第二章 《点、直线、平面之间的位置关系》
一、选择题
1． 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若
；
②若m、l是异面直线，
；
③若
；
④若
其中为假命题的是
A．① B．② C．③ D．④
2.设
为两两不重合的平面，
为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若
，
，则
；②若
，
，
，
，则；
③若，
，则
；④若
，
，
，
，则
其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若
；
②若
；
③若
；
④若m、n是异面直线，
。其中真命题是
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
4．已知直线
及平面
，下列命题中的假命题是
A．若
，
，则
. B．若
，
，则
.
C．若
，，则. D．若
，，则.
5．在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是
A．BC∥平面PDF B．DF
平面PAE
C．平面PDF平面ABC D．平面PAE平面ABC
6．有如下三个命题：
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；
②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；
③过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直．
其中正确命题的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
7．下列命题中，正确的是
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
8．已知直线m、n与平面
，给出下列三个命题：
①若
②若
③若
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
9．已知a、b、c是直线，
是平面，给出下列命题：
①若
；
②若
；
③若
；
④若a与b异面，且
相交；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.
其中真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
A．18对 B．24对 C．30对 D．36对
11．正方体
中，
、
、
分别是
、
、
的中点．那么，正方体的过、、的截面图形是
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
12．不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有
A．3个 B．4个 C．6个 D．7个
13．设
为平面，
为直线，则
的一个充分条件是
A．
B．
C． 
D．
14．设
、 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l
，m，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么
A．①是真命题，②是假命题 B． ①是假命题，②是真命题
C． ①②都是真命题 D．①②都是假命题
15．对于不重合的两个平面与，给定下列条件：
①存在平面
，使得、都垂直于；
②存在平面，使得、都平行于；
③内有不共线的三点到的距离相等；
④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，
其中，可以判定与平行的条件有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
1．已知平面和直线m，给出条件：①
；②
；③；④
；⑤
.
（i）当满足条件
时，有
；
（ii）当满足条件
时，有（填所选条件的序号）
2．在正方形
中，过对角线
的一个平面交
于E，交
于F，则
①
四边形
一定是平行四边形
②
四边形有可能是正方形
③
四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形
④
四边形有可能垂直于平面
以上结论正确的为
（写出所有正确结论的编号）
3．下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是____________．（写出所有真命题的编号）
4．已知m、n是不同的直线，
是不重合的平面，给出下列命题：
①若
则
②若
则
③若
,则
④m、n是两条异面直线，若
则
上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)
5．
已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：
① 若
，则
平行于平面内的任意一条直线
② 若则
③若,则
④若
,则
上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号)
6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是
（填写所有正确选项的序号）
①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形
④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形
三、计算题
1． 如图1所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=
.F是线段PB上一点，
，点E在线段AB上，且EF⊥PB.
（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；
（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.
[解]（I）证明：
∵
∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证
△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形
故PA⊥平面ABC
又∵
而
故CF⊥PB,又已知EF⊥PB
∴PB⊥平面CEF
（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC
∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE
在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，
EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC
故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角
二面角B—CE—F的大小为
2．
如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，
，
⑴ 求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；
⑵ 证明：BC⊥平面SAB；
⑶
用反三角函数值表示二面角B—SC—D的大小（本小问不必写出解答过程）
[解]（Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=600，
∴△CDF为正三角形，∴CF=DF
又BC=DE，∴BF=EF因此，△BFE为正三角形，
∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD
所以∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角
∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，
∴SB=
，同理SE=，
又∠BAE=1200，所以BE=
，从而，cos∠SBE=
，
∴∠SBE=arccos
所以异面直线CD与SB所成的角是arccos
(Ⅱ) 由题意，△ABE为等腰三角形，∠BAE=1200，
∴∠ABE=300，又∠FBE =600， ∴∠ABC=900，∴BC⊥BA
∵SA⊥底面ABCDE，BC底面ABCDE，
∴SA⊥BC，又SA
BA=A，
∴BC⊥平面SAB
（Ⅲ）二面角B-SC-D的大小
3． 已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点,△ABC，△PEF
都是正三角形，PF⊥AB.
（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值；
（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的
球面上，求△ABC的边长.
[解] 本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法。
（Ⅰ）证明： 连结CF.
（Ⅱ）解法一：
为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则
解法二：设P在平面ABC内的射影为O. 
≌
≌
得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. 
为所求二面角的平面角.
设AB=a，则
（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R. 
