同角三角函数的基本关系
【课前复习】
1．叙述任意角三角函数的定义．
2．计算下列各式的值：
sin230°＋cos230°＝_______________；sin2420°＋cos2420°＝________________；
＝_______________；tan
·cot＝_______________．
【学习目标】
1．掌握同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，
＝tanα，tanαcotα＝1．
2．运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题．
【基础知识精讲】
本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用，难点是三角函数值符号在不同象限时的确定．
1．同角三角函数的基本关系式，反映三角函数之间的内在联系．它们都是根据三角函数的定义推导出来的．亦可以利用单位圆用几何方法推出．
2．对同角三角函数基本关系式的应用应注意：
（1）关系式中要注意同角．例如sin2α＋cos2β＝1就不恒成立．
（2）关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才成立．如，当α＝
（k∈Z）时，tanα·cotα＝1就不成立．
（3）对公式除了顺用，还应用逆用、变用、活用．例如，由sin2α＋cos2α＝1，可变形为cos2α＝1－sin2α，cosα＝±
，1＝sin2α＋cos2α，sinα·cosα＝
等．
（4）注意“1”的代换，可用sin2α＋cos2α，tanα·cotα等去代换1．
3．用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同角”，至于角的表达形式是无关重要的，如：sin22α＋cos22α＝1，tan
＝
，tan4α·cot4α＝1等．
4．sin2α是（sinα）2的简写，读作“sinα的平方”，而不能写成sinα2，前者是α的正弦值的平方，后者是α的平方的正弦，两者是不同的．
5．同角三角函数的基本关系式有哪些应用？
（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；
（2）化简三角函数式；
（3）证明简单的三角恒等式．
其中，根据角α终边所在象限求出其三角函数值，是本课时的一个难点，它的结果不唯一，需要讨论，正确运用平方根及象限角的概念，是解决这一难点的关键．
6．根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值（简称“知一求二”）时，如何判断是一组结果还是两组结果？
如果角所在象限已指定，那么只有一组解；如果角所在象限没有指定，一般应有两组解．
7．基本关系式的重要等价变形有哪几个？
常用的有以下几个：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α；sinα＝cosα·tanα；cosα＝
；（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；＝cosα．
【学习方法指导】
［例1］已知α是第三象限角且tanα＝2，求cosα的值．
分析：本题是1992年高考题，虽然简单，但有很高的训练价值，下面给出两种解法．
解法一：（公式法）由tanα＝2知＝2，sinα＝2cosα，sin2α＝4cos2α，而sin2α＋cos2α＝1，∴4cos2α＋cos2α＝1，cos2α＝
．
由α在第三象限知cosα＝－
解法二：（锐角示意图法）
图4－4－1
先视α为锐角，作锐角示意图，如图4－4－1，则cosABC＝
∵α是第三象限角，∴cosα＝－．
当已知角的一个三角函数值是字母时，如何求其他三角函数值？
［例2］已知sinα＝m（m<1），求tanα，cosα．
分析：由sinα求cosα，需用公式sin2α＋cos2α＝1，但cosα取正或取负应根据α所在象限来确定，所以需对α分类讨论．
解：（1）当－1<m<1，且m≠0时，
若α在第一、四象限，则cosα＝
，
tanα＝＝
＝
；
若α在第二、三象限，则cosα＝－
，
tanα＝
．
（2）若m＝0，则α＝kπ（k∈Z），
∴tanα＝0，cosα＝±1．
点评：当已知角α的一个三角函数值为字母时，应对α分类讨论．
［例3］已知tanα＝－
，求下列各式的值：
（1）
；（2）2sin2α＋sinαcosα－3cos2α．
分析：根据题目的条件，可将欲求值的式用tanα来表达．
解：（1）原式＝
＝
＝
．
（2）原式＝
＝
＝
．
点评：本例的解法，体现了一种转化与化归的数学思想方法，把含有正弦、余弦的分式和齐次式转化为只含有正切的式子是常用的三角变换技巧．
【知识拓展】
1．根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义，可得出八个式子．
即
2．同角三角函数的基本关系式是整个三角函数一章的重点内容之一，应牢记三个基本公式，并能正确地运用它们进行三角函数求值、化简、证明．在应用中逐渐掌握解题技巧：
如“1”的变形，切化弦思想，等价转化的思想．
【同步达纲训练】
一、选择题
1．若sinα＝
，且α是第二象限角，则tanα的值等于（ ）
A．－ B．
C．± D．±
2．已知sinα＋cosα＝，且0≤α<π，那么tanα等于（ ）
A．－ B．－ C． D．
3．若sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα等于（ ）
A．±
B．1 C．－1 D．±1
二、填空题
4．若sinα＋3cosα＝0，则
的值为____________．
5．已知tanα＝2，则
＝____________．
三、解答题
6．已知tanθ＋costθ＝2，
求：（1）sinθ·cosθ的值；（2）sinθ＋cosθ的值；（3）sin3θ＋cos3θ的值．
参考答案
【课前复习】
1．（略） 2．1 1 1 1
【同步达纲训练】
一、1．A 根据α是第二象限角，由平方关系可得cosα＝－
，从而tanα＝＝－．
2．A 解方程组
得
或
又因为0≤α<π，故取sinα＝，这时cosα＝－，求得tanα＝－．
3．D ∵（sin2α＋cos2α）2＝sin4α＋cos4α＋2sin2αcos2α＝1＋2sin2αcos2α，sin2α＋cos2α＝1
∴sin2αcos2α＝0sinαcosα＝0
当sinα＝0时，cosα＝±1
当cosα＝0时，sinα＝±1．
∴所以sinα＋cosα＝±1．
二、4．－
由已知可得tanα＝－3，于是原式＝
＝－．
5．
＝
＝tanα＋
＝2＋
＝．
三、6．解：（1）∵tanθ＋cotθ＝2，∴
＋
＝2，
＝2
∴sinθ·cosθ＝；
（2）∵（sinθ＋cosθ）2＝sin2θ＋2sinθ·cosθ＋cos2θ＝1＋2×＝2
又tanθ＋cotθ＝2>0，可得sinθ·cosθ＝>0，故sinθ与cosθ同号，从而sinθ＋cosθ＝
；
（3）∵sin3θ＋cos3θ＝（sinθ＋cosθ）（sin2θ－sinθ·cosθ＋cos2θ）＝ （sinθ＋cosθ）
∴sin3θ＋cos3θ＝