b (k≠0)的值域： ②、二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)的值域： ③、反比例函数y= (k≠0)的值域：
●例2：求值域（用区间表示）：y＝x
－2x＋4；f(x)＝；y＝
；f(x)＝
；
▲★：小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法
（Ⅲ）、巩固练习：
▲1、求下列函数的值域：
①、y= 4-：配方及图象法： ②、y=+x的值域 （换元法答案：y≤1); ③、y= 分离常数法： ④、y= 判别式法或均值不等式法：
●2.求函数y＝－x
＋4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域。
解、（数形结合法）：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域（注意描成阴影部分）
◆3.已知函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(x＋a)的定义域是 。
＃●4.课堂作业：书P24： 1、2、3题。
（Ⅳ）、综合提高部分：
【★例题1】设函数¦(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值为g(t),写出g(t)的表达式。
解:注意利用图形去处理问题,培养一种数形结合的思想方法.
【★题2】 设函数¦（x）表示-2x+2与-2x2 +4x+2中的最小值,则¦（x）的最大值为( B )
A 1 B 2 C 3 D 0
（Ⅴ）、典例剖析与课堂讲授：
●★【例题3】、二次函数¦（x）=ax2+bx(a,b为常数且a≠0)满足¦（-x+5）=¦（x-3）且方程¦（x）=x有等根；①求¦（x）的解析式；②是否存在实数m、n(m <n)使¦（x）定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m、n之值，若不存在，说明理由
▲解、①¦（x）= -x2+x ②由于¦（x）的值域是¦（x）≤,则3n≤,即n≤,所以有¦（m）=3m且¦（n）=3n ∴存在实数m=-4,n=0使¦（x）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]
●注意：若函数满足有：¦（a+x）=¦（b-x）则此函数必有对称轴：x=
(Ⅵ). 教学映射概念：
① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意
, 
，对应法则：开平方；
，
，对应法则：平方；
, 
, 对应法则：求正弦；
② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应
为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“”
关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.
口诀：看原象，要求每元必有象，且象唯一。对应方式：一对一；多对一；不允许一对多！
2.教学例题：
① 出示书本例题7： 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？
A={P P是数轴上的点}，B=R； A={三角形}，B={圆}；
A={ P P是平面直角体系中的点}， 
； A={高一某班学生}，B= ？
③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则
；
，对应法则
；
，
，
；
设
；
，
三、巩固练习： 1、练习：书P23、 2、3、4题； 2.课堂作业：书P28 10题.
（Ⅲ）、课堂回顾与小结：
1、 函数的定义域、值域的求解————特别是图形结合的应用；
2、映射的概念及注意之处。
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讲义七： 函数图象的基本变换
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（一）、基本概念及知识体系：
1、常见函数的图象：①、一次函数y= kx+b (k≠0)： ②、二次函数y= ax2+bx+c (a≠0)： ③、反比例函数y= (k≠0)：
2、基本的图象变换：
特别要求注意函数y=f(x)和函数y=f(x)的图象的作图方法.
①、平移变化：y=¦（x)左移m：Þ_______；y=¦（x)右移m：Þ_______；y=¦（x)上移h：Þ_______；y=¦（x)下移h：Þ_______；
③、对称变化： y=¦（-x)的图象为：_____；y=-¦（x)的图象为：_____； y= -¦（-x)的图象为：_____； y=¦（x)的图象为：_____ ；y=¦（x)的图象为：_____；
3、几个常用结论：①、若函数y=¦（x)满足¦（x+a)= ¦（b-x)恒成立，则函数y=¦（x)的对称轴为直线x=；②、若两个函数y=¦（a+x) 与函数y=¦（b-x)，则它们的图象关于直线x= 对称。
(二)、典例剖析和教学过程：
【★例题1】P21、例题5、画出函数y=x的图象
●练习题
★1、书本第P23、练习题3题：画出函数y=x-2的图象；
★题2：画出函数y= x2-2x-3的图象。
★3、函数y=¦（x)=x+3/x+4的图象是由函数y=¦（x)=1 /x经过怎样的变换而得到的?
