高一数学第一学期授课讲义
讲义十二：指数与指数幂的运算
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
一、教学要求：
1、了解指数函数模型背景及实用性、必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念．2、使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 3、 n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算.
二、教学重点：
理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景；掌握n次方根的求解. 掌握根式与指数幂的运算；有理数指数幂的运算.
三、教学难点：
准确运用性质进行计算. 有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.
四、教学过程：
（一）、复习准备： 回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. → 记法：
（二）. 讲授新课:
1. 教学指数函数模型应用背景：
① 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
★实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？
★② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP为2000年的多少倍？
★ 书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P与死亡时碳14的关系为
. 探究该式意义？
③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.
2. 教学根式的概念及运算：
（1） 定义n次方根：一般地，若
,那么
叫做
的
次方根.( 
th root ),其中
,
简记：
. 例如：
，则
（2）、 讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？, 例如: 
,
, 记：
当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如: 
,
的4次方根就是
, 记：
强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 
（3）、 练习：
,则的4次方根为 ； 
, 则的3次方根为 .
（4）、定义根式：像的式子就叫做根式（radical）, 这里n叫做根指数（radical
exponent）, a叫做被开方数（radicand）.
（5）、计算
、
、
→ 探究： 
、
的意义及结果？ （特殊到一般）
结论：
. 当
是奇数时，
；当是偶数时，
（6）、出示例1.求值化简： 
； 
； 
； 
（
）
3. 教学分数指数幂概念及运算性质:
① 引例：a>0时，
→ 
； 
→ 
.
② 定义分数指数幂：规定
；
③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：
；
；
B. 求值 
； 
； 
； 
.
④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？
⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：
·
； 
； 
．
4. 教学例题：
① 出示例1. 求值:; 
;
; 
② 出示例2. 用分数指数幂的形式表示下列各式
：
; 
;
;
③ 出示例3. 计算（式中字母均正）：
；
.
④ 出示例4. 计算：
， 
; 
⑤ 讨论：
的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材P58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）
无理数指数幂
是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？
3. 小结：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.
（三）、巩固练习：
① n为 时，
.
② 求下列各式的值：
; 
; 
； 
； 
； 
； 
.
（四）、教学典型例题：
1. 化简：
.
2. 已知
，试求
的值.
3. 用根式表示
， 其中
.
4. 已知x+x-1=3,求下列各式的值：
5. 求值：
; 
; 
; 
; 
; 
6. 已知
, 求
的值.
7. 探究：
时, 实数和整数所应满足的条件.
（五）、巩固提高练习：
●★【题1】（2005年上海高考）方程
的解是__________
●解答：
★题2、（2003年上海20题12分）已知函数f(x)=,g(x)=；（1）、证明：函数f(x)为奇函数，并求出f(x)的单调区间；（2）、分别计算f(4)-5 f(2)g(2)和f(9)-5 f(3)g(3),并概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明。
●解：单调↗为（-∞，0）和（0，+∞）；（2）、f(4)-5 f(2)g(2)=f(9)-5 f(3)g(3)=0,一般地。有：f(x2)-5 f(x)g(x)=0.
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义十三： 指数函数及其性质
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
一、教学要求：
1、 使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质.
2、 熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识
二、教学重点：掌握指数函数的图象和性质．
三、教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．理解指数函数的简单应用模型．
四、教学过程：
（一）、复习提问：
①零指数幂：a0=_____(a≠0)；②、负整数指数幂：a-p=_____( a≠0,p∈N*)；④正分数指数幂：
=_____(a>0,m、n∈N*,n>1)；⑤负分数指数幂：
=_____( a>0,m、n∈N*,n>1)；
（二）、讲授新课：
1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：
① 探究两个实例：
●A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？
◆B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
② 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？
③ 定义：一般地，函数
叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.
④讨论：为什么规定
＞0且≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？
2. 教学指数函数的图象和性质：
①、 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 
， 
（师生共作→小结作法）
②、 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P56)
③、★ 出示P56：例6. 函数
（
）的图象经过点（3，
），求
,
,
的值.