，
的边长为.
解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径.
连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.
.
4. 已知正三棱锥
的体积为
，侧面与底面所成的二面角的大小为
。
（1）证明：
；
（2）求底面中心
到侧面的距离.
[证明]（1）取
边的中点
，连接
、
，
则
，
，故
平面
.
∴ .
（2）如图，
由（1）可知平面
平面，则
是侧面与底面所成二面角的平面角.
过点作
为垂足，则
就是点到侧面的距离.
设为
，由题意可知点在上，
∴ 
，
.
,
∴ 
，
∵ 
，∴ 
.
即底面中心到侧面的距离为3.
5．如图,在直四棱柱 中,
,
，
垂足为
(Ⅰ)求证
;
(Ⅱ)求二面角
的大小;
(Ⅲ)求异面直线与
所成角的大小
[解] （I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，
∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影．
∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C；
（II）连结A1E，C1E，A1 C1．
与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，
∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角．
∵ AD⊥DC，
∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°，
又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2
，AA1=且 AC⊥BD，
∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，
∴ A1E＝2，C1E＝2，
在△A1EC1中，A1C12＝A1E2＋C1E2， ∴ ∠A1EC1＝90°，
即二面角A1－BD－C1的大小为90°．
（III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角．
∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1，
∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC， ∴ FC1=
，BC1＝
，
在△BFC1 中，
, ∴ ∠C1BF=
即异面直线AD与BC1所成角的大小为．
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系 连结
与(1)同理可证,
,
∴
为二面角
的平面角.
由
得
∴
∴
即
∴二面角的大小为
（Ⅲ）如图,由
,
得
∴
∴
∵异面直线与所成角的大小为
解法三：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结
.
与（Ⅰ）同理可证
∴为二面角的平面角
由
得
∵
∴
即
∴二面角的大小为
6．
如图, 在直三棱柱
中，
，点
为的中点
(Ⅰ)求证
;
(Ⅱ) 求证
;
(Ⅲ)求异面直线
与
所成角的余弦值
[解]（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，
∵ D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴ DE//AC1，
∵
DE平面CDB1，AC1
平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1；
（III）∵ DE//AC1， ∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，
在△CED中，ED=
AC 1=
，CD=AB=，CE=CB1=2
，
∴ 
，
∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值
.
解法二：
∵直三棱锥底面三边长
，
两两垂直
如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(
,2,0)
(Ⅰ)
,
(Ⅱ)设
与
的交点为E，则E(0,2,2)
(Ⅲ)
∴异面直线与所成角的余弦值为
7．如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行
线，分别交AB、AC于
、
．将
沿
折起到
的位置，使点
在平面
上的射影恰是线段BC的中点M．求：
（1）二面角
的大小；
（2）异面直线
与
所成角的大小（用反三角函数表示）．
[解] 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力．
（Ⅰ）连接AM，A1G
∵G是正三角形ABC的中心，
且M为BC的中点，
∴A，G，M三点共线，AM⊥BC．
∵B1C1∥BC，
|
即GM⊥B1C1，GA1⊥B1C1，
∴∠A1GM是二面角A1—B1C1—M的平面角．
∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M，
∴A1M⊥MG，∠A1MG=90°
在Rt△A1GM中，由A1G=AG=2GM得∠A1GM=90°
即二面角A1—B1C1—M的大小是60°
（Ⅱ）过B1作C1C的平行线交BC于P，则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角．
由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP，
PM=BM—BP=
A1B1=AB1=2．
∵A1M⊥面BB1C1C于M， ∴A1M⊥BC，∠A1MP=90°．
在Rt△A1GM中，A1M=A1G·
在Rt△A1MP中，
在△A1B1P中，由余弦定理得
，
∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos
8．
如图，正三棱锥S—ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：
（Ⅰ）
的值；
（Ⅱ）二面角S—BC—A的大小；
（Ⅲ）正三棱锥S—ABC的体积.
[解] 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力．
（Ⅰ）∵SB=SC，AB=AC，M为BC中点， ∴SM⊥BC，AM⊥BC.
由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即
（Ⅱ）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，
∵SM⊥BC，AM⊥BC， ∴∠SMA是二面角S—BC—A的平面角.
