新课标数学（人教A版）必修2
高一数学点直线平面之间的位置关系练习题
一、选择题
1．已知平面
外不共线的三点
到的距离都相等,则正确的结论是
A. 平面
必平行于
B. 平面必与相交
C. 平面必不垂直于 D. 存在
的一条中位线平行于或在内
2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的
（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；
（C）充要条件； （D）非充分非必要条件．
3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
（A）48 （B）18 （C）24 （D）36
4． 已知二面角
的大小为
，
为异面直线，且
，则所成的角为
（A）
（B） （C）
（D）
5．已知球O半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C
两点的球面距离都是
，B、C两点的球面距离是
，则二面角
的大小是
（A）
（B）
（C）
（D）
7．设
、
是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是
A．
B．
C．
D．
8．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是
A．AC与BD共面，则AD与BC共面
B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线
C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BC
D．若AB=AC，DB=DC，则AD
BC
9．若
为一条直线，
为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①
；②
；③
．
其中正确的命题有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧
与
的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是
（A） （B） （C）
（D）
11．如图，正三棱柱
的各棱长都为2，
分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是
（A）2
（B）
（C）
（D）
12．若
是平面外一点，则下列命题正确的是
（A）过只能作一条直线与平面相交
（B）过可作无数条直线与平面垂直
（C）过只能作一条直线与平面平行
（D）过可作无数条直线与平面平行
13．对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与
（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线
14．对于平面和共面的直线、
下列命题中真命题是
（A）若
则
（B）若
则
（C）若
则 （D）若、与所成的角相等，则
15．关于直线、与平面、，有下列四个命题：
① 若
，
且
，则
；
② 若
，
且
，则
；
③ 若，且，则；
④ 若，且，则。
其中真命题的序号式
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
16．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线
与同一平面所成的角相等，则互相平行
④若直线是异面直线，则与都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
17．如图，平面
平面，
与两平面、所成的角分别为和
。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为
、
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
18．如图（同理科图），平面平面，
与两平面、所成的角分别为和。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为、，若AB=12，则
（A）4 （B）6 （C）8 （D）9
二、填空题
1．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个
顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）
2．平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中
有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：
①1； ②2； ③3； ④4；
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）
3．如图，在正三棱柱中，所有棱长均为1，则点
到平面
的距离为 。
4．已知三点在球心为
，半径为
的球面上，
，且
，那么
两点的球面距离为 ，球心到平面的距离为______________。
5．如图，在正三棱柱
中，
．若二面角
的大小为
，则点
到平面
的距离为______________。
6．如图（同理科图），在正三棱柱中，
．若二面角
的大小为
，则点
到直线
的距离为 。
7．（如图，在6题上）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是____________。
8．若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则
=_____。
9．已知正四棱椎的体积为12，地面的对角线为
，则侧面与底面所成的二面角为____________。
10．
是空间两条不同直线，
是空间两条不同平面，下面有四个命题：
①
②
③
④
其中真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）。
三、计算题
1． 如图所示，
、
分别是
、
的直径，
与两圆所在的平面均垂直，
.
是的直径，
,
。
（I）求二面角
的大小；
（II）求直线
与
所成的角.
【解】（I）∵AD与两圆所在的平面均垂直，
∴AD⊥AB，AD⊥AF，
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABFC是正方形，所以∠BAF＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450；
（II）以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则
，
），
，
，
，
所以，
设异面直线BD与EF所成角为，
则
。
直线BD与EF所成的角为
。
2．如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，
，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明
⊥
；
（Ⅱ）求面
与面
所成二面角的大小。
【解】本小题主要考察直线与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考察思维能力和空间想象能力；考查应用向量知识解决立体几何问题的能力。满分12分。
方法一：
连结AD，则易知AD与BF的交点为O。
（I）证法1：
又
证法2:
（II）设M为PB的中点，连结AM，MD。
斜线PB在平面ABC内的射影为OB，
。
又
因此，
为所求二面角的平面角。
在正六边形ABCDEF中，
在Rt
在Rt
，则
在
中，由余弦定理得
因此，所求二面角的大小为
方法二：
由题设条件，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图。由正六边形的性质，可得
在
中，
故 
因而有
（I）证明：因
故
所以
（II）设M为PB的中点，连结AM, MD, 则M点的坐标
因此，为所求二面角的平面角。
因此，所求二面角的大小为
。
3． 如图，在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
平面
，且
，点
是
的中点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
【解】 解法一：
（Ⅰ）PA平面ABCD，
AB是PB在平面ABCD上的射影，
又ABAC，AC
平面ABCD，
ACPB.