④、★出示例7. 比较下列各组中两个值的大小：
； 
； 
； 
⑤、比较大小：
；
（四）教学指数函数的应用模型：
①★ 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？
★ ② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？
（五）、. 教学指数形式的函数定义域、值域：
◆1、①设y1=40.9,y2=80.48;y3=()-1.5,则三者的大小是_____y1>y3>y2
②设函数F（x）=[1+]·f(x)(且x≠0)是偶函数，又f(x)不恒等于0，则f(x)的奇偶性是_
（答案为：奇函数）； ③函数y=1-2x,x∈[1,4]的值域为____[-15,-1]； ④、函数f(x)=()x+2,x∈[-1,2]的值域为____[,5]；⑤函数y=a-x(a>0,a≠1)当a∈______时，它为↘ ，此时，当x∈___时，y<0 .答案：（1，+∞）Æ
⑥、已知函数f(x)=的定义域为（-∞，0）则a的取值范围是____(答案：0<a<1)
▲2.①、 一片树林中现有木材30000m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材ym3，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3
▲②、. 比较下列各组数的大小：
； 
.
▲3. 求函数
的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.
【★题4】设a>1为常数,已知当x∈(-1,1)时,不等式x2-ax<
恒成立,则a的取值范围为( A )
A (1,2] B [2,+∞) C (1,4] D [4,+∞)
【★题5】已知函数¦(x)=ax –b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( B )
A a>1 b<0 B 0<a<1 b<0 C a>1 b>0 D 0<a<1,b>0
【★题6】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx 在同一坐标系中的图象如下图所示,则a、b、c、d的大小顺序为( A )
A b<a<d<c B a<b<d<c C b<a<c<d D b<c<a<d
★【题7】已知实数a, b满足等式
下列五个关系式
①0<b<a ②a<b<0 ③0<a<b ④b<a<0 ⑤a=b
其中不可能成立的关系式有（ B ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
●【解答】
均大于零时，要满足等式，必有
；均小于零时，要满足等式，必有
；
时，显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④，选B
★【题8】设函数
，求使
的
取值范围．答案：
★9.（天津卷）如果函数
在区间
上是增函数，那么实数
的取值范围是（ ）Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
●解析：函数y
且
可以看作是关于
的二次函数，若a>1，则
是增函数，原函数在区间
上是增函数，则要求对称轴
≤0，矛盾；若0<a<1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当
(0<t<1)时，
在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴≥1，∴
，∴实数的取值范围是
，选B.
★10、（04年湖南文科）若直线y=2a与函数y=ax-1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.（0，）
★11、已知f(x)=,求f()+f()+f()+…+f()之值。（答案：500）
★12、已知f(x)= +,求证：f(x)为奇函数。
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讲义十四：对数与对数运算（两课时）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
一、教学要求：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化．
二、教学重点：掌握对数式与指数式的相互转化.
三、教学难点：对数概念的理解.
四、教学过程：
（一）、复习准备：
★1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？
（得到：
＝？，
＝0.125
x=?）
★2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍？ （ 得到：
=2x=? ）
▲问题共性：已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：课本实例由
求x
（二）、讲授新课：
1. 教学对数的概念：
① 定义：一般地，如果
，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）.
记作 
，其中a叫做对数的底数，N叫做真数
② 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数
简记为lgN 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数
简记作lnN → 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3
③ 讨论：指数与对数间的关系 （
时，
）
| 式子 名称 | a | b | N |
| 指数式ab=N | 底数 | 指数 | 幂 |
| 对数式logaN=b | 底数 | 对数 | 真数 |
负数与零是否有对数？ （原因：在指数式中
N
> 0 ）
， 
2. 教学指数式与对数式的互化：
★① 出示P63：例1. 将下列指数式写成对数式：
；
；
； 
★② 出示例2. 将下列对数式写成指数式：
； lg0.001=-3； ln100=4.606
（学生试练 → 订正 →
变式：
lg0.001=？ ）
★③ 出示例3. 求下列各式中x的值：
； 
； 
； 
（讨论：解方程的依据？ → 试求 → 小结：应用指对互化求x）
★④
练习：求下列各式的值： 
；
；
10000
★⑤ 探究：
3. 小结：对数概念；lgN与lnN；指数与对数的互化； 如何求对数值
三、巩固练习：
1. 练习：课本64页练习1、2、3、4题
2．计算： 
； 
；
； 
； 
.
3. 作业：书P74：1、2、3、4题
第二课时： 2.2.1对数与对数运算（二）
一、教学要求： 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决问题.