（三）、关于分段函数的图象问题:
书本例题：第P21 题1：招手即停的应用问题
★练习题:
※【题1】给出两个命题,甲:不等式x+x-2<m有解
乙:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若甲真乙假，则m的取值范围为＿＿＿＿
●解、①甲真，则不等式x+x-2<m有解Þm>2
②乙假,则方程4x2+4(m-2)x+1=0有实根，
即△＝［４（m-2)]2-4×4×1≥0Þm≤1或m≥3 ∴｛mm≥3｝为所求
※【★题2】不等式x+x-2c>1的解集为Ｒ(c>0)，则c的取值范围为＿ ●解、｛cc>｝
（四）、函数图象的应用：
★【★题1】已知函数¦（x）=x2-2(2a+1)x +a2(a∈R)，当x∈[0,1]时，求出函数¦（x）的最小值g(a) a2 (a≤)
●解、g(a) = -3a2-3a-1 (≤a≤0)
a2-4a-1 , (a>0)
【★题2】对
,记
；函数
的最小值是 .
●解析：由
，故
，其图象如右，
则
。
（五）、利用函数的图象去观察函数的单调性和最值的问题：
★书本第P29例题1：
（六）、今日作业:
●画出下列函数的图象:《学习高手》第P62的例题4
（七）、课堂回顾与小结：
注意利用函数图象的基本初等变换去处理问题（上下平移、左右平移之规律）。
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讲义八： 函数的的基本性质----单调性和最值(1)
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（一）、基本概念及知识体系：
1、教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
2、教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。
3、教学难点：理解概念。
（二）、教学过程与典例剖析：
●、复习准备：
1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？
2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律：
①随x的增大，y的值有什么变化？
②能否看出函数的最大、最小值？
③函数图象是否具有某种对称性？
★题3. 画出函数f(x)= x＋2、f(x)= x的图像。（小结描点法的步骤：列表→描点→连线）
二、讲授新课：
1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：
①根据f(x)＝3x＋2、 f(x)＝x (x>0)的图象进行讨论：
随x的增大，函数值怎样变化？ 当x
>x
时，f(x)与f(x)的大小关系怎样？
②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？
③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数（increasing function）
④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性
⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。
⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？y＝x的单调区间怎样？
③练习（口答）：如图，定义在[-4,4]上的f(x)，根据图像说出单调区间及单调性。
2.教学增函数、减函数的证明：
①出示
★例1：指出函数f(x)＝－3x＋2、g(x)＝
的单调区间及单调性，并给出证明。
（由图像指出单调性→示例f(x)＝－3x＋2的证明格式→练习完成。）
②出示例2：物理学中的玻意耳定律
（k为正常数），告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.
（学生口答→ 演练证明）
③小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。
判断单调性的步骤：设x
、x
∈给定区间，且x<x； →计算f(x)－f(x)至最简→判断差的符号→下结论。
三、巩固练习：
1.求证f(x)＝x＋的(0,1]上是减函数，在[1,+∞)上是增函数。
2.判断f(x)=x、y=x
的单调性并证明。
3.讨论f(x)=x－2x的单调性。 推广：二次函数的单调性
4.课堂作业：书P43 1、2、3题。
四、本堂课之备选例题和习题：
★例题1、证明函数y=x3-b（b为常数）是R上的增函数。（见教案P40面题1）
★例题2、定义（-1，1）上的函数f(x)是↘，且满足f(1-a)<f(a)，求实数a的取值范围。
● 解：0<a<1/2. （见教案P40面题2）
★例题3、求函数y= （当-2≤x≤1时)，求出其最大值和最小值
●解：最大值为，最小值为0。见教案P44面题补充练习题）
●★例题4、已知
则不等式
≤5的解集是
.x≤3/2
五、备选之练习题：
★题1、已知函数f(x)= (x∈[2,+∞),证明该函数为↗，并求出其最小值。
解：（见教案P45面题2）；（为）
★题2、已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在[2，3]上的最大值为5和最小值为2，求出a和b 之值。
●解：a=-1,b=3或a=1,b=0见教案P45面题1。
★题3、已知函数f(x)= x2+bx+c,对任意的实数t,都有f(2=t)=f(2-t),试比较f(1)、f(2)、f(4)之大小。
●解：见教材全解P108例题4；注意函数满足f(a+x)=f(b-x)时，其对称轴为x=a+b/2；同时要注意利用对称性，将所比较的数值对应的自娈量转化到同一个单调区间之上，才能利用函数的单调性得出相应结果。
★题4、已知函数f(x)= x2-2(1-a)x+2,在（-∞，4）上是减函数，求出实数a之取值范围。