（Ⅱ）连接BD，与AC相交与O，连接EO，
ABCD是平行四边形 O是BD的中点
又E是PD的中点，
EO
PB.
又PB
平面AEC，EO平面AEC，
PB
平面AEC，
（Ⅲ）如图，取AD的中点F，连EF，FO，则
EF是△PAD的中位线，
\EF
PA又平面， \EF^平面
同理FO是△ADC的中位线，\FO
AB\FO^AC由三垂线定理可知\ÐEOF是二面角E－AC－D的平面角. 又FO＝
AB＝PA＝EF。
\ÐEOF＝45°而二面角与二面角E－AC－D互补，
故所求二面角的大小为135°.
解法二：
（Ⅰ）建立空间直角坐标系A—xyz，如图。
设AC=a，PA=b。则有A（0,0,0）、B（0,b,0）、C（a,0,0）、P（0,0,b），
∴
从而
，
∴
。
（Ⅱ）连结BD，与AC相交于O，连结EO。
由已知得
，
，
，
∴
，
又
， ∴ 
，
∴ 
，
又PB平面AEC，EO平面AEC。
∴ PB平面AEC。
（Ⅲ）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为
，
又
是二面角的平面角。
二面角的大小为
4．如图，
是正四棱柱。
（I）求证：BD⊥平面
；
（II）若二面角
的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的大小。
【解】解法一：（Ⅰ）∵ 是正四棱柱，
∴ CC1⊥平面ABCD， ∴ BD⊥CC1，
∵ ABCD是正方形， ∴ BD⊥AC
又 ∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C，
∴ BD⊥平面
（II）设BD与AC相交于O，连接C1O。
∵ CC1⊥平面ABCD，BD⊥AC，
∴ BD⊥C1O，
∴ ∠C1OC是二面角的平面角，
∴ ∠C1OC=60°。
连接A1B ∵ A1C1∥AC，
∴ ∠A1C1B是异面直线BC1与AC所成角。
设BC=a，则CO=
，CC1=CO
，A1B=BC1= 
，
。
在△A1B1C1中，由余弦定理得 
，
∴ A1C1 B=
， ∴ 异面直线BC1与 AC所成的角的大小为。
解法二：
（I）建立空间直角坐标系D—xyz，如图。
设AD=a，DD1=b，则有D（0,0,0），A（a,0,0,）、B（a,a,0,）、C（0,a,0,）、C1（0,a,b,）
∴
，
，
∴
，
∴
， 
。
又∵AC，CC1平面，且AC∩CC1=C，
∴ BD⊥平面
（Ⅱ）
设BD与AC相交于O，连接C1O，则点O坐标为
，
∵ 
，
∴ BD⊥C1O ，又BD⊥CO
∴ ∠C1OC是二面角的平面角， ∴ ∠C1OC=60°。
∴ 
，
∴ 
。
∵ ，
， ∴ 
∴
异面直线BC1与 AC所成的角的大小为。
5． 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，
与
相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又
.