二、教学重点：运用对数运算性质解决问题
三、教学难点：对数运算性质的证明方法
四、教学过程：
（一）、复习准备：
1．
提问：对数是如何定义的？ → 指数式与对数式的互化：
2． 提问：指数幂的运算性质？
（二）、讲授新课：
1. 教学对数运算性质及推导：
① 引例： 由
，如何探讨
和
、
之间的关系？
设
, 
，由对数的定义可得：M=
，N=
∴MN==
∴
MN=p+q，即得MN=M + N
② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？
如果 a > 0，a ¹ 1，M > 0， N > 0 ，则
; 
； 
③ 讨论：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）
2.教学例题：
① 出示例1. 用
, 
, 
表示下列各式：
; 
（学生讨论：如何运用对数运算性质？ → 师生共练 → 小结：对数运算性质的运用）
② 出示例2. 计算：；
；
；lg
③ 探究：根据对数的定义推导换底公式
（
，且
；
，且
；
）．
作用：化底 → 应用：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？
④ 练习：运用换底公式推导下列结论：
；
（三）、巩固练习：
1. 设
,
，试用、
表示
.
变式：已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求lg６、lg12、lg
的值.
2. 计算：
； 
； 
.
3. 试求
的值
*4. 设、、
为正数，且
，求证：
5. 已知
3 = a， 
7 = b, 用
a, b 表示
56
6. 问题：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿？ （答案：
→
→ 
）
（四）、实际应用练习：
★ 出示例5：（P66） 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：
，其中A是被测地震的最大振幅，
是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.
（Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）
●分析解答：读题摘要 → 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？
③ 出示例6： 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：（Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？
●分析解答：读题摘要 → 寻找数量关系 → 强调数学应用思想
⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？
结论：P和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的指数函数
；
思考：t关于P的函数？ （
）
2. 小结：初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）； 用数学结果解释现象
（五）、课堂巩固练习：
1. 计算： 
； 
2. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的基础上翻两翻？
（六）、学生作业：
◆1、如果在今后若干年内，我国的国民经济生产总值都在平均每年增长9%的水平，则要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是哪一年？
解：a(1+9%)x=4a,x= =≈16,即经过16年，即要到2011年我国国民经济生产总值比1995年翻两番。（计算时取lg2=0.3；lg109=2.04)
★【题2】（200 7年湖南· T1）、若
，
，则
．答案为：3
★【题3】函数
的图象大致是（ ）
●解：=
选(D)
（七）、课堂回顾与总结：
对数及其运算的基本知识体系：
1、对数概念：若ab=N,⇔则有b=logaN (常用对数lgN,自然对数lnN)Þ负数和零没有对数。
2、对数的运算性质：(换底公式的应用）：①loga1=0； ② logaa=1； ③
=_____； ④logab·logbc=____； ⑤ logab·logba=____； ⑥
=___; ⑦loga(M·N)=____；
⑧loga()= _______； ⑨logaNb=____
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讲义十五：对数函数及其性质（两课时）
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
课时一：
一、教学要求：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题.
二、教学重点：对数函数的图象和性质
三、教学难点：对数函数的图象和性质及应用
四、教学过程：
（一）、复习准备：
1、对数概念：若ab=N,⇔则有b=logaN (常用对数lgN,自然对数lnN)Þ负数和零没有对数。
2、对数的运算性质：(换底公式的应用）：①loga1=0； ② logaa=1； ③=_____； ④logab·logbc=____； ⑤ logab·logba=____； ⑥=___; ⑦loga(M·N)=____；
⑧loga()= _______； ⑨logaNb=____
（二）、讲授新课：
1.教学对数函数的图象和性质：
①
定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数
叫做对数函数(logarithmic function).
自变量是x； 函数的定义域是（0，+∞）
②
辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：
，
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 
，且．
③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
| 名称 | 指数函数 | 对数函数 |
| 一般解析式 | y=ax (a>0,a≠1) | y=logax (a>0,a≠1) |
| 定义域 | ||
| 值域 | ||
| 当a>1时的图像 | ①注意特殊点、单调性、变化范围等。 | ②同一坐标系中两个图像时底数的确定方法。 |
| 当0<a<1时的图像 | ||
| 两者的关系 | ||
2. 教学例题
① 出示P71：例7．求下列函数的定义域：
； 
； 
② 出示P72：例8. 比较大小：
；
；
课堂练习：P73：题1、2、3；P74：练习题：7、8、9
课时二：
一、教学要求：了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数图象和性质;学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.