解；见教材全解P109例题5；a≤-3;二次函数的问题要特别注意三点：开口方向，对称轴，顶点坐标。
★题4、图中的图象所表示的函数的解析式为（ B ）
Ａ．
Ｂ
Ｃ．
Ｄ．
★题6．设函数
则关于x的方程
解的个数为 （ C ）A．1 B．2 C．3 D．4
★题7．若不等式x2＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，）成立，则a的取值范围是（ C ）
A．0 B. –2 C.-
D.-3
●解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝
；若³，即a£－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）³0Þ－£x£－1若£0，即a³0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1>0恒成立，故a³0若0££，即－1£a£0，则应有f（）＝
恒成立，故－1£a£0，综上，有－£a故选C
★例题1、设函数f(x)= -ax,其中a≥1,证明：函数f(x)为区间[0,+∞）的↘
●解：注意分子有理化。
★ 例题2、定义于R上的函数y=f(x)，有f(0)≠0，，当x>0时f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)·f(b)；（1）、证明：f(0)=1；（2）、对任意的x∈R,恒有f(x)>0；（3）、证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。
●解：①、抽象函数的单调性的证明，注意利用f(x2)=f(x2-x1+x1)或令f(x2)=f(x1+t)(其中t>0)去灵活变形。 ②、注意转化为函数的单调性去处理不等式：x∈(0,3)
●今日作业：
【★题1】已知函数：①、y=x2+2x+5; ②y=-x2-4x+3
(1)、分别写出它们的单调区间；（2）分别求出它们在[0，5）上的值域；
【★题2】设¦（x+1）的定义域为[-2,3）则¦(+2）的定义域为___({xx≤或x>}
【★例题3】、将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售个数就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少元。
★【题4】如右图,已知底角45º为的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为,当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中阴影部分的面积y与x的函数关系式.
解：
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讲义九： 函数的基本性质----单调性和最值(2)
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（一）、基本概念及知识体系：
教学要求：更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义.
教学重点：熟练求函数的最大（小）值。
教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。
教学过程：
一、复习准备：
1.指出函数f(x)＝ax＋bx＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。
2. f(x)＝ax＋bx＋c的最小值的情况是怎样的？
3.知识回顾：增函数、减函数的定义。
二、讲授新课：
1.教学函数最大（小）值的概念：
① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？
， 
；
， 
② 定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）
③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．
→ 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法.
2.教学例题：
① 出示
★例题1：一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是
，那么什么时刻距离达到最高？射高是多少？
（学生讨论方法 → 师生共练：配方、分析结果 → 探究：经过多少秒落地？）
② 练习：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？
（引导：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值； →小结：数学建模）
③ 出示
★例2：求函数
在区间[3，6]上的最大值和最小值．
分析：函数
的图象 → 方法：单调性求最大值和最小值.
→ 板演 → 小结步骤：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.
→ 变式练习：
④ 探究：的图象与
的关系？
⑤ 练习：求函数
的最小值.
（解法一：单调法； 解法二：换元法）
3. 看书P34 例题 → 口答P36练习 →小结：最大（小）值定义 ；三种求法.
三、巩固练习：
| 房价（元） | 住房率（%） |
| 160 | 55 |
| 140 | 65 |
| 120 | 75 |
| 100 | 85 |
1. 求下列函数的最大值和最小值：
（1）
； （2）
2.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
（分析变化规律→建立函数模型→求解最大值）
3. 课堂作业：书P43 A组5题；B组1、2题.