（Ⅰ）求异面直接与
所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）设点M在棱
上，且
为何值时，
平面
。
【解】 解法一：
平面， 
又
，
由平面几何知识得：
（Ⅰ）过
做
交于于，连结
，则
或其补角为异面直线与所成的角，
四边形是等腰梯形，
又
四边形
是平行四边形。 
是的中点，且
又
， 
为直角三角形，
在
中，由余弦定理得：
故异面直线PD与所成的角的余弦值为
。
（Ⅱ）连结
，由（Ⅰ）及三垂线定理知，
为二面角的平面角
， 
二面角的大小为
（Ⅲ）连结
，
平面
平面，
又在
中，
，
，
故
时，平面
解法二： 平面
又
，
，
由平面几何知识得：
以为原点，
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，
，
，
，
，
（Ⅰ）
， 
，
。 
。
故直线与所成的角的余弦值为。
（Ⅱ）设平面
的一个法向量为
，
由于
，
， 由
得 
取
，又已知平面ABCD的一个法向量
，
。
又二面角为锐角，
所求二面角的大小为
（Ⅲ）设
，由于
三点共线，
，
平面
由（1）（2）知：
，
。 
故时，平面。
6． 如图,α⊥β,α∩β=l , A∈α, B∈β,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求:
（I） 直线AB分别与平面α,β所成角的大小；
（II）二面角A1－AB－B1的大小。
【解】 解法一：（Ⅰ）如图, 连接A1B,AB1,
∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中, BB1= , AB=2,
∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
（Ⅱ）∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α。
在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B。过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB，
∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°， ∴AB1=B1B=.
∴Rt△AA1B中，
A1B== = 。
由AA1·A1B=A1F·AB得
A1F== = ,
∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE = = ，
∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）
如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z
1)=t(,1, 1), ∴点F的坐标为(t, t,1t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1t) ·(,1,1)=0, 2t+t(1t)=0， 解得t= ，
∴点F的坐标为（,, ）, ∴=(,, ).
设E为AB1的中点,则点E的坐标为（0,, ）。 ∴=(,,).
又·=(,－,)·(,1, 1)= =0,
∴⊥,
∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE= = = = = ,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.
7． 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60
，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD，得
∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO=60°.
在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1，由PO⊥BO,
于是，PO=BOtg60°=
,
而底面菱形的面积为2.
∴四棱锥P-ABCD的体积V=
×2×=2.
（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.
在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－,0)，B(1,0,0)，D(－1,0,0)，P(0,0,)。
E是PB的中点，则E(
,0,
)。 于是
=(
,0,),
=(0,,).
设
与
的夹角为θ，有cosθ=
， θ=arccos
。
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.
解法二：取AB的中点F，连接EF、DF.
由E是PB的中点，得EF∥PA,
∴∠FED是异面直线DE与PA所成角（或它的补角）。
在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP,
于是,在等腰Rt△POA中,PA=
,则EF=
.
在正△ABD和正△PBD中，DE=DF=.
cos∠FED=
=
∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.
8．
在直三棱柱中，
.
（1）求异面直线
与
所成的角的大小；
（2）若
与平面所成角为，求三棱锥
的体积。
【解】 （1） ∵BC∥B1C1， ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°,AB=BC=1， ∴∠ACB=45°,
∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.
（2）∵AA1⊥平面ABC,
∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45°.
∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=
∴AA1=。
∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=
。
9． 如图,长方体ABCD-
中，E、P分别是BC、
的中点,M、N分别是AE、
的中点，
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P－DEN的体积。
【解】 本小题主要考察长方体的概念、直线和平面、平面和平面的关系等基础知识，以及空间想象能力和推理能力。
解法一：（Ⅰ）证明：取
的中点
，连结
∵
分别为
的中点
∵
∴
面
，
面
∴面
面
∴
面
（Ⅱ）设
为
的中点
∵为
的中点
∴
∴
面
作
，交
于
，连结
，则由三垂线定理得
从而
为二面角
的平面角。
在
中，
，从而
在
中，
故：二面角的大小为
。
（Ⅲ）
作
，交
于
，由
面
得
∴
面
∴在
中，
∴
。
方法二：以为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立直角坐标系，则
∵
分别是
的中点
∴
（Ⅰ）
，取
，显然
面
，∴
又
面 ∴面
（Ⅱ）过作
，交于，取的中点，则
设
，则
又
由
，及在直线上，可得:
解得
∴
∴
即
∴
与
所夹的角等于二面角的大小
故：二面角的大小为
。
（Ⅲ）设
为平面
的法向量，则
又
∴
即
∴可取
∴点到平面的距离为
，
∵
，
，
∴
，
∴
。
10． 如图，在五面体
中，点是矩形的对角线的交点，面
是等边三角形，棱
．
（1）证明
//平面；
（2）设
，证明
平面
．
【解】 本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中。 
，又
，
则
，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形. 