二、教学重点与难点：理解反函数的概念
三、教学过程：
（一）、复习准备：
提问：对数函数
的图象和性质？
（二）、讲授新课：
1. 教学对数函数模型思想及应用:
出示P72：例题9：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式
，其中
表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？
（Ⅱ）纯净水
摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.
2．反函数的教学:
①、 分析：函数
由
解出，是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为
.那么我们就说指数函数与对数函数互为反函数
②、在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数
图象，发现什么性质？
③、 探究：如果
在函数的图象上，那么P0关于直线
的对称点在函数图象上吗，为什么？由上述过程可以得到什么结论？(互为反函数的两个函数的图象关于直线
对称)
（三）、巩固练习：
1.求下列函数的反函数： y=
(x∈R)； y=
(a＞0,a≠1,x＞0)
2．己知函数
的图象过点（1，3）其反函数
的图象过（2，0）点，求
的表达式.
（四）、提高练习：
★1题.（1）证明函数
在
上是增函数（可利用复合函数法去处理）。（2）、探究：函数在
上是减函数还是增函数？（可利用偶函数的性质去处理）。
2. 求函数
的单调区间．（强调：复合函数的单调性：同增异减，注意利用图象处理）
（五）、巩固补充练习
1.比较大小：
；
2．已知
恒为正数，求的取值范围．
3．求函数
的定义域及值域．
4．函数
在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；
5. 求函数
的最小值．
6. 求下列函数的反函数：
； 
； 
； 
（六）、课后提高作业
1．求
的单调递增区间；
2．已知
在[0，1]上是的减函数，求的取值范围
（七）相关高考题摘录（供课时选择之用）：
★【例题1】函数
的定义域为（ A
）
A．（1，2）∪（2，3）B．
C．（1，3）D．[1，3]
【★题3】函数¦（x）=的定义域为____(｛x1<x≤2｝)
【★题4】函数y= 的单调递增区间为___([2,6)注意6是达不到的)
【★题5】函数y=lg(mx2-4mx+m+3)；①当定义域为R时，求m的取值范围； ②当值域为R时，求m的取值范围。 解、①{m0≤m<1} ②{mm≥1 或m<0}
【★题8】解不等式log2(-x)<x+3的解集为( D )
A （-∞,-1） B （-∞,-2） C （-1,0） D （-2,0）
★【例题9】设
则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
则，选A.
※ 【★题11】如图中的曲线是对数函数y=logax 的图象,已知a取, , ,四个值,则相应于曲线c1,c2,c3,c4 的a之值依次为_________
※
【★题12】设a>0,a≠1,函数¦（x）=
,g（x）=1+loga(x-1)
① 求 ¦（x） 和 g（x）的定义域的公共部分D,并判定¦（x）在D内的单调性；若[m,n]ÜD,且¦（x）在[m,n]上的值域恰好为[g（n）, g（m）],求a的取值范围
解、① >0
x-1>0 Þx>3 则D=｛xx>3｝；②当0<a<1时, ¦（x）为↘;当a>1时, ¦（x）为↗
③由g（n）< g（m）则loga(n-1)< loga(m-1) 而m<n,则0<a<1,故¦（x）为↘
则¦（n）= g（n）, ¦（m）= g（m）其中3<m<n,故方程¦（x）= g（x）有两个大于3的不同实根,⇔ =1+loga(x-1)有大于3的两个实根⇔方程ax2+(2a-1)x+3(1-a)=0有两个大于3的实根⇔
△
>0
>3
0<a<1
a·32+(2a-1)·3+3(1-a)>0 ∴0<a<为所求
（七）、课后巩固练习（供选择之用）：
★【题1】已知
，则（ D ）
(A) n＜m ＜ 1 (B) m＜n＜ 1 (C) 1＜ m＜n (D) 1 ＜n＜m
★【题2】设f(x)＝
，则
的定义域为（B）
A. 