四、备选用思考题：
【题1】、二次函数¦（x）=ax2+bx (a,b为常数且a≠0)满足¦（-x+5）=¦（x-3）且方程¦（x）=x有等根；①求¦（x）的解析式；②是否存在实数m、n(m <n)使¦（x）定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m、n之值，若不存在，说明理由
解、①¦（x）=-x2+x ②由于¦（x）的值域是¦（x）≤,则3n≤,即n≤,所以有¦（m）=3m且¦（n）=3n
∴存在实数m=-4,n=0使¦（x）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]
★例2：某产品单价是120元，可销售80万件。市场调查后发现规律为降价x元后可多销售2x万件，写出销售金额y(万元)与x的函数关系式，并求当降价多少个元时，销售金额最大？最大是多少
分析：此题的数量关系是怎样的？函数呢？如何求函数的最大值？？
小结：利用函数的单调性（主要是二次函数）解决有关最大值和最大值问题。
★题3：①、求函数y＝x＋
的值域。
②、判断函数y=
单调区间并证明。 （定义法、图象法； 推广： 
的单调性）
③、讨论y=
在[-1,1]上的单调性。 （思路：先计算差，再讨论符号情况。）
★ 【例题4】某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
★【例题5】、(06·重庆·T21·12分)已知定义域为R的函数f(x)满足¦(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)= x0,求函数f(x)的解析表达式.
▲解：（Ⅰ）因为对任意x∈R，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.；若f(0)=a，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因为对任意xεR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.；又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)- x0.
所以对任意x∈R，有f(x)- x2 +x= x0.；在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因为f(x0)- x0，所以x0- x=0，故x0=0或x0=1.；若x0=0，则f(x)- x2 +x=0，即f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x2≠0.
若x2=1,则有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易验证该函数满足题设条件.
综上，所求函数为f(x)= x2 –x+1（xR）.
★
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讲义十： 函数的基本性质-----奇偶性
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（一）、基本概念及知识体系：
教学要求：理解奇函数、偶函数的概念及几何意义，能熟练判别函数的奇偶性。
教学重点：熟练判别函数的奇偶性。
教学难点：理解奇偶性。
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：什么叫增函数、减函数？
★2.指出f(x)＝2x－1的单调区间及单调性。 →变题：2x－1的单调区间
★3.对于f(x)＝x、f(x)＝x、f(x)＝x
、f(x)＝x
，分别比较f(x)与f(－x)。
二、讲授新课：
1.教学奇函数、偶函数的概念：
①给出两组图象：
、
、
；
、
.
发现各组图象的共同特征 → 探究函数解析式在函数值方面的特征
② 定义偶函数：一般地，对于函数定义域内的任意一个x，都有
，那么函数叫偶函数（even function）.
③ 探究：仿照偶函数的定义给出奇函数（odd function）的定义.
（如果对于函数定义域内的任意一个x，都有
），那么函数叫奇函数。
④ 讨论：定义域特点？与单调性定义的区别？图象特点？（定义域关于原点对称；整体性）
⑤ 练习：已知f(x)是偶函数，它在y轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。
2.教学奇偶性判别：
●例1：判别下列函数的奇偶性：
f(x)＝
、f(x)=
、f(x)＝－4x
＋5x、f(x)＝
＋
、f(x)＝2x
＋3。
★ 判别下列函数的奇偶性：
f(x)＝x＋1+x－1 f(x)＝
、f(x)＝x＋、 f(x)＝
、f(x)＝x,x∈[-2,3]
③ 小结奇偶性判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法判别f(x)与f(-x)的关系。 →思考：f(x)=0的奇偶性？
3.教学奇偶性与单调性综合的问题：
★例3：已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，问f(x)的(-∞,0)上的单调性。
②找一例子说明判别结果（特例法） → 按定义求单调性，注意利用奇偶性和已知单调区间上的单调性。 （小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论）
③变题：已知f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明。
三、巩固练习：
1.设f(x)＝ax
＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。(答案为27)
2.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝
，求f(x)、g(x)。
3.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试判别f(x)的奇偶性。(特值代入)
4.已知f(x)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7,-3]上是（ ）函数，且最 值是 。
四、巩固提高练习：
★【题1】▲①已知函数