又
平面CDE，且EM平面CDE，∵FO∥平面CDE
（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
且
.
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM
而FM∩CD=M， ∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.
而
，
所以EO⊥平面CDF.
11．【06浙江·理】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，
，
， 底面，且
，
分别为、
的中点。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求与平面
所成的角。
【解】 本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。
方法一：
（I）因为
是的中点，，所以
.
因为
平面，所以
，
从而
平面.因为
平面，
所以.
（II）取的中点
，连结
、
，
则
，
所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.
因为平面，
所以
是与平面所成的角.
在
中，
。
故与平面所成的角是
。
方法二：
如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系
，设
，则
.
（I） 因为
，所以
（II） 因为
，所以
，
又因为，所以平面
因此
的余角即是与平面所成的角.
因为
，
所以与平面所成的角为。
12． 如图（上右图），在正四棱柱
中，
，为
上使
的点。平面
交
于，交的延长线于，求：
（Ⅰ）异面直线与
所成角的大小；
（Ⅱ）二面角
的正切值；
【解】 解法一：（Ⅰ）由
为异面直线
所成的角。连接
.因为AE和分别是平行平面
与平面
的交线，所以
,由此可得
,再由
∽
得
在
。
（Ⅱ）作
为二面角
即二面角
的平面角
在
，
从而
解法二：（Ⅰ）由为异面直线
所成的角。因为
和分别是平行平面
与平面的交线，
所以
，由此可得
从而
，于是
在
（Ⅱ）在
知
为钝角，
作
为二面角二面角的平面角，
在
,
从而
。
解法三：（Ⅰ）以
为原点，
所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系。
于是
，
，
，
，
，
因为
和分别是平行平面与平面的交线，所以，设
，则
由
，于是
故
,设异面直线AD与
所成的角的大小为
，则
，从而
。
（Ⅱ）作
为二面角二面角
的平面角,设
则
，
由
得
，由此得
又由
共线得
，从而
，于是
联立（i）和（ii）得
，
，故
由
，
得：
。
13． 如图，在四棱锥中，底面ABCD，
为直角，
,
E、F分别为、中点。
（I）试证：
平面
；
（II）高
，且二面角
的平面角大小
，求
的取值范围。
【解】 （I）证：由已知
且为直角。故ABFD是矩形。从而
。又底面ABCD，
，故由三垂线定理知
。在Rt
中，E、F分别为PC、CD的中点，故EF//PD,从而
，由此得面BEF。
（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在
中易知EG//PA。又因PA底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，过G作GHBD。垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD。从而
为二面角E-BD-C的平面角。
设
。
以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2）。
连结GD，因
。
故GH＝
。在
。
，
而
。因此，
。
由
知是锐角。故要使
，必须
，
解之得，上式中的取值范围为
。
14． 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：
平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离。
【解】 本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
方法一：（I）证明：连结OC
在
中，由已知可得
而
即
平面
（II）
取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在
中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）
设点E到平面ACD的距离为
， ∴ 
在
中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为
则
令
得
是平面ACD的一个法向量。
又
点E到平面ACD的距离 
15． 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m，
（I）试确定m，使得直线AP与平面BD D1B1所成角的正切值为
；
（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。
【解】 本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想像能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法１：（I）
故
。所以
。
又
.
故
在
△
，即
.
故当时，直线
。
（Ⅱ）依题意，要在
上找一点，使得
.