B.(－4,－1)
(1，4) C. (－2,－1)(1，2) D. (－4,－2)(2，4)
★【题5】方程
的解为
．
解：Û
；即
解得
（负值舍去）
★【题7】 函数
的反函数是（ D
）
A．
B．
C．
D．
8．已知
是（-
，+）上的增函数，那么a的取值范围是
（A）(1，+) （B）(-,3) (C)[
，3) (D)(1,3)
解：依题意，有a>1且3－a>0，解得1<a<3，又当x<1时，（3－a）x－4a<3－5a，当x³1时，logax³0，所以3－5a£0解得a³，所以1<a<3故选D
9．（福建卷）已知
是周期为2的奇函数，当
时，
设
则（A）
（B）
（C）
（D）
解：已知是周期为2的奇函数，当时，设
，
，
<0，∴，选D.
11．（辽宁卷）与方程
的曲线关于直线
对称的曲线的方程为
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
解：
，
，即：
，所以
，故选择答案A。
12．（全国卷I）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线对称，则
A、
B、
C、
D．
解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以
是的反函数，即=
，∴ 
，选D.
13．（全国II）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为
(A) f(x)＝(x＞0) (B ) f(x)＝log2(－x)(x＜0) (C) f(x)＝－log2x(x＞0) (D) f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
解析：(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以
选D
本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简单,但是容易把
与
搞混,其实
14.（山东卷）设
(A)0 (B)1
(C)2
(D)3
解：f（f（2））＝f（1）＝2，选C
15.(陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )A.6 B.5 C.4 D.3
解析：函数f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，
则
，∴
，
或
(舍)，b=1，∴a+b=4，选C．
20.（辽宁卷）设
则
__________【解析】
.
21.（辽宁卷）方程的解为 ________
解：Û，即解得（负值舍去），所以
。
22.(上海卷)若函数＝
（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝ ．
解：由互为反函数关系知，过点
，代入得：
；
23.(上海卷)方程
的解是_______.
解：方程的解满足
，解得x=5.
25.(重庆卷)设
，函数
有最小值，则不等式
的解集为
。
解：由，函数有最小值可知a>1，所以不等式可化为x－1>1，即x>2.
26.（上海春）方程
的解
.
解：由log3(2x-1)，化为同底数的对数，得log3(2x-1)=log33，2x-1=3 ，即 x=2 ．从而应填2.
27、（04年湖南文科）若直线y=2a与函数y=ax-1(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.（0，1/2）
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义十六： 幂函数
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
一、教学要求：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.
二、教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.
三、教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.
四、教学过程：
（一）、新课引入：
◆实例分析：见书本P77五个实例：
（二）、讲授新课：
1、教学幂函数的图象与性质
■① 给出定义：一般地，形如
的函数称为幂函数，其中
为常数.
■②练：在函数
中，哪几个函数是幂函数？（书本P79：习题第1题）
■③ 作出下列函数的图象：（1）；（2）
；（3）
；（4）
；（5）．
▲
④
引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：
（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（Ⅱ）
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
上是增函数．特别地，当
时，幂函数的图象下凸(称为凸函数)；当
时，幂函数的图象上凸(称为凹函数)；
（Ⅲ）
时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在
轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于
时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2、教学例题：
★出示P78:书本之例1：讨论
在
的单调性.
◆3、小结：幂函数y=xa=xq/p的的性质及图象变化规律可以分为以下几类：
★1、直线类：y=x0,y=x
★2、抛物线类：y=x2,y=
,y=
……(即q是偶数，p是奇数，a=大于零)
性质有；(1)、必过点（0，0）、（1，1）、（-1，1）；（2）定义域为R，且在（0，+∞）上为增函数，为偶函数；
（3）在第一象限内：当0<a<1时：为图（A）所示形式（上凸，称为凹函数）；当a>1时：如图B所示（下凸，称为凸函数）
★3、拐线类：y=x3,y= y=
,y= y=
,y y=
……(即q是奇数，p是奇数，a=大于零)；性质有；(1)、必过点（0，0）、（1，1）、（-1，-1）；
（2）定义域为R，在（0，+∞）上为增函数，为奇函数；（3）在第一象限内：当0<a<1时：为图（A）所示形式（上凸，称为凹函数）；当a>1时：如图B所示（下凸，称为凸函数）
★4、双曲线类：y=x-1,y=x-3,……(即p为奇数，且a=q/p<0时) ……性质有；(1)、必过点（1，1）；（2）定义域为{xx≠0}，在（0，+∞）上为减函数；
★5、半支抛物线类：y= y=
;y= y=
…(即p为偶数，且a=q/p>0时)图象过点（0，0）、（1，1）；定义域为{xx>0}；图象只位于第一象限之内，且为增函数；
而y= y=
, y=
…(即p为偶数，且a= <0时)： 图象过点（1，1）定义域为{xx>0}；图象只位于第一象限之内，且为减函数。
总之：当a>0时，幂函数y=xa为增函数，当a<0时，幂函数y=xa为减函数。
（三）、练习及其应用
1、学法大视野：P26：求幂函数的解析式的基本方法：
例:幂函数y=f(x)的图象过点（3，），求出其解析式。（y= y=）
2. 讨论函数
的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．
3.利用幂函数的图象的特征解题：±2、±
4、利用幂函数的单调性比较幂的大小： 
与
；
与
；
与
.