是偶函数，则一定是函数
图象的对称轴的直线是（C ）A、
B、
C、
D、
▲②函数y=f(x)与y=g(x)的图象如所示：
则函数y=f(x)·g(x)的图象可能为( D )
【★题2】 设定义于[-2，2]上的偶函数在区间[0，2]上单调递增，若¦（1-m）<¦（m），求实数m的取值范围（解、<m≤2）
【★题3】①设函数¦（x)是R上的偶函数，且当x∈[0,+∞)时，¦(x)=sinx+x2,求出函数¦(x)的表达式；②已知¦(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，有¦(x)=2x+cosx，求出函数¦(x)的表达式
【★题4】已知函数¦（x）的定义域为R，且满足¦（x+2）=-¦（x）；
①求证：¦（x）是周期函数；②设¦（x）为奇函数，且0≤x≤1 时¦（x）=x，求 ¦（x）= 的所有x之值 解、周期为4，在一个周期上的根为x=-1，则所有的根为x=4n-1；(n∈z)
【★题5】设a为实数，函数¦（x）= x2+x-a+1 （ x∈R）
①讨论函数¦（x）的奇偶性；②求函数¦（x）的最小值
★【题6】（2006年辽宁文科T2）设是
上的任意函数，下列叙述正确的是（ C ）
A、
是奇函数；
B、
是奇函数；
C、
是偶函数；
D、
是偶函数
●解：A中：
则
，即函数为偶函数；B中：
，
此时
与
的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定；C中：
，
，即函数为奇函数；D中
，
，即函数为偶函数，故选择答案C。
★【题7】①已知函数y=¦(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象如所示为线段AB，求出它在区间[1，2]上的表达式
②已知定义于[-π,π]上的函数¦（x）、g（x）分别是偶函数、奇函数，且它们在[0，π]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是_____(答案:(-
,0)∪(,π))
【★题8】（2006年重庆文科T21题·12分）已知定义域为
的函数
是奇函数。（Ⅰ）求
的值；（Ⅱ）若对任意的
，不等式
恒成立，求的取值范围；
解：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
；（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
，易知在
上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于
，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：
，分离变量可得k<-
五、备选例题：
★●例题1、已知函数f(x)= x2+在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求出适合条件的区间[a,b] ●解：（见教案P56面题1）[1，3]或[-2-，]
★例题2、已知函数f(x)的定义域为R，且对于任意的x和y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),又当x>0时，f(x)<0,f(1)=-2,（1）、证明函数f(x)为奇函数，（2）、求函数f(x）在[-3，3]上的最值。
●解：（见教案P56面题2）最大值为6，最小值为-6
★例题3、已知函数f(x)是定义于（0，+∞）上的增函数，且f()=f(x)-f(y),
(1)、求出f(1)之值；（2）、若f(6)=1,解不等式f(x+3)+f()≤2 解：（见教案P63面题2）x≥
●例题：已知集合A=｛xx2-3x-10≤0｝,B=｛xm+1≤x≤2m-1｝,若A∪B=A，求出实数m的取值范围。 解：（见教案P63面题1）m≤3
★例题1、已知定义于区间（-1，1）上的奇函数f(x)是其定义域上的减函数，且满足f(1-m)+f(1-m2)<0,试求m的取值范围。（见教案P50面题1；m∈(0,1)）
★例题2、已知函数f(x)对一切的实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),（1）、求证：函数f(x)是奇函数；（2）、若已知f(-3)=a,试用a表示出f(24)。(（见教案P51面题2；f(24)=-8a）
六、课堂回顾：
1、 奇函数、偶函数：¦(x)为奇函数⇔¦(-x)= -¦(x)；¦(x)为偶函数⇔¦(-x)= ¦(x) （定义法）
2、 图象性质：奇函数的图象关于原点成中心对称；（注意：若¦(0)存在，则必有¦(0)=0Þ处理填空或选择题的法宝）；偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。（图象法）
3、 函数的奇偶性的判断方法：①定义法，②图象法。
七、应用题例选： ★某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆月租金3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金增加50元时，末租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，末租出的车每辆每月需要保管费50元。问：（1）、当每辆车的月租金定为3600元时，能租出去多少辆车？（2）、每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大的月收益可达多少？ ●解:(1)100-12=88;(2)、y=x2+162x-21000= (x-4050)2+307050(3000≤x<8000),则当x=4050时，最大收益为307050元。
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义十一：函数的基本性质的复习归纳与应用
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
（一）、基本概念及知识体系：
教学要求：掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
教学重点：掌握函数的基本性质。 教学难点：应用性质解决问题。
(二)、教学过程：
一、复习准备：