可推测的中点
即为所求的点。
因为
，所以
又
,故
。
从而
解法二：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则
A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,ｍ)，C(0,1,0),
D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
所以
又由
的一个法向量.
设
与
所成的角为
，
则
依题意有：
，解得.
故当时，直线。
（Ⅱ）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，
则
。
依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于
即为的中点时，满足题设的要求。
16． 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，
是底面边上的中点，是侧棱
上的点，且
。
（Ⅰ）求二面角
的平面角的余弦值；
（Ⅱ）求点到平面
的距离。
【解】 本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。
解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AM,所以AM面
，从而AM
, AMNM，所以
为二面角的平面角。又=
，MN=
,
连
，得＝
，
在
中，由余弦定理得
。
故所求二面角的平面角的余弦值为
。
（Ⅱ）过在面内作直线
，为垂足。又
平面，所以AM
。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在
中，＝
。故点到平面AMN的距离为1。
解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，，0）,
C(0,1,0)，N (0,1,
) ，A (
)，所以，
，
，
。
因为
所以
，同法可得
。
故
为二面角的平面角。
∴ 
＝
故所求二面角—AM—N的平面角的余弦值为。
（Ⅱ）设为平面AMN的一个法向量，则由
得
故可取
。
设
与n的夹角为，则
。
所以到平面AMN的距离为
。
17． 如图4, 已知两个正四棱锥
的高分别为1和2, 
。
（I）证明: 
；
（II）求异面直线
所成的角；
（III）求点到平面
的距离。
【解】 解法一：（Ⅰ）连接AC、BD，设AC
BD＝O
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，
所以PO平面ABCD，QO平面ABCD
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD
（II）由题设知，ABCD是正方形，所以
．由（I），
平面
，故可分别以直线CA、DB、QP为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系（如图），由题设条件，相关各点的坐标分别是
，A（
,0,0），
，
于是
从而异面直线AQ与PB所成的角是
。
（Ⅲ）由（Ⅱ），点D的坐标是
，
，
设
＝（x,y,z）是平面QAD的一个法向量，由
所以点P到平面的距离
。
解法二：（Ⅰ）取AD的中点M，连接PM、QM。
因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM。
从而AD
平面PQM。
又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD。
同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD。
（Ⅱ）连接AC、BD，设ACBD＝O，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P，A，Q，C四点共面。
取OC的中点N，连接PN。
因为
，所以
， 
（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角。
连接BN。 因为
．
所以
。
从而异面直线AQ与PB所成的角是。
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM 。
过点P作PH⊥QM于H，则PH⊥QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。
连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。
又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=
。
即点P到平面QAD的距离是。
18． 
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到
的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）。
【解】[考点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力]
不妨设正三角形的边长为3，则
（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，
∵AE∶EB=CF∶FA=1∶2，∴AF=AD=2，而∠A=60o，∴△ADF为正三角形。
又AE=DE=1，∴EF⊥AD。
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1－EF－B的一个平面角，
由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE。
又BEEF=E，∴A1E⊥面BEF，即A1E⊥面BEP。
（II）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是面A1BP的斜线，又A1E⊥面BEP，
∴A1E⊥BP，∴BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）
设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，
则∠EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BP⊥A1Q。
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60o，∴△EBP为正三角形，∴BE=EP。
又A1E⊥面BEP，∴A1B=A1P，∴Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，
∴在Rt△A1EQ中，
，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。
（III）在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM、QF。
∵CF=CP=1，∠C=60o，∴△FCP为正三角形，故PF=1，
又PQ=BP=1， ∴PF=PQ……
①
∵A1E⊥面BEP，EQ=EF=，∴A1F=A1Q，