5、用数形结合的思想，求参数的取值范围：
< 
求a的取值范围。（a∈(-∞,-2)∪(,)
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
讲义十七：基本初等函数的归纳与概括应用
撰稿： 方锦昌 电子邮箱 fangjingchang2 手机号码
一、教学要求：掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质.
二、教学重点：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.
三、教学难点：指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用.
四、教学过程：
（一）、复习归纳：
1. 提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质（比较一次函数、二次函数、反比例函数）
|
| 指数函数y=ax(a>0,a≠1) | 对数函数y=logax(a>0,a≠1) | 幂函数y=xa |
| 函数图象 | |||
| 定义域 | |||
| 值域 | |||
| 单调性 | |||
| 奇偶性 | |||
| 特殊点、线 |
2. 求下列函数的定义域：
；
；
3. 比较下列各组中两个值的大小：
；
；
二、典型例题：
例1、函数
的定义域为_____________________.
例2、函数
的单调区间为_____________________.
例3、已知函数
.判断的奇偶性并予以证明.
例4、按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为
，设本利和为元，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息. ）
▲小结与要求：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题. ）
三、 巩固练习：
1.函数
的定义域为________，值域为__________.
2. 函数
的单调区间为__________________.
3. 若点
既在函数
的图象上，又在它的反函数的图象上，则=______，=_______
4. 函数
(
，且
)的图象必经过点 .
5. 计算
.
★【题6】. 求下列函数的值域：
; 
; 
; 
●★【题7】设函数¦（
）= (x-x-1) 其中a>0且a≠1
① 求¦（x）及其单调性和奇偶性；②当x∈(-1,1)时，¦（1-m)+¦(1-m2)<0恒成立，求m的取值范围；③当x∈(-∞,2)时， ¦（x）- 4的值恒为负数，求a的取值范围
◆ 解、①、¦（x）=（ax-a-x）；
②、由复合函数法有：¦（x）为↗，由定义知¦（x）为奇函数； ③｛m1<m<｝④ 即考查¦（2）- 4 ≤0则｛a2-≤a≤2+且a ≠1｝
四、高考题选录：
★1．（北京卷）已知
是
上的减函数，那么的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
●解：依题意，有0<a<1且3a－1<0，解得0<a<
，又当x<1时，（3a－1）x＋4a>7a－1，当x>1时，logax<0，所以7a－1³0解得x³
故选C
★2．（福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则
（A） （B） （C） （D）
●解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，<0，∴，选D.
★3．（湖南卷）函数
的定义域是( )
A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞)
●解：函数
的定义域是
，解得x≥4，选D.
★4.(陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
●解析：函数f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，
则，∴，或(舍)，b=1，∴a+b=4，选C．
★5.(重庆卷)已知定义域为
的函数
是奇函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
●解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以
=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于
，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：
，从而判别式
★6、（07湖北）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为
（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 .
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
解: 
; 
★7、（07安徽）若
，
则
的元素个数为A.0 B.1 C.2 D.3 （C）
（07安徽）设a＞1,且
,则
的大小关系为（ B ）
(A) n＞m＞p (B) m＞p＞n (C) m＞n＞p (D) p＞m＞n
★8、(07重庆)若函数
的定义域为R，则实数的取值范围 。