在Rt△SGM中，
∵
∴∠SMA=∠SMG=60°，
即二面角S—BC—A的大小为60°。
（Ⅲ）∵△ABC的边长是3，
∴
∴
9．
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
[解]本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力
（I）
（II）连结AC、BD交于G，连结FG，∵ABCD为正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC，∠FGB为二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE⊥平面BCE，
∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=
，
在直角三角形BCE中，CE=
在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，
∴二面角B-AC-E为
（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距离等于B到平面ACE的距离，BF⊥平面ACE，线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为D到平面ACE的距离所以D到平面的距离为
另法：过点E作
交AB于点O. OE=1.
∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.
设D到平面ACE的距离为h，
平面BCE，
∴点D到平面ACE的距离为
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE面BCE， 
，
在
的中点，
设平面AEC的一个法向量为
，
则
解得
令
得
是平面AEC的一个法向量.
又平面BAC的一个法向量为
，
∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴
，
∴点D到平面ACE的距离
10． 如图，在四棱锥P—ABC中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点
（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，
并求出N点到AB和AP的距离
[解] 解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，，2）
从而
=（，1，0），
=（，0，-2）
设与的夹角为
，则
，
∴AC与PB所成角的余弦值为
（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，0，z），则
由NE⊥面PAC可得：
即
化简得
即N点的坐标为（
，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，
解法二：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，
∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角
在ΔAOE中，AO=1，OE=PB=
，AE=PD=
，
∴
即AC与PB所成角的余弦值为
（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则
连PF，则在RtΔADF中DF=
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC
∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=
11．
如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，
BC=2，CC1=3，BE=1
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离
[解] 本小题主要考查线面关系和空间距离的求法
等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力
解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.
又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH.
∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2.
（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，
则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.
过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，
由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，且
AG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离
解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），
A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.
∵AEC1F为平行四边形，
（II）设
为平面AEC1F的法向量，
的夹角为a，则
∴C到平面AEC1F的距离为
12．
如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.
（Ⅰ）证明：AC⊥BO1；
（Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.
[解] 解法一（I）证明 由题设知
OA⊥OO1，OB⊥OO1.
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1
所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），
B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）.
从而
所以AC⊥BO1.
（II） 因为
所以BO1⊥OC，
由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，
是平面OAC的一个法向量.
设是0平面O1AC的一个法向量，
由
得
.
设二面角O—AC—O1的大小为，由
、的方向可知
，>，
所以cos
，>=
即二面角O—AC—O1的大小是
解法二（I）证明 由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，
即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1内的射影.
因为
，
所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1
由三垂线定理得AC⊥BO1.
（II）解 由（I）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC.
设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图4），则EF是O1E在平面AOC内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC.
所以∠O1FE是二面角O—AC—O1的平面角.
由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，
所以
，
从而
， 又O1E=OO1·sin30°=
，
所以
即二面角O—AC—O1的大小是
13． 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为
.
[解] 解法（一）
（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E
（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=
，AD1=，
故
（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，
则D1H⊥CE，
∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.
设AE=x，则BE=2－x
解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐
标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）
C（0，2，0）
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），
从而
，
，
设平面ACD1的法向量为
，
则
也即
，得
，从而
，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量，∴
由
令b=1, ∴c=2,a=2－x，∴
依题意
∴
（不合，舍去），
.
∴AE=
时，二面角D1—EC—D的大小为.
14． 已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小
[解] 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力
方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD.
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD.
又CD面PCD，∴面PAD⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA， 则∠PBE是AC与PB所成的角.
连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形. 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=，PB=， 
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC,
∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.
在等腰三角形AMC中，AN·MC=
，
.
∴AB=2，
故所求的二面角为
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
.
（Ⅰ）证明：因
又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD
（Ⅱ）解：因
由此得AC与PB所成的角为
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在
使
要使
为所求二面角的平面角.
15． 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF垂直于平面PAB；
（Ⅱ）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．
[解] 本题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。
方法一：
（Ⅰ）证明：连接EP。
∵PD⊥底面ABCD，DE在平面ABCD内， ∴PD⊥DE，又CE=ED，PD=AD=BC。
∴Rt△BCE≌Rt△PDE ∴PE=BE.