∴△A1FP
△A1QP，故∠A1PF=∠A1PQ…… ②
由①②及MP为公共边知△FMP△QMP，
故∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
∴∠FMQ为二面角B－A1P－F的一个平面角。
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴A1P=
，
∵MQ⊥A1P， ∴MQ=
， ∴MF=。
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60o，由余弦定理得QF=，
在△FMQ中，
，
∴二面角B－A1P－F的的大小为
。
19．如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形
（1）求证：AD^BC；
（2）求二面角B－AC－D的大小；
（3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD。
成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。
【解】 解法一：
（1） 方法一：
作AH^面BCD于H，连DH。
AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1
\AB＝
＝BC＝AC \BD^DC
又BD＝CD，则BHCD是正方形，
则DH^ BC
\AD^BC
方法二：取BC的中点O，连AO、DO
则有AO^BC，DO^BC， \BC^面AOD
\BC^AD
（2）作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，则ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝\M是AC的中点，且MN¤¤CD，则BM＝
，MN＝CD＝，BN＝AD＝
，由余弦定理可求得cosÐBMN＝
\ ÐBMN＝arccos。
（3）设E是所求的点，作EF^CH于F，连FD。则EF¤¤AH，\EF^面BCD，ÐEDF就是ED与面BCD所成的角，则ÐEDF＝30°。设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，
FD＝
， \tanÐEDF＝
＝
＝
解得：x＝，
则CE＝x＝1
故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30°角。
解法二：此题也可用空间向量求解，解答略。
20．【06江西·文】 如图，已知三棱锥
的侧棱
两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求异面直线BE与AC所成的角；
（3）求二面角
的大小。
【解】方法一：（1）取BC的中点D，连AD、OD。
，则
∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，
则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。
，
。
∴
面OBC，则
。
，在直角三角形OAD中，有
（另解：由
知：
）
（2）取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角。
求得：
，
， ∴
。
（3）连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF。
∵OC⊥面OAB， ∴OC⊥AB。 又∵OH⊥面ABC，
∴CF⊥AB ∴EF⊥AB，
则∠EFC就是所求二面角的平面角。作EG⊥CF于G，则
。
在直角三角形OEF中，
（或表示为
）
方法二：（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。
则有A（0,0,1）、B（2,0,0）、C（0,2,0）、E（0,1,0）
设平面ABC的法向量为
，则由
知：
，
则由
知：
，
取
，则点O到面ABC的距离为
。
（2）
。 
所以异面直线BE与AC所成的角
。
（3）设平面EAB的法向量为
，则由
知
；
由
知：
取
。
由（1）知平面ABC的法向量为。
结合图形可知，二面角的大小为：。
21．【06辽宁·理】 已知正方形。、分别是、的中点,将
沿
折起，如图所示。记二面角
的大小为
。
（I） 证明
平面
；
（II） 若为正三角形，试判断点在平面
内的射影是否在直线
上，证明你的结论,并求角的余弦值。
【解】
（I） 证明：EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,
EB//FD，且EB=FD，
四边形EBFD为平行四边形。
BF//ED
平面
.
（II）解法1：
如右图，点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G，连结GC,GD.
ACD为正三角形， AC=AD CG=GD
G在CD的垂直平分线上，
点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，
过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则
，所以
为二面角
A—DE—C的平面角。即
。
设原正方体的边长为2a，连结AF
在折后图的AEF中，AF=
，EF=2AE=2a，
即AEF为直角三角形，
。
在RtADE中,
。
解法2：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF，在平面AEF内过点作
，垂足为
。
ACD为正三角形，F为CD的中点， 
又因
, 所以
又且
为A在平面BCDE内的射影G.
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上
过G作GH垂直于ED于H，连结AH,则，所以
为二面角A-DE-C的平面角。即
设原正方体的边长为2a，连结AF
在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，
即AEF为直角三角形,
在RtADE中,
。
解法3：点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上
连结AF，在平面AEF内过点作，垂足为。
ACD为正三角形，F为CD的中点,
又因，所以
又
为A在平面BCDE内的射影G。
即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上。
过G作GH垂直于ED于H，连结AH，则，所以为二面角A-DE-C的平面角.即。
设原正方体的边长为2a，连结AF
在折后图的AEF中，AF=，EF=2AE=2a，
即AEF为直角三角形,
在RtADE中, ,
。
22．【06全国Ⅰ·理】 如图，
、
是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，AM=MB=MN。
（Ⅰ）证明ACNB
（Ⅱ）若
,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
【解】 解法一：
（Ⅰ）
又AN为AC在平面ABN内的射影
（Ⅱ）
又已知
，因此为正三角形.
