不等式求最值
[定理]如果a,b∈R，那么a2+b2 ≥2ab（当且仅当a=b时，取“=” ）
[定理]如果a,b是正数，那么
(当且仅当a=b时，取“=”)
1. 二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和“积式”转化为“和式”的放缩功能。
2. 创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立。
3.
“和定积最大，积定和最小，”即2个正数的和为定值，则可求其积的最大值
；积为定值，则可求其和的最小值
。
应用此结论求值要注意三个条件：
⑴各项或因式非负；
⑵和或积为定值； 一正二定三相等
⑶等号能不能取到。
必要时要作适当的变形，以满足上述前提。
例1、若x<0，则2 + 3x + 的最大值是 （ ）
(A) 2 + 4 (B) 2±4 (C) 2－4 (D) 以上都不对
例2、已知x，y都是正数，且
，求x+y的最小值。
例3、已知a>b>0，则a2 + 的最小值是_________。
巩固练习
1．设a、b为实数，且a＋b＝3，则
的最小值为
（
）
A．6 B．
C．
D．8
2．若x＞4，则函数
（
）
A．有最大值—6 B．有最小值6
C．有最大值—2 D．有最小值2
3．已知y=f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=x+
,当x∈［－3,－1］时，记f(x)的最大值为m，最小值为n，则m－n等于
（
）
A.2
B.1
C.3
D.
4、已知
，且
，则下列四个数中最小的是
（
）
A、
B、
C、
D、
5、已知实数x，y满足x+y－1=0，则x2+y2的最小值为 （ ）
A．
B．2 C．
D．
6．设实数x, y满足x + y=4, 则
的最小值为 （ ）
A． B．4 C．2 D．8
7．不等式
的最大值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
8、下列函数中，
的最小值是4的是
（ ）
A、
B、
C、
D、
9、已知
、
、
则
（
）
A、
B、
C、
D、
10、设
均为正数,且
、
为常数,
、
为变量.若
,则
的最大值为
A. 
B. 
C. 
D.
11．已知两个正数x,y满足x＋y=4，则使不等式
≥m，恒成立的实数m的取值范围是
.
12．已知
>b，·b=1则
的最小值是
.
13、若直角三角形周长为2，则它的最大面积为 。
14、已知
，则 
。
15、（本小题满分12分）已知
．若
、
, 试比较
与
的大小，并加以证明．
16、已知
，且
，求证：
（改为：
呢？）
17、（本小题满分12分）某工厂去年的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为
（k＞0，k为常数，
且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为
万元．
（1）求k的值，并求出的表达式；
（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?
答案：例1、C 例2、
例3、16
练习1、B2、A3、B4、C5、A6、C7、B8、C9、B10、C
11、
12、
13、
14、
15、
时，
；
时，
16、略
17、解：（1）由，当n＝0时，由题意，可得k＝8，
所以
．
（2）由
．
当且仅当
，即n＝8时取等号，
所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元