∵F为PB的中点 ∴EF⊥PB。
由三垂线定理得：PA⊥AB。 ∴在Rt△PAB中，PF=AF，又PE=BE=EA，
∴△EFP≌△EFA。
EF⊥FA
∵PB、FA为平面PAB内的相交直线。 ∴EF⊥平面PAB。
（II）解：不妨设BC=1，则AD=PD=1。 
方法二： 以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系。
（Ⅰ）
。
。
（Ⅱ）解：
16． 在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD．
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
[解] 证明：（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，
则A（
，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，
），
∴
由
又AB∩AV=A
∴AB⊥平面VAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
是面VAD的法向量
设
是面VDB的法向量，则
∴
，
又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为
17． 如图，已知长方体
，
，直线
与平面
所成的角为
，
垂直于
为
的中点．
（Ⅰ）求异面直线与
所成的角；
（Ⅱ）求平面
与平面
所成二面角（锐角）的大小；
（Ⅲ）求点
到平面的距离
[解] (考查知识点：立体几何)
解法一：（向量法）
在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系如图．
由已知，可得
．
又
平面，从面与平面所成的角即为
又
从而易得
（Ⅰ）
即异面直线、所成的角为
（Ⅱ）易知平面的一个法向量
设
是平面的一个法向量．
由
取
∴
即平面与平面所成二面角（锐角）大小为
（Ⅲ）点A到平面BDF的距离，即
在平面BDF的法向量
上的投影的绝对值
所以距离
所以点A到平面BDF的距离为
解法二：(几何法)
（Ⅰ）连结
，过F作的垂线，垂足为K，
∵
与两底面ABCD，
都垂直，
∴
又
因此
∴∠
为异面直线与所成的角
连结BK，由FK⊥面
得
， 从而 
为
在 
和
中，
由
得
又
， ∴
∴异面直线与所成的角为
（Ⅱ）由于面
由作的垂线
，垂足为
，连结
，由三垂线定理知
∴
即为平面与平面所成二面角的平面角
且∠
，在平面中，延长与；交于点
∵
为的中点
∴
、分别为
、
的中点 即
，
∴
为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点F，即F、G重合
易得
，在
中，
∴
，
∴∠
，
即平面于平面所成二面角（锐角）的大小为
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面
是平面与平面所成二面角的平面角所在的平面
∴面
在
中，由Ａ作AH⊥DF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离
由AH
DF=ADAF，得
所以点A到平面BDF的距离为
18． 已知直四棱柱中，
，底面
是直角梯形，
，
，
，
，
，求异面直线与
所成的角的大小（结果用反三角函数表示）
[解] 由题意AB∥CD,∴∠C1BA是异面直线BC1与DC 所成的角.连结AC1与AC,在Rt△ADC中,可得AC=.
又在Rt△ACC1中,可得AC1=3.
在梯形ABCD中,过C作CH∥AD交AB于H,
得∠CHB=90°,CH=2,HB=3,
∴CB=
.
又在Rt△CBC1中,可得BC1=
,
在△ABC1中,cos∠C1BA=
,∴∠C1BA=arccos
异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos
另解:如图,以D为坐标原点,分别以DA、DC、DD1所在
直线为x、y、z轴建立直角坐标系.
则C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴
=(－2,－3,2),
=(0,－1,0),设与所成的角为θ,
则cosθ=
=,θ= arccos.
异面直线BC1与DC所成角的大小为arccos
19．
如图，在斜三棱柱
中，
，侧面
与底面ABC所成的二面角为
，E、F分别是棱
的中点
（Ⅰ）求
与底面ABC所成的角
（Ⅱ）证明
∥平面
（Ⅲ）求经过
四点的球的体积
[解]
（Ⅰ）过作
平面
，垂足为
．
连结
，并延长交
于，于是
为与底面所成的角．
∵
，∴
为
的平分线．
又∵
，∴
，且为的中点．
因此，由三垂线定理
．
∵
，且
，∴
．
于是
为二面角
的平面角，
即
．
由于四边形
为平行四边形，得
．
（Ⅱ）证明：设
与
的交点为，则点为的中点．连结
．
在平行四边形
中，因为的中点，故
．
而
平面，
平面，所以
平面．
（Ⅲ）连结
．在
和
中，由于
，，
，则≌，故
．由已知得
．
又∵平面，∴为
的外心．
设所求球的球心为
，则
，且球心与中点的连线
．
在
中，
．故所求球的半径
，球的体积
．
20．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D
分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
(Ⅰ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
(Ⅱ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
[解] 本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力
方法一：
(Ⅰ) ∵O、D分别为AC、PC 
， 
(Ⅱ)
，
又
， 
PA与平面PBC所成的角的大小等于
，
（Ⅲ）由(Ⅱ)知，
，
∴F是O在平面PBC内的射影
∵D是PC的中点，若点F是
的重心，则B，F，D三点共线，
∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD，
，即
反之，当时，三棱锥
为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心
方法二：
，
， 
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系
（如图）
设
则
，
设
，则
(Ⅰ)
D为PC的中点，
，
又
，
(Ⅱ)
，即
，
可求得平面PBC的法向量
， 
，
设PA与平面PBC所成的角为，则
，
（Ⅲ）的重心
， 
，
，
又
，
，即，
反之，当时，三棱锥为正三棱锥，
∴O在平面PBC内的射影为的重心
21． 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=
，求：
（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；
（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.