1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？
2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？
二、教学典型习例： 1.函数性质综合题型：
①出示
★例1：作出函数y＝x－2x－3的图像，指出单调区间和单调性。
分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作 →口答
→ 思考：y＝x－2x－3的图像的图像如何作？→
②讨论推广：如何由的图象，得到
、
的图象？
③出示
★例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数 分析证法 → 教师板演 → 变式训练
④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？
（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）
2. 教学函数性质的应用：
①出示例3 ：求函数f(x)＝x＋
(x>0)的值域。
分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。 → 探究：计算机作图与结论推广
②出示
2.基本练习题：
①判别下列函数的奇偶性：(1)、y＝
＋
、 （2）、y＝
（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)=? ）
三、巩固练习：
1.求函数y=
为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。
（c=0）
2.已知函数f(x)=ax+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。
3. f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。
4. 求二次函数f(x)=x－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。
5. 课堂作业： P43 A组6题， B组2、3题。
四、应用题训练：
★例题1、画出下列分段函数f(x)=
的图象：（见教案P35面例题2）
★例题2、已知函数f(x)=
，确定函数的定义域和值域；判断函数的奇偶性、单调性。（见教案P35面例题3）
★【例题3】某地区上年度电价为
元/kW
，年用电量为kW。本年度计划将电价降到
元/kW至
元/kW之间，而用户期望电价为
元/kW经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）。该地区电力的成本为
元/kW。
（I）写出本年度电价下调后，电力部门的收益
与实际电价的函数关系式；
（II）设
，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
（注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价））
解：（I）：设下调后的电价为
元/
，依题意知用电量增至
，电力部门的收益为
（II）依题意有
整理得 
解此不等式得 
答：当电价最低定为
元/仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。
★【例题5】某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系:
当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元?
●解:(1)依题设有 
化简得
5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0.当判别式△=800-16t2≥0时,
由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组:
解不等式组①,得
,不等式组②无解.故所求的函数关系式为 
(2)为使x≤10,应有
化简得t2+4t-5≥0.解得t≥1或t≤-5,由t≥0知t≥1.从而政府补贴至少为每千克1元.
（五）、2007年高考试题摘录：
★题1、（07天津）在上定义的函数
是偶函数，且
，若在区间
是减函数，则函数（ B ）A.在区间
上是增函数，区间
上是增函数；B.在区间上是增函数，区间上是减函数；C.在区间上是减函数，区间上是增函数；D.在区间上是减函数，区间上是减函数
★题2、(07浙江)设
，
是二次函数，若
的值域是
，则的值域是（ C ）A.
B.
C. D. 
★题3、 (07福建)已知函数为R上的减函数，则满足
的实数的取值范围是（C ）A.
B.
C.
D.
★题4、 (07福建)已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（C ）A.
B.
C.
D.
★题5、(07重庆)已知定义域为R的函数在区间
上为减函数，且函数
为偶函数，则（ D ）A.
B. 
C. 
D. 
★题6、（07安徽）若对任意
R,不等式
≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（B）
A. a＜-1
B. 
≤1
C.＜1
D.a≥1
★题7、（07安徽）定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，
是它的一个正周期.若将方程
在闭区间
上的根的个数记为
，则可能为（D）
A.0 B.1 C.3 D.5
★题8、（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为（B）
(A)
(0≤x≤2)
(B) 
(0≤x≤2)
(C) 
(0≤x≤2)
(D)
(0≤x≤2)
★题9、 (07重庆)若函数
的定义域为R，则实数的取值范围 。 
★题10、（07宁夏）设函数
为奇函数，则实数
。-1
★题11、(07上海)已知函数
；（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间
是增函数，求实数的取值范围。
解：（1）当
时，
为偶函数；当
时，既不是奇函数也不是偶函数.
（2）设
，
，
由得
，
；要使在区间是增函数只需
，即
恒成立，则
。