，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连结BH，
为NB与平面ABC所成的角.
在
中，
解法二：
如图，建立空间直角坐标系
. 令
,
则有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）。
（Ⅰ）
是
、
的公垂线，
，
故可设C（0，1，m）。
于是
， 。
（Ⅱ）
又已知
为正三角形，
。
在
中，
，可得
，故 C（0，1，）
连结MC，做
于H，设
，可得
，连结BH，则
，
, 又
又
。
23．如图，在直三棱柱中，
、分别为、
的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；
（II）设
求二面角
的大小。
【解】 解法一：
（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C1C，
又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1， BO面ABC， 故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1， ED⊥AC1， ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．
（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB 可知，A1ACC1为正方形，
∴A1E⊥AC1， 又由ED⊥平面ACC1A1和ED平面ADC1知
平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，
则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．
不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，
tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°．
解法二：
（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．
设A(a,0,0)，B(0,b,0)，B1(0,b,2c)．
则C(－a,0,0)，C1(－a,0,2c)，E(0,0,c)，D(0,b,c)．
＝（0，b，0），＝(0，0，2c)． ·＝0，
∴ED⊥BB1．
又＝(－2a,0,2c)， ·＝0， ∴ED⊥AC1，
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．
（Ⅱ）不妨设A(1,0,0)，则B(0,1,0)，C(－1,0,0)，A1(1,0,2)，
＝(－1,－1,0)，＝(－1,1,0)，＝(0,0,2)，
·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面A1AD．
又E(0,0,1)，D(0,1,1)，C(－1,0,1)，＝(－1,0,－1)，＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)，
·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E， ∴ EC⊥面C1AD．
cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°．
24．【06山东·理】 如图，已知平面
平行于三棱锥
的底面ABC，等边△
所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设
（Ⅰ）求证直线
是异面直线
与
的公垂线；
（Ⅱ）求点A到平面VBC的距离；
（Ⅲ）求二面角
的大小。
【解】解法1：（Ⅰ）证明： ∵平面
∥平面，
又∵平面
⊥平面，平面∩平面
，
∴⊥平面，
，
又
，
. 
为与
的公垂线.
（Ⅱ）解法1：过A作
于D，
∵△为正三角形， ∴D为
的中点.
∵BC⊥平面
∴
，
又
， ∴AD⊥平面
，
∴线段AD的长即为点A到平面的距离.
在正△中，
.
∴点A到平面的距离为.
解法2：取AC中点O连结
，则⊥平面，且=.
由（Ⅰ）知
，设A到平面的距离为x， 
，
即
，解得
.
即A到平面的距离为.
所以，到平面的距离为.
（III）
过点作
于，连
，由三重线定理知
是二面角
的平面角。
在
中，
。
。
所以，二面角的大小为arctan
。
解法二：取中点连,易知
底面，过作直线
交于。
取为空间直角坐标系的原点，
所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则
。
（I）
，
，
，
。
又
由已知
。
，
而
。
又
显然相交，
是
的公垂线。
（II）设平面的一个法向量， 又
由
取
得 
点到平面的距离，即
在平面的法向量上的投影的绝对值。
，设所求距离为
。
则
所以，A到平面VBC的距离为.
（III）设平面
的一个法向量
由
取
，
二面角为锐角，
所以，二面角的大小为
选择题与填空题答案
一、选择题
1．D 2．A 3．D 4．B 5．C 6．B 7．B
8．C 9．C 10．B 11．C 12．D 13．C 14．C
15．D 16．D 17．A 18．B
二、填空题
1．①③④⑤
2．①③ 3．
4．
5．
6．
7．
8．
9．
10．①，②