[解] 解法一：
（Ⅰ）因AB⊥面BB1C1C，故AB⊥BE.
又EB1⊥EA，且EA在面BCC1B1内的射影为EB.
由三垂线定理的逆定理知EB1⊥BE，因此BE是异面直线
AB与EB1的公垂线，
在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB1=
，
作BD⊥CC1，交CC1于D，则BD=BC·
在△BEB1中，由面积关系得
.
（负根舍去）
解之得CE=2，故此时E与C1重合，由题意舍去
.
因此x=1，即异面直线AB与EB1的距离为1.
（Ⅱ）过E作EG//B1A1，则GE⊥面BCC1B1，故GE⊥EB1且GE在面A1B1E内，
又已知AE⊥EB1 故∠AEG是二面角A—EB1—A1的平面角.
因EG//B1A1//BA，∠AEG=∠BAE，故
解法二：
（Ⅰ）
而BB1C1C得AB⊥EB1从而
=0.
设O是BB1的中点，连接EO及OC1，则在Rt△BEB1中，EO=BB1=OB1=1，
因为在△OB1C1中，B1C1=1，∠OB1C1=，故△OB1C1是正三角形，
所以OC1=OB1=1，
又因∠OC1E=∠B1C1C－∠B1C1O=
故△OC1E是正三角形，
所以C1E=1，故CE=1，易见△BCE是正三角形，从面BE=1，
即异面直线AB与EB1的距离是1.
（Ⅱ）由（I）可得∠AEB是二面角A—EB1—B的平面角，在Rt△ABE中，由AB=，
BE=1，得tanAEB=.
又由已知得平面A1B1E⊥平面BB1C1C，
故二面角A—EB1—A1的平面角
，故
解法三：
（I）以B为原点，
、
分别为y、z轴建立空间直角坐标系.
由于BC=1，BB1=2，AB=，∠BCC1=，
在三棱柱ABC—A1B1C1中有
B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），
设
又AB⊥面BCC1B1，故AB⊥BE. 因此BE是异面直线AB、EB1的公垂线，
则
，故异面直线AB、EB1的距离为1.
（II）由已知有
故二面角A—EB1—A1的平面角的大小为向量
的夹角.
22．
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知
求
（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.
[解] 解法一：
（Ⅰ）因PD⊥底面，故PD⊥DE，又因EC⊥PE，且DE
是PE在面ABCD内的射影，由三垂直线定理的逆定理知
EC⊥DE，因此DE是异面直线PD与EC的公垂线.
设DE=x，因△DAE∽△CED，故
（负根舍去）.
从而DE=1，即异面直线PD与EC的距离为1.
（Ⅱ）过E作EG⊥CD交CD于G，作GH⊥PC交PC于H，连接EH. 因PD⊥底面，
故PD⊥EG，从而EG⊥面PCD.
因GH⊥PC，且GH是EH在面PDC内的射影，
由三垂线定理知EH⊥PC.
因此∠EHG为二面角的平面角.
在面PDC中，PD=，CD=2，GC=
因△PDC∽△GHC，
故
，
又
故在
即二面角E—PC—D的大小为
解法二：
（Ⅰ）以D为原点，
、
、
分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D（0，0，0），P（0，0，
，
C（0，2，0）设
由
，
即
由
，
又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得
，故异面直线PD、
CE的距离为1.
（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由
得
即
作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），
则
由
，
又由F在PC上得
因
故平面E—PC—D的平面角的大小为向量
的夹角.
故
即二面角E—PC—D的大小为
选择题、填空题答案
一、选择题
1．C 2. B 3．D 4．D 5． C 6．C 7．C 8．C
9．A 10．D 11．D 12．B 13．D 14．D 15．B
二、填空题
1．③⑤ ②⑤ 2．①③④ 3．①，④
4．③④ 5．③④ 6．②③⑤